第六节 动态几何探究复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第六节 动态几何探究复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-24 13:00:15 | ||
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文档简介
第六节 动态几何探究
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
动态几何 能综合运用四边形的知识解决动点相关问题
二、核心纲要
1.动态几何特点
问题背景是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质及图形的特殊位置等).
2.解决动态几何问题的基本思路
(1)动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形.
(2)把相关的量用含变量的代数式表示，列方程或确定函数关系.
(3)把握运动中的特殊位置、临界位置，分段、分情况讨论解决问题.
三、全能突破
基础演练
1.如图18-6-1 所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是( ).
A.3.5 B.4.2
C.5.8 D.7
2.如图18-6-2所示,∠MON=43°,点 A 在射线OM 上,动点 P 在射线ON 上滑动，要使△AOP 为等腰三角形，那么满足条件的点 P 共有( ).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.在正方形 ABCD 中,边长为2cm,动点 P 以 1cm/s的速度从 A→B→C→D运动,而动点 Q以2cm/s的速度从A→D→C→B运动,则在 P 和Q 都运动的过程中,|PQ|的最大值是( ).
A.2
C.2
4.如图 18-6-3 所示,矩形ABCD 的长AB 为5cm,宽 BC 为3cm,点 P 为AB 边上的一个动点，则阴影部分的面积为 cm .
能力提升
5.如图18-6-4 所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B 的坐标为(5，4)，点 P 为BC 上动点,当 为等腰三角形时，点 P 坐标为 .
6.如图 18-6-5 所示,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,DC∥AB,BC=3,DC=4,AD=5,动点 P 从点B 出发,由 B→C→D→A沿边运动时,则△ABP 的最大面积为 .
7.如图 18-6-6所示,MN=8,点 P、Q在线段MN 上,且 PM=1,NQ=2. C 是线段MN 上的动点,分别以CM、CN 为斜边在线段MN 的同侧作直角△ACM 和直角△BCN,使∠AMC=∠BCN=30°,连接AB，设AB 的中点为D，当点 C从点 P 运动到点Q时，点 D 移动路径的长是 .
8.如图18-6-7 所示，把边长是3 的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的两个小正方形 ABCD 和 EFGH 内(包括边界)分别取两个动点 P、R，与已有格点 Q(每个小正方形的顶点叫格点)构成三角形，则当△PQR 的面积取得最大值 2 时，点 P 和点R 所在位置是 .
9.已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别是OB、OC 上的动点，
(1)如果动点 E、F 满足BE=CF(如图18-6-8(a)所示):
①写出所有以点 E 或F 为顶点的全等三角形(不得添加辅助线)；
②证明:AE⊥BF;
(2)如果动点 E、F 满足 BE=OF(如图 18-6-8(b)所示),问当AE⊥BF时，点E 在什么位置，并证明你的结论.
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10.如图18-6-9 所示,正方形 ABCD 的边长为6cm,点 E 为AB 边上的一点,且 AE=2cm,动点M 由C 点开始以3cm/s的速度沿折线CBE 移动,动点 N 同时由D 点以1cm/s的速度沿边 DC 移动，请问多长时间后，顺次连接点 E，M，N，D 为顶点的四边形是平行四边形
11.如图18-6-10所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC于 E,且
(1)BC= ;
(2)若动点 P 从点 D 出发,速度为2个单位/秒,沿 DA 向点A 运动,同时,动点Q从点 B 出发，速度为 3个单位/秒，沿 BC 向点C 运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动.设运动的时间为t秒.
①t= 秒时,四边形 PQED是矩形;
②t为何值时，线段 PQ与梯形ABCD 的边构成平行四边形
③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形 若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.
12.如图 18-6-11 所示,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点 P从点 B 出发，沿射线 BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 Q 同时从点A 出发，在线段 AD上以每秒1个单位长的速度向点 D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)当t为何值时，四边形 PQDC 的面积是梯形ABCD 的面积的一半；
(2)四边形 PQDC 能为平行四边形吗 如果能，求出 t的值；如果不能，请说明理由.
