第二节 数据的波动复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册

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第二节 数据的波动
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
数据的波动 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征
体会用样本方差估计总体方差
二、核心纲要
1.极差
一组数据中的最大值与最小值所得的差叫做这组数据的极差.
注：(1)极差可以反映一组数据变化范围的大小.(2)极差的单位与原数据的单位一致.
(3)极差=最大值-最小值.(4)极差是最简单的判断数据波动的量，但它受极端值的影响较大.
2.方差
(1)概念：一组数据 中各组数据与它们的平均数 的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
(2)方差的计算公式：
注：①方差是用来衡量一组数据的波动大小；②方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；
③在平均数相等或相差不多的情况下，方差越大波动性越大，方差越小波动性越小；
④一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得一组新数据的方差不变；
一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，所得一组新数据的方差将变为原来数据方差的. 倍;
⑤方差的简化计算公式：
a：若一组数据中的数较小时，
b：若一组数据中的数较大时，
,a是接近这组数据的平均数的一个常数.
本节重点讲解：两个概念.
三、全能突破
基础演练
1.已知一组数据:4,-1,5,9,7,6,7,则这组数据的极差是( ).
A.10 B.9 C.8 D.7
2.衡量一组数据波动大小的统计量是( ).
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
3.已知一组数据:1,3,5,5,6,则这组数据的方差是( ).
A.16 B.5 C.4 D.3.2
4.某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同、方差分别为 二月份白菜价格最稳定的市场是( ).
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛.在选拔赛中，每人射击10次，计算他们 10发成绩的平均数(环)及方差如下表.请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 .
甲 乙 丙 丁
平均数 8.2 8.0 8.0 8.2
方差 2.1 1.8 1.6 1.4
6.数据a,b,c,d的极差为m,则ca+x,b+x,c+x,d+x的极差为 .
能力提升
7.一组数据中的每个数都加10，那么下列关于新数据的说法中正确的个数是( ).
(1)平均数加 10;(2)中位数不变;(3)极差加 10;(4)方差不变
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.设有 n个样本x ,x ,…,x ,其方差为 S ,另有 n个样本y ,y ,…,y ,其方差为 S ,其中 (k=1,2,…,n)则S, 与S,之间的关系是( )
9.某同学5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2,则|x-y|的值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一个样本的方差 则样本容量是 ，样本平均数是 .
11.如图20-2-1 所示，是甲、乙两地5月下旬的日平均气温统计图，则甲、乙两地这 10 天日平均气温的方差大小关系 为:Sep S .
12.一组数据-1，0，2，3，x，其中这组数据的极差是5，那么这组数据的平均数是 .
13.已知一组数据x ,x ,…,x 的方差是S ，则新的一组数据 (a为非零常数)的方差是 (用含 a 和s 的代数式表示).
14.为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了10次测验，成绩如下表所示：(单位：分)
甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)请填写下表：
平均数 中位数 众数 方差 85 分以上的频率
甲 84 84 14.4 0.3
乙 84 84 34
(2)利用(1)的信息，请你对甲、乙两个同学的成绩进行分析.
15.为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”.短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图 20-2-2 所示，请根据图中所示解答以下问题.
(1)请根据图中信息，补齐下面的表格.
(2)从图中看，小明与小亮谁的成绩最好
(3)分别计算他们的平均数、极差和方差，若你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议
第 1次 第 2次 第3次 第 4 次 第5次
小明 13.3 13.4 13.3 13.3
小亮 13.2 13.1 13.5 13.3
16.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图20-2-3 是其中的甲、乙两段台阶路的示意图.图中数字表示每个台阶的高度(单位为cm)，请你用学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题：
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点
(2)哪段台阶路走起来更舒服 为什么
(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
中考链接
17.(深圳)体育课上，某班两名同学分别进行5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的( ).
A.平均数 B.频数分布 C.中位数 D.方差
18.(广东佛山)甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：
组数 选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 98 90 87 98 99 91 92 96 98 96
乙 85 91 89 97 96 97 98 96 98 98
(1)根据上表数据，完成下列分析表：
平均数 众数 中位数 方差 极差
甲 94.5 96 15.65 12
乙 94.5 18.65
(2)如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个 为什么
19.(河北)某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5 箭，他们的总成绩(单位：环)相同，小宇根据他们的成绩绘制了图 20-2-4 所示的尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业).
甲、乙两人射箭成绩统计表 小宇的作业
第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线.
(3)①观察图，可看出 的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”).参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断.
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.
巅峰突破
20.一个样本为1，3，2，2，a，b，c.已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为( ).
A.8 B.4 C. D.
基础演练
1. A;2. D;3. D;4. B;5.丁;6. m
能力提升
7. B:8. C;9. D;10.17;3;11.>;12.1.6 或0.4;13. a s
14.(1)中位数:84.众数:90.频率:0.5.
(2)甲、乙成绩的中位数、平均数都是84.
a.甲成绩的众数是84.乙成绩的众数是90，从成绩的众数看，乙的成绩好。
b.甲成绩的方差是14.4.乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定。
c.甲成绩85分以上的频率为0.3，乙成绩85 分以上的频率为0.5，从85分以上的频率看，乙的成绩好.
15.(1)小亮第2次:13.4,小明第4次:13.2.
(2)小明,波动小。(3)略
(11+15+18+17+10+19)=15.
∴ 相同点：两段台阶路高度的平均数相同：
不同点：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同.
(2)甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小；
(3)每个台阶高度均为15cm(原平均数)，使得方差为0.
中考链接
17. D
18.(1)甲:众数 98;乙:众数 98.中位数 96.5.极差 13.
∴甲的成绩比较稳定，∴选择甲选手参加比赛。
19.(1)4.6.
(2)如下图所示.
(3)①乙.
-6) ]=1.6.由于S ②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中。
巅峰突破
20. C