第一节 函数及图像 复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第一节 函数及图像 复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-24 10:12:52 | ||
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文档简介
第一节 函数及图像
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
函数及图像 了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；会确定简单的整式、 分式、根式和简单实际问题的函数的自变量的取值范围，并会求函数值 ★
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题变量之间的关系 ★★
能探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用函数来表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析 ★★★
二、核心纲要
1.常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值不变的量为常量，数值变化的量为变量.
2.函数的定义
在某一变化过程中，如果有两个量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x称为自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
注：(1)“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应,否则y不是x的函数;如:|y|=x,当x=3时,y=±3,则y就不是x 的函数;函数. 中,当x=4时,y=1,则y是x的函数.
(2)判断两个变量是否有函数关系，不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系，且书写函数关系式时有顺序性.如:y=-3x+1:是表示 y是x的函数，若写成 就表示x是y的函数.
(3)函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系.
3.确定函数自变量取值范围的方法
4.函数的图像
对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.
注：(1)满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图像上；
(2)函数图像上点的坐标满足函数解析式.
5.画函数图像的方法——描点法
其步骤如下：
第一步：列表(表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值)；
第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点)；
第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来，并表示出图像的趋势).
6.函数的三种表示方法
表示方法 定义 优点 缺点
解析式法 用自变量的代数式表示函数的方法叫做解析式法 简单准确地反映两个变量之间的关系 不能直观、形象的反映函数关系的变化趋势
列表法 通过列表给出y与x的对应值的方法叫做列表法 可直接找到函数的对应值 总 结 出 的 规 律 不一定可靠
图像法 通过建立平面直角坐标系，用横、纵坐标表示自变量与函数对应关系的方法叫做图像法 直观地反映两个变量之间的关系，形象地反映函数的一些性质 由图像所得到的有关数据和数量关系不准确
7. y随x的变化趋势
从左向右看函数图像，若图像呈上升趋势，y随x的增大而增大(减小而减小)，若图像呈下降趋势，y随x的增大而增小(减小而增大).
本节重点讲解：一类范围确定，三个定义，三种表示.
三、全能突破
基础演练
1.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出 100 滴水，每滴水约0.05 毫升.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出 y毫升的水，请写出 y与x之间的函数关系式是( ).
A. y=0.05x B. y=5x C. y=100x D. y=0.05x+100
2.下列关系式中，表示 y是x的函数的是( ).
B. y=±x D.±y=2x
3.均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度 h随时间t的变化规律如图19-1-1所示(图中 OABC 为一折线)，则这个容器的形状为( )
4.如图 19-1-2所示,正方形 ABCD的边长为4,P 为正方形边上一动点,运动路线是 A→D→C→B→A,设P 点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是( ).
5.已知,点 P(x,y)在函数 的图像上，那么点 P 在平面直角坐标系中的第( )象限.
A. 一 B.二 C.三 D.四
6.(1)函数y=2x--1自变量x的取值范围是 ；
(2)函数 自变量x的取值范围是 ；
(3)函数 自变量x的取值范围是 ；
自变量x的取值范围是 ；
(5)函数 自变量x的取值范围是 .
7.两个变量y与x之间的函数图像如图19-1-3所示，当x满足 时，y随x的增大而增大；当x满足 时，y随x的增大而增小.
8.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图19-1-4).
(1)图像表示了哪两个变量的关系
(2)10时和13时，他分别离家多远
(3)他到达离家最远的地方是什么时间 离家多远
(4)10时到 12时他行驶了多少千米
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少
能力提升
9.图19-1-5 所示图像中,y是x的函数是( ).
10.当实数 x的取值使得 有意义时,函数 y=4x+1中y的取值范围是( ).
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
11.已知函数 y=3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加( ).
A.3m B.3m+1 C.3m-1 D. m
12.下列函数中，与y=|x|是同一函数关系的是( ).
A. y=x(x≥0) B. y=-x(x<0)
13.一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是图19-1-6中的( ).
14.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图19-1-7,所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是( ).
A.①②③ B.仅有①②
C.仅有①③ D.仅有②③
15.函数 自变量x的取值范围是 .
16.已知t=2+x,y=3-2t,则y与x之间的函数关系式为 .
17.根据图 19-1-8所示的程序计算变量 y的值，若输入自变量 x的值为 ，则输出的结果是 .