(3)四边形 PQDC 能为等腰梯形吗 如果能，求出 t的值；如果不能，请说明理由.
13.如图18-6-12(a)所示,在直角梯形 ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=CD=4,BC=3.点M从点D 出发以每秒2 个单位长度的速度向点 A 运动，同时，点 N 从点 B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点 C 运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点 N 作 NP⊥AD 于点P,连接 AC 交 NP 于点 Q,连接MQ.设运动时间为t秒.
(1)填空:AM= ,AP= .(用含t的代数式表示)
(2)t 取何值时,梯形 ABNM面积等于梯形ABCD 面积的一半;
(3)如图 18-6-12(b)所示,将△AQM 沿 AD 翻折,得△AKM,是否存在某时刻t，使四边形 AQMK 为正方形 并说明理由.
14.如图18-6-13(a)所示,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD 是△ABC 沿 BC 方向平移得到的,连接AE、AC和BE 相交于点O.
(1)判断四边形 ABCE是怎样的四边形，说明理由；
(2)如图18-6-13(b)所示,P 是线段BC上一动点(不与点 B、C重合),连接 PO 并延长交线段AE 于点Q，QR⊥BD，垂足为点 R.四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化 若变化，请说明理由；若不变，求出四边形 PQED的面积.
15.如图18-6-14 所示,已知正方形ABCD 的边长为10厘米,点 E 在边AB 上,且AE=4 厘米,如果点 P在线段 BC上以2厘米/秒的速度由 B 点向C 点运动，同时，点 Q 在线段CD 上由C 点向 D 点运动.设运动时间为t秒.
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 2 秒后,△BPE与△CQP 是否全等 请说明理由；
(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当t为何值时，能够使△BPE与△CQP 全等；此时点 Q的运动速度为多少.
16.如图18-6-15 所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.
(1)若E、F 分别是AB、AC上的点,且 AE=CF,求证:△AED≌△CFD;
(2)当点 F、E分别从C、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动到点A、B 时停止；设△DEF的面积为y，F 点运动的时间为x，用含 x的代数式表示y；
(3)在(2)的条件下，点 F、E分别沿CA、AB 的延长线继续运动，用含 x的代数式表示y.
中考链接
17.(温州)如图 18-6-16 所示,在△ABC 中, M是AB 的中点，动点 P 从点A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C，动点 Q 从点 C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P、Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP、MQ、PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是( ).
A.一直增大 B.一直减小
C.先减小后增大 D.先增大后减少
18.(常德)已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点 P 从 B 开始，沿射线BC 运动,连接DP,作 于点M,且交直线 AB 于点 N,连接OP,ON.(当P 在线段BC 上时,如图 18-6-17(a)所示;当 P 在BC 的延长线上时,如图18-6-17(b)所示)
(1)请从图18-6-17(a)、图18-6-17(b)中任选一图证明下面结论:①BN=CP;②OP=ON,且(
(2)设 用含x的代数式表示以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y.
19.(广州)如图18-6-18 所示,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2 )、D(0,3 ),射线l过点D 且与x轴平行，点 P、Q分别是l 和x轴正半轴上动点，满足.
(1)①点 B 的坐标是 ;(②∠CAO=_度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 .(直接写出答案)
(2)设OA的中点为 N,PQ 与线段AC 相交于点M,是否存在点 P,使△AMN 为等腰三角形 若存在，请直接写出点 P 的横坐标m，若不存在，请说明理由.
巅峰突破
20.如图 18-6-19 所示,边长为 a 的等边. 的顶点 A、B 分别在x轴正半轴和y 轴正半轴上运动，则动点 C 到原点O 的距离的最大值是( ).
21.如图18-6-20 所示,等腰梯形 ABCD中, ,动点 P 从点 C 出发沿C→D方向向终点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿D→A→B方向向终点B 运动.
