第一节 数据的代表复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册

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第一节 数据的代表
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
平均数 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数 ★
体会用样本平均数估计总体平均数的思想 ★★
中位数 了解中位数的意义，会求一组数据的中位数 ★
众数 了解众数的意义，会求一组数据的众数
二、核心纲要
1.平均数
(1)算术平均数：一组数 据中，有 n 个数 据，分别记作.则 它们的平均数为
(2)加 权平均数：一般地，如果在 n个 数 据中，x 出 现 次,x 出 现 次,x 出 现 次 则这 n个数的平均数为 这个平均数叫做加权平均数，其中 叫做“权”.
注：①求算术平均数，只需用一组数据的总和除以这组数据的个数即可；
②当给出的一组数据较大，且都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式 其中a是取接近于这组数据平均数中较“整”的数， 为新数据的平均数；
③平均数反映一组数据的平均水平；
④加权平均数是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的一种简便运算；
⑤求平均数时注意单位.
2.中位数
将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，把处在中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.
注：①一组数据的中位数不一定出现在这组数据中；
②一组数据的中位数是唯一的；
③由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半；
④中位数仅与数据的排列位置有关，如果数据的个数是奇数，处在中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.
3.众数
在一组数据中，出现次数最多的数据是这组数据的众数.
注：①众数不具有唯一性，可以是一个也可以是多个；
②众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数；
③当一组数据有较多的重复数据时，通常要考查它的众数.
4.平均数、中位数和众数的区别与联系
平均数 中位数 众数
区别 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动 中位数仅与数据 的排列位置有关，某 些数据的变动对中 位数没有影响 众数主要研究各数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有数据多次重复出现时，我们往往关心众数
联系 平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势
本节重点讲解：三个概念.
三、全能突破
基础演练
1.一组数据3,5,7,m,n的平均数是6,则m,n的平均数为( ).
A.6 B.7 C.7.5 D.15
2.小华的数学平时成绩为92分，期中成绩为 90分，期末成绩为 96分，若按3：3：4 的比例计算总评成绩，则小华的数学总评成绩应为( ).
A.92 B.93 C.96 D.92.7
3.某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况(满分 100分)如下表所示，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是( ).
分数/分 89 92 95 96 97
评委/位 1 2 2 1 1
A.92 分 B.93分 C.94 分 D.95 分
4.某中学篮球队13名队员的年龄情况如下表所示：
年龄/岁 15 16 17 18
人数 3 4 5 1
则这个队队员年龄的中位数是( ).
A.15.5 B.16 C.16.5 D.17
5.(1)为了了解某公司员工的年工资情况，小王随机调查了 10位员工，其年工资(单位：万元)如下：3，3，3，4，5，5，6，6，8，20，下列统计量中，能合理反映该公司年工资中等水平的是( ).
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.三者均可
(2)在共有 15 人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的( ).
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.三者均可
6.一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示：
尺码/厘米 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 5 10 22 39 56 43 25
一般来讲，鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
7.某射击选手在10次射击时的成绩如下表所示：
环数 7 8 9 10
次数 2 4 1 3
则这组数据的平均数是 ，中位数是 ，众数是 .
8. A、B 两班在一次百科知识对抗赛中的成绩统计如下表所示：
分数 50 60 70 80 90 100
人数(A班) 3 5 15 3 13 11
人数(B 班) 1 6 12 11 15 5
根据表中数据完成下列各题：
(1)A 班众数为 分，B 班众数为 分，从众数看成绩较好的是 班；
(2)A 班中位数为 分，B 班中位数为 分，A 班中成绩在中位数以上的(包括中位数)学生所占的百分比是 %，B班中成绩在中位数以上的(包括中位数)学生所占的百分比是 %，从中位数看成绩较好的是 班；
(3)若成绩在 85 分以上为优秀，则A 班优秀率为 %，B班优秀率为 %，从优秀率看成绩较好的是 班.
(4)A 班平均数为 分，B 班平均数为 分，从平均数看成绩较好的是 班.
能力提升
9.已知一组数据a ,a ,a ,a ,a 的平均数为8,则另一组数据 的平均数为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.在一次向“希望工程”捐款的活动中，已知小刚的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，则下列判断中，正确的是( )
A.小刚在小组中捐款数不可能是最多的
B.小刚在小组中捐款数可能排在第12位
C.小刚在小组中捐款数不可能比捐款数排在第7位的同学的少
D.小刚在小组中捐款数可能是最少的
11.期中考试后，学习小组组长算出该组 5位同学数学成绩的平均分为 M，如果把 M当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这 6个分数的平均值为 N，那么M：N 为( )
A. B.1 C. D.2
12.某同学求出 2013 个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的2013 个有理数混在一起，成为2014 个有理数，而忘掉哪个是平均数了.如果这2014个有理数的平均数恰为 2014.则原来的 2013 个有理数的平均数是( ).
