广东省梅州市丰顺县黄金中学2023-2024学年高一下学期4月月考测试题（含解析）

2023—2024学年高一下学期月考测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复平面内表示复数的点在直线上，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
B．
C． D．
5．已知平面向量满足且，则（ ）
A． B．5 C． D．6
6．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
8．已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3小题,共18分.每小题全部选对得6分,部分选对得2、4分,错选得0分）
9．设，则下列叙述中正确的是（ ）
A．的实部是 B．
C． D．在复平面内，复数对应的点位于第一象限
10．下列说法错误的是（ ）
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
11．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰三角形
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，则的值为 .
13．设为复数，若，则的最大值为 ．
14．如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 .
四、解答题（共77分）
15．(13分）已知复数，i为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
16．(15分）已知，且与夹角为，求：
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与平行，求实数的值.
17．(15分）已知是三边长且，的面积.
(1)求角；
(2)求的周长.
18．(17分）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
19．(17分）如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求：
(1)的距离；
(2)该救援船到达点所需要的时间。
2023-2024学年高一下学期月考测试题
参考答案：
一、单选题
1．A
【分析】根据题意，由集合的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
故选：A．
2．A
【分析】首先得到复数在复平面内对应的点的坐标，即可得到方程，解得即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，解得.
故选：A
3．A
【分析】根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解.
【详解】由设为单位向量，，当的夹角为时，
所以在上的投影向量为.
故选：A．
4．B
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】由题意：.
故选：B
5．D
【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得.
【详解】由，得，由，得，则，
由，得，即，则，
所以.
故选：D
6．D
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值即可求解．
【详解】角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，
．
故选：D．
7．D
【分析】运用降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数的图象与性质，利用代入法逐一判断即可.
【详解】，
因为，所以函数的图象关于点对称，不关于直线对称，因此D正确，C不正确；
因为，所以函数的图象不关于点对称，也不关于直线对称，因此AB都不正确，
故选：D．
8．D
【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式.
【详解】由图知，，则.
由图知，在取得最大值，且图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
故选：D .
二、多选题
9．BCD
【分析】求出复数的代数形式，然后逐一判断即可.
【详解】，
故的实部是，，，
其在复平面对应的点为，在第一象限.
故选：BCD.
10．ABD
【详解】当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；由圆台的结构特征知B错误；由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确，D错误．故选ABD.
11．AC
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中：若，可得，由正弦定理可得，所以A正确；
对于B中：若，因为，且，
则，，所以或，则或，所以是等腰三角形或直角三角形，所以B错误；
对于C中：若，则，
由正弦定理可得，即，则，
因为，可知角钝角，所以为钝角三角形，所以C正确；
对于D中：因为，由余弦定理可得：，
即，解得或，
所以的面积为或，所以D错误.
故选：AC．
填空题
12．/
【分析】将两边平方即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
即，所以.
故答案为：
13．3
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求解即得.
【详解】由，得是在复平面内到表示复数的点的距离不超过1的点的集合，
它是以点为圆心，1为半径的圆及内部，而表示上述集合内的点到原点的距离，
所以的最大值为.
故答案为：3
14．
【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得.
【详解】
如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为；
若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为.
综上所述，小虫走过的最短路线的长为.
故答案为：.
解答题
15．【详解】（1）因为复数，
所以
（2）因为复数z是关于x的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
16.【详解】（1）因为，
所以；
（2）由（1）知，又，
所以，又，
所以与的夹角为；
（3）因为向量与平行，
所以存在实数使，
所以，解得.
17.【详解】（1）由余弦定理得，
因为，所以；
（2）由三角形面积公式得，
即，解得，
故，
又，故，
所以，
故，，
故的周长为.
18.【详解】（1）若选①：，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，即，
又，所以；
若选②：，
由正弦定理得，
又，所以，即，
又，所以；
若选③：，
，
，
即，
又，所以，即，
又，所以；
（2）由（1）知，，
所以，即，
又，所以，得，
所以，解得，
故.
19.【详解】（1）由题意可知，，，
则，
而，
在中，，由正弦定理可得，
即，即，解得（海里）．
（2）在中，，
由余弦定理可得
，
所以，则时间为（小时），
所以该救援船到达点需要的时间为1小时.