(1)求 AD的长;
(2)探究：在 BC 边上是否存在点M 使得四边形 PDQM 是菱形 若存在，请找出点 M；不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，求：线段 PQ的中点O 运动的路程.
22.已知:如图18-6-21 所示,在菱形ABCD中, ,动点 P 在直线 BC 上运动,作 且直线 PM 与直线CD 相交于点 Q,Q点到直线 BC 的距离为 QH.
(1)若 P 在线段 BC 上运动,求证 CP=DQ;
(2)若 P 在线段 BC 上运动，探求线段 AC、CP、CH 的一个数量关系，并证明你的结论；
(3)若动点 P 在直线 BC 上运动,菱形 ABCD周长为8,. ,求 QH.(可使用备用图)
第六节 动态几何探究
基础演练
1. D;2. C;3. D;4.7.5
能力提升
5.(2.5.4),(3.4),(2,4); 6.12; 7.2.5
8.点 P 在A 处,点 R 在 F 处,或点 P 在B 处,点 R 在G处,或点 P 在A 处,点 R在G处
9.(1)①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,
△ADE≌△BAF;②略
(2)当AE⊥BF时,点 E 在BO 中点.
证明如下：
延长AE交BF 于点M，如下图所示：
∵∠BOF=∠AOE,∠BEM=∠AEO,
∴∠OBF=∠OAE
∵AO=BO,∴△AOE≌△BOF,∴OE=OF,
∵BE=OF,∴BE=EO,
故当 AE⊥BF 时,点 E在BO 中点.
10.由题意得:
当EM平行且等于 DN时，四边形 EMDN为平行四边形.
点 M必须移动到线段BE上，EM才能平行于 DN，即点 M只能在6÷3=2秒后 EM才能平行于 DN.
设:经过x(x≥2)秒后,EM 等于DN,
10-3x=x 解之得:x=2.5
答：因为2.5≥2满足条件.所以经过2.5 秒后，顺次连接点 E、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形.
11.(1)26;
②有两种情况：
A.设运动时间为t时，线段 PQ与AB 构成平行四边形，
∵四边形 ABQP 是平行四边形,∴AP=BQ.
∴3t=18-2t.解得
B.设运动时间为t时，线段 PQ与CD 构成平行四边形，
∵四边形 PQCD 是平行四边形,∴PD=CQ.
∴2t=26-3t.解得
③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形.
A.当 时,
而 AB=CD=8,所以BQ≠AB,
∴四边形 ABQP不是菱形.
B.当 时, 而AB=CD=8,
所以 DP≠AB,∴四边形 PQCD不是菱形.
12.(1)由已知得:AQ=t,QD=16-t,BP=2t,PC=21-2t,
依题意，得 解得
(2)能:
当四边形 PQDC为平行四边形时，
DQ=PC.即16-t=21-2t,解得:t=5.
(3)不能:
如下图所示,作 QE⊥BC,DF⊥BC,垂足为 E、F。
当四边形 PQDC为等腰梯形时,PE=CF.
即t-2t=21-16
解得t=-5，不符合实际.
13.(1)AM=4-2t,AP=1+t,
(2)∵梯形 ABNM面积等于梯形ABCD 面积的一半,
解得 当 时，梯形 ABNM 面积等于梯形ABCD面积的一半,
(3)存在
∵AD=CD,∠ADC=90°∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD 翻折,得△AKM
∴QM=MK,AQ=AK,∠KAQ=2∠CAD=90°,
要使四边形 AQMK 为正方形,则 AQ=MQ,
∵NP⊥MA,∴MP=AP.∴AM=2AP.
∴当 时,四边形 AQMK 为正方形。
14.(1)略.
(2)不变;由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO.
∵△ECD是由△ABC平移得到的.
∴ED∥AC,ED=AC=6.由(1)可知,BE=8.
又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED.
15.(1)略
(2)∵点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等。
∴BP≠CQ,∵∠B=∠C=90°,△BPE≌△CPQ,
∴BP=PC=5. CQ=BE=6.