A.2013.5 B.2013 C.2014 D.2014.5
13.自然数4、5、5、x、y从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数据唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中,x+y的最大值是( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
14.一组数据由5个正整数组成，中位数是3，且唯一的众数是7，则这 5个正整数的平均数是( ).
A.4 B.5 C.6 D.8
15.某小组 10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为 96，其余7个人的平均成绩为 86，则这个小组的本次测试的平均成绩为 .
16.某公司全体员工年薪的具体情况如下表所示：
年薪/万元 30 14 9 6 4 3.5 3
员工数/人 1 1 1 2 7 6 2
则所有员工的年薪的平均数比中位数多 万元.
17.数据1,2,3,a的平均数是3,数据4,5,a,b的众数是5,则a+b= .
18.一组数据12,16,11,17,13,x的中位数是 13,则这组数据的众数是 .
19.张老师对同学们的打字能力进行测试，他将全班同学分成五组.经统计，这五个小组平均每分钟打字个数如下：100，80，x，90，90，已知这组数 据的众数与 平 均数相等，那么这 组 数 据 的 中 位 数是 .
20.某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下：
成绩/分 50 60 70 80 90 100
人数/人 2 x 10 y 4 2
(1)若这个班的数学平均成绩为69分，求x和y的值；
(2)设此班40名学生成绩的众数为a，中位数为b，求(a-b) 的值.
21.为了解甲、乙两名运动员的体能训练情况，对他们进行了跟踪测试，并把连续十周的测试成绩绘制成图 20-1-1 所示的折线统计图。教练组规定：体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格.
(1)请根据图中所提供的信息填写下表：
平均数 中位数 体能测试成绩合格次数
甲 65
乙 60
(2)请从下面两个不同的角度对这两名运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数和成绩合格的次数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好；
②依据平均数和中位数比较甲和乙， 的体能测试成绩较好.
(3)依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好.
22.在学校组织的“喜迎奥运，知荣明耻，文明出行”的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成图20-1-2 所示的统计图：
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)此次竞赛中二班成绩在C级以上(包括C级)的人数为 ；
(2)请你将下表补充完整：
平均数/分 中位数/分 众数/分
一班 87.6 90
二班 87.6 100
(3)请从下列不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析：
①从平均数和中位数的角度来比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数的角度来比较一班和二班的成绩；
③从 B 级以上(包括 B 级)的人数的角度来比较一班和二班的成绩.
中考链接
23.(北京)某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量/度 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( ).
A.180,160 B.160,180 C.160,160 D.180,180
24.(湖北黄冈)为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取 15 名学生家庭的年收入情况，数据如下表：
(1)求这 15 名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.
(2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这 15 名学生家庭年收入的一般水平较为合适 请简要说明理由.
年收入/万元 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
巅峰突破
25.已知数据x 、x 、x 的平均数为 a,y 、y 、y 的平均数为b,则数据 的平均数为( ).
A.2a+3b C.6a+9b D.2a+b
26.5个互不相等的自然数的平均数是15，中位数是 18，则这5个数中最大数的最大值为( ).
A.35 B.36 C.37 D.38
27.学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举收到有效选票1500 张，统计其中1000 张选票结果是甲 350票，乙370票，丙280票，则甲在剩余 500张票中至少得 票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席.
基础演练
1. C;2. B;3. C;4. B;5.(1)C;(2)C;6. C
7.8.5;8;8 8.(1)70;90;B (2)80;80;54;62;B
(3)48;40;A (4)80.2;79.6;A
能力提升
9. C;10. B;11. B;12. C;13. C;14. A;15.89
16.2;17.11;18.13;19.90
20.(1)由题意,得
110++60++700+80y+360+200=69×40.
解得 的值为18. y的值为4.
(2)60出现18次,且出现次数最多,∴a=60.
∴这组数据的中位数为 (分).
21.(1)甲:平均数60.合数次数2.
乙:中位数 57.5,合格次数4.
(2)①乙:②甲.
(3)从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都成上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格的次数比甲多，所以乙训练的效果较好.
22.(1)21;
(2)一班众数为 90,二班中位数为 80;
(3)①从平均数的角度看两班成绩一样，从中位数的角度看一班比二班的成绩好，所以一班成绩好；
②从平均数的角度看两班成绩一样，从众数的角度看二班比一班的成绩好，所以二班成绩好；
③从B级以上(包括B级)的人数的角度看，一班人数是 18人，二班人数是 12人，所以一班成绩好.
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23. A
24.(1)这15名学生家庭年收入的平均数是:(2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13)÷15=4.3(万元).
将这15个数据从小到大排列，最中间的数(第8个)是3.所以中位数是3万元.
在这一组数据中3出现次数最多，所以众数3万元。
(2)众数代表这 15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，因为3出现的次数最多，所以能代表家庭年收入的一般水平.
巅峰突破
25. A:26. C;27.261