18.将长为30cm,宽为10cm的长方形白纸,按图19-1-9所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x 张白纸粘合后的总长度为ycm,则y与x的函数关系式为 ,当x=20时,y的值为 .
19.小青受故事《乌鸦喝水》的启示，利用量筒和体积相同的小球进行如下操作(如图 19-1-10 所示)
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量筒中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量筒中水面的高度 y(cm)与小球的个数x(个)之间的一次函数关系式为 (不需要写出自变量的取值范围)；
(3)量筒中至少放入 个小球时有水溢出
20.如果点 A(2,7)在函数 的图像上，且当 时,y=5
(1)求a、b的值;
(2)如果点B( ,m)与点C(n,7)也在此图像上,求m、n的值.
21.已知等腰三角形周长为20，
(1)写出底边长 y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)；
(2)求出自变量x的取值范围；
(3)画出函数图像.
22.某景区的旅游线路如图19-1-11(a)所示，其中 A 为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图19-1-11(a)中所给数据为相应两点间的路程(单位：km).甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到 A 处时，共用去 3h.甲步行的路程s(km)与游览时间t(h)之间的部分函数图像如图 19-1-11(b)所示.
(1)求甲在每个景点逗留的时间，并补全图像；
(2)求 C、E两点间的路程;
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(3)乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到 A 处，两人相约先到者在 A 处等候，等候时间不超过10分钟.如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现 请说明理由.
中考链接
23.(黑龙江省绥化)甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图 19-1-12 所示，请你根据图像判断，下列说法正确的是( ).
A.甲队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了 200米
C.乙队比甲队少用0.2分钟
D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大
24.(北京)小翔在如图 19-1-13(a)所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C，共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练的距离为y(单位：米)，表示 y与t的函数关系的图像大致如图 19-1-13(b)所示,则这个固定位置可能是图 19-1-13(a)中的( ).
A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q
巅峰突破
25.两个变量y与x之间的函数图像如图 19-1-14 所示，
(1)自变量x的取值范围是 ；
(2)函数值 y的取值范围是 ；
(3)当x= 时,函数值 y取得最大值,当x= 时，函数值 y取得最小值；
(4)当x满足 时，y随x的增大而增大；
(5)当x满足 时，y随x的增大而增小.
26.已知函数 当x=a+1时函数值为2,求a的值.
第一节 函数及图像
基础演练
1. B;2. A;3. A;4. B;5. B
6.(1)全体实数;(2)全体实数;(3)x≤0;
(4)x≠2;(5)x≥-2且x≠3
7.3≤x≤5;1≤x≤3
8.(1)离家的距离和时间的变化关系；
(2)10时离家10千米.13时离家30 千米;
(3)12-13时离家最远,此时离家30千米;
(4)10时到12时他行驶了:30-10=20(千米);
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是：30÷(15-13)=15(千米/时).
能力提升
9. D:10. B:11. A:12. D;13. A:14. A:15. x≥3
19.(1)2;(2)y=2x+30;(3)10
20.(1)由题意,得x=2,y=7;x=-/3时,y=5.
则有： 解得：
∴a=2,b=-1.
(2)由(1)可知: 当 时, 当y=7时,则
21.(1)y=20-2x.
(2)由题意,得 即
解得:5∴自变量x的取值范围为5(3)图像如下:
22.(1)由图(b)可知甲步行的速度为 因此甲在每个景点逗留的时间为 补全图像如下：
(2)甲步行的总时间为3-0.5×2=2(h).
∴甲的总行程为2×2=4(km).
∴C、E两点间的路程为4-1.6-1-0.8=0.6(km).
(3)他们的约定能实现.
乙游览的最短线路为:A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).
总行程为1.6+1+0.6+0.4×2+0.8=4.8(km).
∴乙游完三个景点后回到A 处的总时间为 =3.1(h).∴乙比甲晚6分钟到A处.
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23. C: 24. D
巅峰突破
25.(1)-5≤x≤5;(2)1≤y≤5;(3)-4或1;3;
(4)-5≤x≤-4或0≤x≤1或3≤x≤5;(5)-4≤x≤0或1≤x≤3.
26.把 y=2代入函数解析式得：
∴a+1=-2.∴a=-3.