∴点 P、Q运动的时间
此时点 Q的运动速度为 厘米/秒).
16.(1)略.
(2)依题意有:FC=AE=x
∵△AED≌△CFD
(3)依题意有:AF=BE=x-6,AD=DB.
∠ABD=∠DAC=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.∴△ADF≌△BDE.
∴S△ADF=S△BDE.
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17. C
18.对于图(a).(1)①∵ABCD为正方形。
∴∠DCP=90°.△DCP为直角三角形.
同理:△CBN为直角三角形,而 CM⊥DP,∴∠PCM=∠CDP
∵∠DCP=∠CBN=90°,∠CDP=∠PCN,CD=BC.
∴Rt△DCP≌Rt△CBN,∴CP=BN.
②而∠OCP=∠OBN=45°. OC=OB,CP=BN.
∴△COP≌△BON.∴ON=OP,∠COP=∠BON.
又∵OC⊥OB,∴∠COB=∠COP+∠POB=90°.
∠PON=∠BON+∠POB=90°.∴ON⊥OP.
(2)①当0②当x>4时。
19.(1)(6.2 ).30.(3.3 )
(2)情况①:如下图所示,MN=AN,此时m=0
情况②,如下图所示,AM=AN,
作 MJ⊥x轴、PI⊥x轴; 可得 得
情况③，如下图所示。
AM=NM.此时M的横坐标是4.5,m=2.
巅峰突破
20. B
21.(1)过点 A作AE∥BC交CD于E.
∵AB∥CD.∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE=BC,CE=AB=4,∴DE=CD-CE=12-4=8.
∵AD=BC.∴AE=BC.
∵∠C=60°.∴∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形,∴AD=DE=8.
(2)存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ.于是12-t=t,t=6.
此时，点 P、Q的位置如下图所示，△PDQ恰为等边三角形.
过点 D作DO⊥PQ于点O,延长 DO 交 BC 于点M,连接 PM、QM,则 DM垂直平分 PQ,
∴MP=MQ.易知∠1=∠C.∴PQ∥BC.
又∵DO⊥PQ,∴MC⊥MD.
即MP=PD=DQ=QM.
∴四边形 PDQM是菱形,
∴存在满足条件的点 M,且BM=BC-MC=8-6=2.
(3)PQ的中点O 运动的轨迹分为两部分.如下图所示：
当Q在AD 上时，PQ的中点O 运动的轨迹平行于 BC，且等于
当Q在AB上时，PQ 的中点O 始终不动，线段 PQ中点运动的距离为0.
∴线段 PQ的中点O 运动的路程为4.
22.(1)证明:
作 PE∥CD交AC 于 E.连接AQ.则△CPE是等边三角形.
又∠APE+∠EPQ=60°.∠EPC=60°.
∴∠APE=∠CPQ.
又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,
∴△APE≌△QPC.
∴AE=QC,AP=PQ.∴△APQ是等边三角形.
∴AP=AQ.∠2+∠3=60°.
∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3.
∵AC=AD.∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.∵AC=CD,CD=CQ+QD.
∴AC=CQ+QD.
∵CP=DQ,∴AC=CQ+CP.
又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°.
∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH;
(3)此题分两种情况讨论：
①当点 P 在射线BC 上时,如图(a)所示;
设CH=x,则(QH= x,CP=2-2x,PH=2-x,由勾股定理得， 解得 舍去负的)，
②当点 P 在CB 的延长线上时(如图(b)所示);
在 Rt△CHQ中,∠PCQ=60°.
设( ;
则 PH=PC-CH=2+2x-x=2+x;
在 Rt△PHQ中. PQ=AQ= ,PH=2+x,QH= x,由勾股定理得：
解得 负值舍去)；
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课标内容 课标要求 目标层次
动态几何 能综合运用四边形的知识解决动点相关问题
二、核心纲要
1.动态几何特点
问题背景是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质及图形的特殊位置等).
