第十六章 二次根式的相关概念强化复习（含答案） 人教版八年级数学下册

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二次根式的相关概念
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
二次根式的概念 了解二次根式的概念 ★
会确定二次根式有意义的条件 ★★
二次根式的性质 掌握二次根式的性质 ★
会用二次根式的性质对代数式作简单变形，能在给定条件下确定字母的取值 ★★
最简二次根式 理解最简二次根式的意义 ★
会把二次根式化成最简二次根式 ★★
同类二次根式 理解同类二次根式的意义
掌握同类二次根式的特征
二、核心纲要
1.二次根式
形如 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
注：(1)在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式.
是 为二次根式的前提条件.
(3)形如 的式子也是二次根式，它表示m与 的乘积.
2.二次根式的性质
具有双重非负性.
或 或
注:(1)化简. 时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简.
与 的区别和联系.
区别： 中的a可以取任意实数，而( 中的a 必须是非负数.当 时, 无意义，而
联系:当a≥0时,
3.非负数的三种常见形式
(1)绝对值:|a|≥0.
(2)偶次幂: 为正整数).
(3)二次根式:
若 则a=b=c=0.
4.积、商的算术平方根的性质
(1)积的算术平方根的性质：
(2)商的算术平方根的性质：
5.确定二次根式所含字母的取值范围
若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可.即当a≥0时， 有意义.
6.最简二次根式
(1)被开方数中不含分母.即根号内无分母，分母内无根号.
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.即开方开得尽.
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式.
7.同类二次根式
如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
注：(1)前提条件：二次根式是最简二次根式.
(2)被开方数相同.
本节重点讲解：两个性质，三个概念.
三、全能突破
基础演练
1.下列各式中，一定是二次根式的是( ).
D.
2.若式子 有意义,则点(m--1,m-2)在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(1)如果 那么( ).
A. x≥1 B.x≥-3 C.-3≤x≤1 D. x为任意实数
(2)等式 成立的条件是( ).
A. a≤0 B. a>-2 C.-24.(1)在下列二次根式 中，最简二次根式的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ).
A. 和 B. 和 和 和
5.把下列各式化成最简二次根式：
6.(1)当a= 时,最简二次根式 与 可以合并.
(2)如果最简根式 与 是同类二次根式，则(
7.若 是非零整数，则 m的最小值是 .
8.(1)已知 化简：
(2)化简:
9.已知x,y为实数, 求 5x+6y的值.
10.(1)已知:a,b,c满足 求(c-b)°的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c均为整数,△ABC的周长是奇数,且a 和b满足 =0,试求△ABC的边长c的值.
能力提升
11.如果 是二次根式时，那么m 和n应满足条件为( ).
A. m≥0,n>0 B. m≥0,n<0
C. mn≥0 D. m、n同号或
12.下列命题中，正确的是( ).
A.若a>0,则 B.若 则a>0
C.若a为任意实数，则 D.若a为任意实数，则(
13.(1)若实数a满足等式||1-a|=1+|a|,则
A.1 B. -a-1 C. a-1
(2)若 成立，则a的取值范围是( ).
A.m≤a≤n B.a≥n且a≤m C.a≤m
14.把根号外面的因式移到根号内：
15.已知a，b，c为三角形的三边，贝 .
16.已知017.若 与 都成立，化简
18.阅读下面的文字后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值： 其中a=5.”甲、乙两人的解答不同，
甲的解答是：a ;
乙的解答是：a- .
(1) 的解答是错误的.
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： .
(3)仿照上题解答：化简 并求值，其中(a=2.
19.如右图所示,△ABC的三边a,b,c,且满足 是, 的整数部分，AD 是 BC 边上的中线，求：(1)a的取值范围；(2)AD的取值范围.
20.阅读材料：一个三角形的三条边长为a、b、c，若满足 则这个三角形就是直角三角形，长度为c的边所对的角是直角.这是我们后面要学的勾股定理的逆定理.
根据上述知识解答下列问题：
已知实数 x、y、a满足 试问长度分别为x、y、a的三条线段能否组成一个直角三角形 若能，请求出三角形的面积；若不能，请说明理由.
21.已知 与 是同类二次根式，解答下列问题：
(1)若a是正整数，则符合条件的a的值有几个 试写出最大值和最小值.
(2)若a是整数，则符合条件的a的值有几个 是否存在最大值和最小值，为什么
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22.(湖北鄂州)要使式子子 有意义，则a的取值范围为 .
23.(四川内江)已知| 则m-n= .
24.(杭州)已知 若b=2-a,则b的取值范围是 .
巅峰突破
25.已知a、b满足 则 的取值范围为( ).
D.以上都不对
26.计算:
基础演练
1. B;2. C;3.(1)A;(2)C;4.(1)C;(2)B
6.(1)1;(2)1;7.
8.(1)由题意可得:
又
∴原式
(2)原式=|a-3|
当a≥3时,原式=a-3;
当a<3时,原式=3-a.
9.由题意得： 解得:x=-3.
∴原式=-16.
10.(1)由题意得:a=-1. b=-1. c=2.
原式
(2)由题意得:a=2. b=3.∴1∵△ABC的周长是奇数，且c是整数，
∴c=2或4.
能力提升
11. D:12. A:13.(1)D:(2)A
∴3≤x≤5.∴x-6<0. x-10<0.
∴原式= /(x-6) +|x-10|=|x-6|+10-x=6-x+10-x=16-2x.
18.(1)甲: 当a<0时,
∵a=2,∴1-a<0.1-4a<0.
∴原式=a-1+4a-1=5a-2=8.
,
∴a-4≥0.即a≥4.
∵b是 的整数部分,∴b=3.
∴4≤a<9.
(2)如下图所示,延长AD至点 E,使 DE=DA,连接CE.
∵AD是BC边上的中线。
∴BD=CD.
∵∠1=∠2,DE=DA.
∴△ADB≌△EDC.
∴AB=EC=6.
在△ACE中,EC-AC即
20.由题意得:
∴ /3x-y-a+ /x-2y+a+3=0.
解得
由材料可知：以3.4.5 为边能组成一个三角形，且此三角形是直角三角形.此三角形的面积S=6.
21.(1)当43-a=2.8.18.32,即a=41.35.25.11时, 与 是同类二次根式，所以符合条件的正整数a有四个，最大值是41，最小值11.
(2)当43-a=2m (m是整数)时, /43-a与 是同类二次根式，其中a可取负整数，所以符合条件的整数a有无数个.存在最大值为41.不存在最小值.
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22.a≥-2且a≠0;23.-2;24.2- 巅峰突破
25. B
26.设 100=k,则
原式
把k=100 代入得,原式=4949.5.