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
函数及图像 了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；会确定简单的整式、 分式、根式和简单实际问题的函数的自变量的取值范围，并会求函数值 ★
能用适当的函数表示法刻画某些实际问题变量之间的关系 ★★
能探索具体问题中的数量关系和变化规律，并用函数来表示；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步推测；能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析 ★★★
二、核心纲要
1.常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值不变的量为常量，数值变化的量为变量.
2.函数的定义
在某一变化过程中，如果有两个量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x称为自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
注：(1)“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应,否则y不是x的函数;如:|y|=x,当x=3时,y=±3,则y就不是x 的函数;函数. 中,当x=4时,y=1,则y是x的函数.
(2)判断两个变量是否有函数关系，不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系，且书写函数关系式时有顺序性.如:y=-3x+1:是表示 y是x的函数，若写成 就表示x是y的函数.
(3)函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系.
3.确定函数自变量取值范围的方法
4.函数的图像
对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.
注：(1)满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图像上；
(2)函数图像上点的坐标满足函数解析式.
5.画函数图像的方法——描点法
其步骤如下：
第一步：列表(表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值)；
第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点)；
第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来，并表示出图像的趋势).
6.函数的三种表示方法
表示方法 定义 优点 缺点
解析式法 用自变量的代数式表示函数的方法叫做解析式法 简单准确地反映两个变量之间的关系 不能直观、形象的反映函数关系的变化趋势
列表法 通过列表给出y与x的对应值的方法叫做列表法 可直接找到函数的对应值 总 结 出 的 规 律 不一定可靠
图像法 通过建立平面直角坐标系，用横、纵坐标表示自变量与函数对应关系的方法叫做图像法 直观地反映两个变量之间的关系，形象地反映函数的一些性质 由图像所得到的有关数据和数量关系不准确
7. y随x的变化趋势
从左向右看函数图像，若图像呈上升趋势，y随x的增大而增大(减小而减小)，若图像呈下降趋势，y随x的增大而增小(减小而增大).
本节重点讲解：一类范围确定，三个定义，三种表示.
三、全能突破
基础演练
1.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出 100 滴水，每滴水约0.05 毫升.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出 y毫升的水，请写出 y与x之间的函数关系式是( ).
A. y=0.05x B. y=5x C. y=100x D. y=0.05x+100
2.下列关系式中，表示 y是x的函数的是( ).
B. y=±x D.±y=2x
3.均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度 h随时间t的变化规律如图19-1-1所示(图中 OABC 为一折线)，则这个容器的形状为( )
4.如图 19-1-2所示,正方形 ABCD的边长为4,P 为正方形边上一动点,运动路线是 A→D→C→B→A,设P 点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是( ).
5.已知,点 P(x,y)在函数 的图像上，那么点 P 在平面直角坐标系中的第( )象限.
A. 一 B.二 C.三 D.四
6.(1)函数y=2x--1自变量x的取值范围是 ；
(2)函数 自变量x的取值范围是 ；
(3)函数 自变量x的取值范围是 ；
自变量x的取值范围是 ；
(5)函数 自变量x的取值范围是 .
7.两个变量y与x之间的函数图像如图19-1-3所示，当x满足 时，y随x的增大而增大；当x满足 时，y随x的增大而增小.
8.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况(如图19-1-4).
(1)图像表示了哪两个变量的关系
(2)10时和13时，他分别离家多远
(3)他到达离家最远的地方是什么时间 离家多远
(4)10时到 12时他行驶了多少千米
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少
能力提升
9.图19-1-5 所示图像中,y是x的函数是( ).
10.当实数 x的取值使得 有意义时,函数 y=4x+1中y的取值范围是( ).
A.y≥-7 B. y≥9 C. y>9 D. y≤9
11.已知函数 y=3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加( ).
A.3m B.3m+1 C.3m-1 D. m
12.下列函数中，与y=|x|是同一函数关系的是( ).
A. y=x(x≥0) B. y=-x(x<0)
13.一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是图19-1-6中的( ).
14.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点的人原地休息.已知甲先出发2s.在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图19-1-7,所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是( ).
A.①②③ B.仅有①②
C.仅有①③ D.仅有②③
15.函数 自变量x的取值范围是 .
16.已知t=2+x,y=3-2t,则y与x之间的函数关系式为 .
17.根据图 19-1-8所示的程序计算变量 y的值，若输入自变量 x的值为 ，则输出的结果是 .