2.解决动态几何问题的基本思路
(1)动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形.
(2)把相关的量用含变量的代数式表示，列方程或确定函数关系.
(3)把握运动中的特殊位置、临界位置，分段、分情况讨论解决问题.
三、全能突破
基础演练
1.如图18-6-1 所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是( ).
A.3.5 B.4.2
C.5.8 D.7
2.如图18-6-2所示,∠MON=43°,点 A 在射线OM 上,动点 P 在射线ON 上滑动，要使△AOP 为等腰三角形，那么满足条件的点 P 共有( ).
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.在正方形 ABCD 中,边长为2cm,动点 P 以 1cm/s的速度从 A→B→C→D运动,而动点 Q以2cm/s的速度从A→D→C→B运动,则在 P 和Q 都运动的过程中,|PQ|的最大值是( ).
A.2
C.2
4.如图 18-6-3 所示,矩形ABCD 的长AB 为5cm,宽 BC 为3cm,点 P 为AB 边上的一个动点，则阴影部分的面积为 cm .
能力提升
5.如图18-6-4 所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B 的坐标为(5，4)，点 P 为BC 上动点,当 为等腰三角形时，点 P 坐标为 .
6.如图 18-6-5 所示,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,DC∥AB,BC=3,DC=4,AD=5,动点 P 从点B 出发,由 B→C→D→A沿边运动时,则△ABP 的最大面积为 .
7.如图 18-6-6所示,MN=8,点 P、Q在线段MN 上,且 PM=1,NQ=2. C 是线段MN 上的动点,分别以CM、CN 为斜边在线段MN 的同侧作直角△ACM 和直角△BCN,使∠AMC=∠BCN=30°,连接AB，设AB 的中点为D，当点 C从点 P 运动到点Q时，点 D 移动路径的长是 .
8.如图18-6-7 所示，把边长是3 的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的两个小正方形 ABCD 和 EFGH 内(包括边界)分别取两个动点 P、R，与已有格点 Q(每个小正方形的顶点叫格点)构成三角形，则当△PQR 的面积取得最大值 2 时，点 P 和点R 所在位置是 .
9.已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别是OB、OC 上的动点，
(1)如果动点 E、F 满足BE=CF(如图18-6-8(a)所示):
①写出所有以点 E 或F 为顶点的全等三角形(不得添加辅助线)；
②证明:AE⊥BF;
(2)如果动点 E、F 满足 BE=OF(如图 18-6-8(b)所示),问当AE⊥BF时，点E 在什么位置，并证明你的结论.
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10.如图18-6-9 所示,正方形 ABCD 的边长为6cm,点 E 为AB 边上的一点,且 AE=2cm,动点M 由C 点开始以3cm/s的速度沿折线CBE 移动,动点 N 同时由D 点以1cm/s的速度沿边 DC 移动，请问多长时间后，顺次连接点 E，M，N，D 为顶点的四边形是平行四边形
11.如图18-6-10所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC于 E,且
(1)BC= ;
(2)若动点 P 从点 D 出发,速度为2个单位/秒,沿 DA 向点A 运动,同时,动点Q从点 B 出发，速度为 3个单位/秒，沿 BC 向点C 运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动.设运动的时间为t秒.
①t= 秒时,四边形 PQED是矩形;
②t为何值时，线段 PQ与梯形ABCD 的边构成平行四边形
③是否存在t值，使②中的平行四边形是菱形 若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.
12.如图 18-6-11 所示,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=12,BC=21,AD=16.动点 P从点 B 出发，沿射线 BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 Q 同时从点A 出发，在线段 AD上以每秒1个单位长的速度向点 D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)当t为何值时，四边形 PQDC 的面积是梯形ABCD 的面积的一半；
(2)四边形 PQDC 能为平行四边形吗 如果能，求出 t的值；如果不能，请说明理由.
(3)四边形 PQDC 能为等腰梯形吗 如果能，求出 t的值；如果不能，请说明理由.
