第二节 二次根式的运算复习讲义（含答案） 人教版八年级数学下册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二节 二次根式的运算
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
二次根式的乘除 理解二次根式的乘除法运算法则 ★
会进行二次根式的化简 ★★
☆分母有理化 了解分母有理化的概念，并会简单的分母有理化 ★
☆有理化因式 了解有理化因式的概念 ★
二次根式的加减 理解二次根式的加减法运算法则 ★
会进行二次根式的化简 ★★
二次根式的混合运算 会进行二次根式的混合运算 ★★
比较二次根式的大小 会比较简单的二次根式的大小 ★★
二、核心纲要
1.二次根式的乘除
(1)乘法: 即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.
(2)除法: 即两个二次根式相乘，被开方数相除，根指数不变.
(3)乘法公式的推广：(
③( ±√b) =a+b±2√ab,( +√b)(√a-√b)=a-b;
).
(4)充分利用 2 .
注：结果必须化为最简二次根式.
2.二次根式的加减
(1)二次根式的加减的实质：先化简(化为最简二次根式)，后合并(合并同类二次根式).
(2)二次根式的加减步骤
①一化：将每个二次根式化为最简二次根式；
②二找：找出同类二次根式；
③三合并：合并同类二次根式.
3.二次根式的混合运算
先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
注：(1)原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用.
(2)进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果必须是最简二次根式.另外，与根式相乘的因数若是带分数，必须写成假分数.例如： 不能写成：
4.分母有理化
(1)分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
(2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称两个代数式互为有理化因式.
(3)常用的有理化因式
与 与 与 等互为有理化因式.
(4)分母有理化步骤
先将二次根式化简，找分母最简有理化因式；然后将计算结果化为最简二次根式的形式.
5.比较二次根式的大小的常用方法
(1)被开方数法:当a≥0,b≥0时,若要比较形如( 与b√b的两数大小，可先把根号外的非负因数a与b平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.
(2)平方法:①如果a>b>0,则 ②如果0(3)估算法：若一个非负数a介于另外两个非负数a 、a 之间，即( 时，它的算术平方根也介于 之间，即：
(4)倒数法：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当 时,a>b;当 时,a=b;当 时,a(5)作差法:在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①a-b≥0 a≥b;②a-b≤0 a≤b.
(6)分母有理化法：通过分母有理化，利用分子的大小来比较.
☆(7)分子有理化法：通过分子有理化，利用分母的大小来比较.
本节重点讲解：一个方法，两个概念，两个运算.
三、全能突破
基础演练
1.下列计算正确的是( ).
2.计算 等于( ).
C.3
3.计算 的结果是( ).
4.下列运算正确的是( ).
5.如果 那么a与b的关系为( ).
A.互为相反数 B.互为倒数 C.互为有理化因式 D.相等
6.与 相乘，结果为有理数的因式为( ).
7.计算:
8.比较下列二次根式的大小：
与 与
与 和
L
9.阅读下面的解题过程，判断是否正确 若不正确，请写出正确的解答.
已知m为实数，化简：
解：原式
能力提升
10.等式 成立的条件是( ).
A. a>0,b>0
11.(1)计算 的正确结果是( ).
A. a/b D.1
(2)若 则x的值等于( ).
A.4 B.±4 C.8 D.±8
12.估计 的运算结果应在( ).
A.6到7之间 B.7 到8之间 C.8到 9之间 D.9到 10之间
13.化简 甲，乙两同学的解法如下：
甲乙
对于甲，乙两同学的解法，正确的判断是( ).
A.甲，乙解法都正确 B.甲正确，乙不正确 C.甲，乙都不正确 D.乙正确，甲不正确
的立方根是( ).
15.若整数 m满足条件 且 则m的值是 .
16.一个等腰三角形的两边长分别是2 和3 则这个等腰三角形的周长为 .
17.(1)已知正数a和b,有下列命题:
①若a+b=2,则 ②若a+b=3,则 则 ③若a+b=6,则
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a+b=9，则
(2)计算 ，根据你发现的规律，
判断 与 (n为大于1 的整数)的值的大小关系为 .
18.不等式 的最大整数解为 .
19.已知 且020.计算及化简：
(3)计算:
21.已知a<0, ab<0,化简
22.先观察下列等式，再回答问题：
(1)根据上面三个等式，请猜想 的结果(直接写出结论).
(2)根据上面各等式反应的规律，试写出用含 n(n为正整数)表示一般规律的等式，并加以验证.
(3)根据上述规律，解答问题：
设 求不超过 m的最大整数[m]是多少
中考链接
23.(湖北孝感)下列计算正确的是( ).
24.(上海)在下列各式中,二次根式. 的有理化因式是( ).
25.(上海)计算:
巅峰突破
26.计算 的值等于( ).
A.6
27.已知 那么a,b,c的大小关系是( ).
A. a基础演练
1. B;2. D;3. D;4. D;5. A;6. D
7.(1)7/5+2/2;(2)2 ;(3)2+4/ ;
(7)(5x-1)/x;(8)- /6a.
(3) - ∵/7- >0. -/ >0.
∴()>0.
即: - > .
注：此题也可以采用平方法比较.
9.不正确.
正确解答：由题意得：
∴原式
=m /-m+ /-m
=(m+1)/=m
能力提升
10. B:11.(1)A;(2)C;12. C;13. A;14. A
15.-1或0:16.4/3+3/2或6/2+2/3
17.(1) ;(2)P>Q;18.-4;19.2
20.(1)原式
(2)原式
①当a≠b时,
原式
②当a=b时,原式
(3)原式
(4)原式
21.∵a<0, ab<0,∴b>0.
∴a-b-3/2<0,b-a+ >0.
∴原式
验证：
(3)由(2)得:
∴不超过m的最大整数[m]=2012.
中考链接
23. C;24. C;25.-2 .
巅峰突破
26. A;27. B