18.将长为30cm,宽为10cm的长方形白纸,按图19-1-9所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x 张白纸粘合后的总长度为ycm,则y与x的函数关系式为 ,当x=20时,y的值为 .
19.小青受故事《乌鸦喝水》的启示，利用量筒和体积相同的小球进行如下操作(如图 19-1-10 所示)
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量筒中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量筒中水面的高度 y(cm)与小球的个数x(个)之间的一次函数关系式为 (不需要写出自变量的取值范围)；
(3)量筒中至少放入 个小球时有水溢出
20.如果点 A(2,7)在函数 的图像上，且当 时,y=5
(1)求a、b的值;
(2)如果点B( ,m)与点C(n,7)也在此图像上,求m、n的值.
21.已知等腰三角形周长为20，
(1)写出底边长 y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)；
(2)求出自变量x的取值范围；
(3)画出函数图像.
22.某景区的旅游线路如图19-1-11(a)所示，其中 A 为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图19-1-11(a)中所给数据为相应两点间的路程(单位：km).甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到 A 处时，共用去 3h.甲步行的路程s(km)与游览时间t(h)之间的部分函数图像如图 19-1-11(b)所示.
(1)求甲在每个景点逗留的时间，并补全图像；
(2)求 C、E两点间的路程;
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(3)乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到 A 处，两人相约先到者在 A 处等候，等候时间不超过10分钟.如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现 请说明理由.
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23.(黑龙江省绥化)甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图 19-1-12 所示，请你根据图像判断，下列说法正确的是( ).
A.甲队率先到达终点
B.甲队比乙队多走了 200米
C.乙队比甲队少用0.2分钟
D.比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大
24.(北京)小翔在如图 19-1-13(a)所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C，共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间为t(单位：秒)，他与教练的距离为y(单位：米)，表示 y与t的函数关系的图像大致如图 19-1-13(b)所示,则这个固定位置可能是图 19-1-13(a)中的( ).
A.点 M B.点 N C.点 P D.点 Q
巅峰突破
25.两个变量y与x之间的函数图像如图 19-1-14 所示，
(1)自变量x的取值范围是 ；
(2)函数值 y的取值范围是 ；
(3)当x= 时,函数值 y取得最大值,当x= 时，函数值 y取得最小值；
(4)当x满足 时，y随x的增大而增大；
(5)当x满足 时，y随x的增大而增小.
26.已知函数 当x=a+1时函数值为2,求a的值.
第一节 函数及图像
基础演练
1. B;2. A;3. A;4. B;5. B
6.(1)全体实数;(2)全体实数;(3)x≤0;
(4)x≠2;(5)x≥-2且x≠3
7.3≤x≤5;1≤x≤3
8.(1)离家的距离和时间的变化关系；
(2)10时离家10千米.13时离家30 千米;
(3)12-13时离家最远,此时离家30千米;
(4)10时到12时他行驶了:30-10=20(千米);
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是：30÷(15-13)=15(千米/时).
能力提升
9. D:10. B:11. A:12. D;13. A:14. A:15. x≥3
19.(1)2;(2)y=2x+30;(3)10
20.(1)由题意,得x=2,y=7;x=-/3时,y=5.
则有： 解得：
∴a=2,b=-1.
(2)由(1)可知: 当 时, 当y=7时,则
21.(1)y=20-2x.
(2)由题意,得 即
解得:5
22.(1)由图(b)可知甲步行的速度为 因此甲在每个景点逗留的时间为 补全图像如下：
(2)甲步行的总时间为3-0.5×2=2(h).
∴甲的总行程为2×2=4(km).
∴C、E两点间的路程为4-1.6-1-0.8=0.6(km).
(3)他们的约定能实现.
乙游览的最短线路为:A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A).
总行程为1.6+1+0.6+0.4×2+0.8=4.8(km).
∴乙游完三个景点后回到A 处的总时间为 =3.1(h).∴乙比甲晚6分钟到A处.
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23. C: 24. D
巅峰突破
25.(1)-5≤x≤5;(2)1≤y≤5;(3)-4或1;3;
(4)-5≤x≤-4或0≤x≤1或3≤x≤5;(5)-4≤x≤0或1≤x≤3.
26.把 y=2代入函数解析式得：
∴a+1=-2.∴a=-3.