13.如图18-6-12(a)所示,在直角梯形 ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=CD=4,BC=3.点M从点D 出发以每秒2 个单位长度的速度向点 A 运动，同时，点 N 从点 B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点 C 运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点 N 作 NP⊥AD 于点P,连接 AC 交 NP 于点 Q,连接MQ.设运动时间为t秒.
(1)填空:AM= ,AP= .(用含t的代数式表示)
(2)t 取何值时,梯形 ABNM面积等于梯形ABCD 面积的一半;
(3)如图 18-6-12(b)所示,将△AQM 沿 AD 翻折,得△AKM,是否存在某时刻t，使四边形 AQMK 为正方形 并说明理由.
14.如图18-6-13(a)所示,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD 是△ABC 沿 BC 方向平移得到的,连接AE、AC和BE 相交于点O.
(1)判断四边形 ABCE是怎样的四边形，说明理由；
(2)如图18-6-13(b)所示,P 是线段BC上一动点(不与点 B、C重合),连接 PO 并延长交线段AE 于点Q，QR⊥BD，垂足为点 R.四边形 PQED 的面积是否随点 P 的运动而发生变化 若变化，请说明理由；若不变，求出四边形 PQED的面积.
15.如图18-6-14 所示,已知正方形ABCD 的边长为10厘米,点 E 在边AB 上,且AE=4 厘米,如果点 P在线段 BC上以2厘米/秒的速度由 B 点向C 点运动，同时，点 Q 在线段CD 上由C 点向 D 点运动.设运动时间为t秒.
(1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 2 秒后,△BPE与△CQP 是否全等 请说明理由；
(2)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当t为何值时，能够使△BPE与△CQP 全等；此时点 Q的运动速度为多少.
16.如图18-6-15 所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.
(1)若E、F 分别是AB、AC上的点,且 AE=CF,求证:△AED≌△CFD;
(2)当点 F、E分别从C、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动到点A、B 时停止；设△DEF的面积为y，F 点运动的时间为x，用含 x的代数式表示y；
(3)在(2)的条件下，点 F、E分别沿CA、AB 的延长线继续运动，用含 x的代数式表示y.
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17.(温州)如图 18-6-16 所示,在△ABC 中, M是AB 的中点，动点 P 从点A 出发，沿 AC 方向匀速运动到终点 C，动点 Q 从点 C 出发，沿CB 方向匀速运动到终点 B.已知 P、Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接MP、MQ、PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是( ).
A.一直增大 B.一直减小
C.先减小后增大 D.先增大后减少
18.(常德)已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点 P 从 B 开始，沿射线BC 运动,连接DP,作 于点M,且交直线 AB 于点 N,连接OP,ON.(当P 在线段BC 上时,如图 18-6-17(a)所示;当 P 在BC 的延长线上时,如图18-6-17(b)所示)
(1)请从图18-6-17(a)、图18-6-17(b)中任选一图证明下面结论:①BN=CP;②OP=ON,且(
(2)设 用含x的代数式表示以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y.
19.(广州)如图18-6-18 所示,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2 )、D(0,3 ),射线l过点D 且与x轴平行，点 P、Q分别是l 和x轴正半轴上动点，满足.
(1)①点 B 的坐标是 ;(②∠CAO=_度；③当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 .(直接写出答案)
(2)设OA的中点为 N,PQ 与线段AC 相交于点M,是否存在点 P,使△AMN 为等腰三角形 若存在，请直接写出点 P 的横坐标m，若不存在，请说明理由.
巅峰突破
20.如图 18-6-19 所示,边长为 a 的等边. 的顶点 A、B 分别在x轴正半轴和y 轴正半轴上运动，则动点 C 到原点O 的距离的最大值是( ).
21.如图18-6-20 所示,等腰梯形 ABCD中, ,动点 P 从点 C 出发沿C→D方向向终点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿D→A→B方向向终点B 运动.
(1)求 AD的长;
(2)探究：在 BC 边上是否存在点M 使得四边形 PDQM 是菱形 若存在，请找出点 M；不存在，请说明理由；
(3)在整个运动过程中，求：线段 PQ的中点O 运动的路程.
22.已知:如图18-6-21 所示,在菱形ABCD中, ,动点 P 在直线 BC 上运动,作 且直线 PM 与直线CD 相交于点 Q,Q点到直线 BC 的距离为 QH.
(1)若 P 在线段 BC 上运动,求证 CP=DQ;
(2)若 P 在线段 BC 上运动，探求线段 AC、CP、CH 的一个数量关系，并证明你的结论；
(3)若动点 P 在直线 BC 上运动,菱形 ABCD周长为8,. ,求 QH.(可使用备用图)
第六节 动态几何探究
基础演练
1. D;2. C;3. D;4.7.5
能力提升
5.(2.5.4),(3.4),(2,4); 6.12; 7.2.5
8.点 P 在A 处,点 R 在 F 处,或点 P 在B 处,点 R 在G处,或点 P 在A 处,点 R在G处
9.(1)①△ABE≌△BCF,△AOE≌△BOF,
△ADE≌△BAF;②略
(2)当AE⊥BF时,点 E 在BO 中点.
证明如下：
延长AE交BF 于点M，如下图所示：
∵∠BOF=∠AOE,∠BEM=∠AEO,
∴∠OBF=∠OAE
∵AO=BO,∴△AOE≌△BOF,∴OE=OF,
∵BE=OF,∴BE=EO,
故当 AE⊥BF 时,点 E在BO 中点.
10.由题意得:
当EM平行且等于 DN时，四边形 EMDN为平行四边形.
点 M必须移动到线段BE上，EM才能平行于 DN，即点 M只能在6÷3=2秒后 EM才能平行于 DN.
设:经过x(x≥2)秒后,EM 等于DN,
10-3x=x 解之得:x=2.5
答：因为2.5≥2满足条件.所以经过2.5 秒后，顺次连接点 E、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形.
11.(1)26;
②有两种情况：
A.设运动时间为t时，线段 PQ与AB 构成平行四边形，
∵四边形 ABQP 是平行四边形,∴AP=BQ.
∴3t=18-2t.解得
B.设运动时间为t时，线段 PQ与CD 构成平行四边形，
∵四边形 PQCD 是平行四边形,∴PD=CQ.
∴2t=26-3t.解得
③不存在t值，使②中的平行四边形是菱形.
A.当 时,
而 AB=CD=8,所以BQ≠AB,
∴四边形 ABQP不是菱形.
B.当 时, 而AB=CD=8,
所以 DP≠AB,∴四边形 PQCD不是菱形.
12.(1)由已知得:AQ=t,QD=16-t,BP=2t,PC=21-2t,
依题意，得 解得
(2)能:
当四边形 PQDC为平行四边形时，
DQ=PC.即16-t=21-2t,解得:t=5.
(3)不能:
如下图所示,作 QE⊥BC,DF⊥BC,垂足为 E、F。
当四边形 PQDC为等腰梯形时,PE=CF.
即t-2t=21-16
解得t=-5，不符合实际.
13.(1)AM=4-2t,AP=1+t,
(2)∵梯形 ABNM面积等于梯形ABCD 面积的一半,
解得 当 时，梯形 ABNM 面积等于梯形ABCD面积的一半,
(3)存在
∵AD=CD,∠ADC=90°∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD 翻折,得△AKM
∴QM=MK,AQ=AK,∠KAQ=2∠CAD=90°,
要使四边形 AQMK 为正方形,则 AQ=MQ,
∵NP⊥MA,∴MP=AP.∴AM=2AP.
∴当 时,四边形 AQMK 为正方形。
14.(1)略.
(2)不变;由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO.
∵△ECD是由△ABC平移得到的.
∴ED∥AC,ED=AC=6.由(1)可知,BE=8.
又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED.
15.(1)略
(2)∵点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等。
∴BP≠CQ,∵∠B=∠C=90°,△BPE≌△CPQ,
∴BP=PC=5. CQ=BE=6.
∴点 P、Q运动的时间
此时点 Q的运动速度为 厘米/秒).
16.(1)略.
(2)依题意有:FC=AE=x
∵△AED≌△CFD
(3)依题意有:AF=BE=x-6,AD=DB.
∠ABD=∠DAC=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.∴△ADF≌△BDE.
∴S△ADF=S△BDE.
中考链接
17. C
18.对于图(a).(1)①∵ABCD为正方形。
∴∠DCP=90°.△DCP为直角三角形.
同理:△CBN为直角三角形,而 CM⊥DP,∴∠PCM=∠CDP
∵∠DCP=∠CBN=90°,∠CDP=∠PCN,CD=BC.
∴Rt△DCP≌Rt△CBN,∴CP=BN.
②而∠OCP=∠OBN=45°. OC=OB,CP=BN.
∴△COP≌△BON.∴ON=OP,∠COP=∠BON.
又∵OC⊥OB,∴∠COB=∠COP+∠POB=90°.
∠PON=∠BON+∠POB=90°.∴ON⊥OP.
(2)①当0
19.(1)(6.2 ).30.(3.3 )
(2)情况①:如下图所示,MN=AN,此时m=0
情况②,如下图所示,AM=AN,
作 MJ⊥x轴、PI⊥x轴; 可得 得
情况③，如下图所示。
AM=NM.此时M的横坐标是4.5,m=2.
巅峰突破
20. B
21.(1)过点 A作AE∥BC交CD于E.
∵AB∥CD.∴四边形ABCE是平行四边形.
∴AE=BC,CE=AB=4,∴DE=CD-CE=12-4=8.
∵AD=BC.∴AE=BC.
∵∠C=60°.∴∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形,∴AD=DE=8.
(2)存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ.于是12-t=t,t=6.
此时，点 P、Q的位置如下图所示，△PDQ恰为等边三角形.
过点 D作DO⊥PQ于点O,延长 DO 交 BC 于点M,连接 PM、QM,则 DM垂直平分 PQ,
∴MP=MQ.易知∠1=∠C.∴PQ∥BC.
又∵DO⊥PQ,∴MC⊥MD.
即MP=PD=DQ=QM.
∴四边形 PDQM是菱形,
∴存在满足条件的点 M,且BM=BC-MC=8-6=2.
(3)PQ的中点O 运动的轨迹分为两部分.如下图所示：
当Q在AD 上时，PQ的中点O 运动的轨迹平行于 BC，且等于
当Q在AB上时，PQ 的中点O 始终不动，线段 PQ中点运动的距离为0.
∴线段 PQ的中点O 运动的路程为4.
22.(1)证明:
作 PE∥CD交AC 于 E.连接AQ.则△CPE是等边三角形.
又∠APE+∠EPQ=60°.∠EPC=60°.
∴∠APE=∠CPQ.
又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,
∴△APE≌△QPC.
∴AE=QC,AP=PQ.∴△APQ是等边三角形.
∴AP=AQ.∠2+∠3=60°.
∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3.
∵AC=AD.∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.∵AC=CD,CD=CQ+QD.
∴AC=CQ+QD.
∵CP=DQ,∴AC=CQ+CP.
又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°.
∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH;
(3)此题分两种情况讨论：
①当点 P 在射线BC 上时,如图(a)所示;
设CH=x,则(QH= x,CP=2-2x,PH=2-x,由勾股定理得， 解得 舍去负的)，
②当点 P 在CB 的延长线上时(如图(b)所示);
在 Rt△CHQ中,∠PCQ=60°.
设( ;
则 PH=PC-CH=2+2x-x=2+x;
在 Rt△PHQ中. PQ=AQ= ,PH=2+x,QH= x,由勾股定理得：
解得 负值舍去)；