第三节 一次函数与方程(组) 及一元一次不等式复习讲义（含答案） 2023-2024学年 人教版八年级数学下册

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第三节 一次函数与方程(组) 及一元一次不等式
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
一次函数与一次方程(组) 能用函数观点看一次方程(组) ★
能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解 ★★
一次函数与 一元一次不等式 能用函数的观点认识一次函数与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形(在平面直角坐标系中)来表示不等式的解 ★
能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题 ★★
二、核心纲要
1.一次函数与一元一次方程的关系
直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标,就是一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解.求直线y=kx+b与x轴交点时,可令 y=0,得到方程kx+b=0,解方程得 直线 y=kx+b交x轴于点 就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.
注:(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解 在一次函数 y=kx+b(k≠0)中,令y=0时,x的值.
(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.
2.一次函数与一元一次不等式的关系
(1)任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围.
(2)函数图像的位置决定两个函数值的大小关系
①函数 的图像在函数 y 的图像的上方 ，如下图所示；
②函数. 的图像在函数 y 的下方 ，如下图所示；
③特别说明：函数 y的图像在x轴上方 y>0；函数y的图像在x轴下方 y<0.
3.一次函数与二元一次方程(组)的关系
(1)一次函数的解析式. 本身就是一个二元一次方程，直线. 上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程 ，因此二元一次方程的解也就有无数个.
(2)一次函数.
①从“数”看，它是一个二元一次方程；
②从“形”看，它是一条直线.
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解
(1)二元一次方程组 有唯一的解 直线 不平行于直线
(2)二元一次方程组 无解 直线 平行于直线
(3)二元一次方程组 有无数多个解 直线. 与 重合
5.比较两个函数值大小的方法
(1)画图像，求交点.
(2)过交点作平行于 y轴的直线.
(3)谁高谁大.
6.数学思想
数形结合和转化思想.
本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.
三、全能突破
基础演练
1.若直线 y=(m-3)x+6与x轴交于点(3,0),则m的值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图19-3-1所示,一次函数 y=kx+b的图像经过A、B两点,则kx+b≥0解集是( )
A. x>0 B.x≥-3
C. x>2 D.-3≤x≤2
3.已知ax+b=0的解是2,则直线y=ax+b与x轴的交点坐标是 .
4.一次函数 y=2x+4的图像与y轴的交点满足二元一次方程-2x+by=8，则(
5.已知直线 y=x-3与 y=2x+2的交点为(-5,-8),则方程组 的解是 .
6.已知方程组 (a、b、c、k为常数,ak≠0)的解为 则直线y=ax+c和直线y=kx+b的交点坐标为 .
7.如图19-3-2所示,直线 的交点坐标是(1，2)，则使 的x的取值范围是 .
8.已知: ，试用图像法比较 y 与y 的大小.
9.某通信公司推出①、②两种通信收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通信时间x(分钟)与收费 y(元)之间的函数关系如图 19-3-3 所示.
(1)有月租费的收费方式是 (填①或②)，月租费是 元；
(2)分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
(3)请你根据用户通信时间的多少，给出经济实惠的选择建议.
能力提升
10.一次函数 与 的图像如图 19-3-4 所示,则下列结论①k<0;②a>0;③当x<3时, 中，正确的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
11.如图19-3-5 所示,函数 和 的图像相交于(-1,1),(2,2)两点.当. 时,则x的取值范围是( ).
A. x<-1 B.-12 D. x<-1或x>2
12.若直线y=-2x-4与直线 y=4x+b的交点在第三象限,则b的取值范围是( ).
A.-48 D.-4≤b≤8
13.已知一次函数 y=ax+b的图像过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2，0)，则关于x 的不等式a(x-1)-b>0的解集为( ).
A. x<-1 B. x>-1 C. x>1 D. x<1
14.已知函数 y=-x+m与y=mx-4的图像的交点在 x轴的负半轴上那么m的值为( ).
A.2 B. -2 C.±4 D.±2
15.用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像，如图19-3-6所示，则所解的二元一次方程组是( ).
。
16.已知一次函数 y=kx+b的图像经过点(2,0),(1,3),则不求k,b的值,可直接得到方程kx+b=3的解是 .
17.若直线 y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b= .
18.如图 19-3-7 所示,已知函数 y=3x+b 和y=ax--3 的图像交于点P(-2,-5),则根据图像可得不等式ax-3<3x+b<4的解集是 .
19.小张骑车往返于甲、乙两地，他距甲地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数图像如图 19-3-8中折线 OABCD 所示.
(1)小张在路上停留了 小时，他从乙地返回时的速度为 千米/小时；
(2)求小张在图中 BC段上距甲地的路程y (千米)与时间x(小时)的函数 y/千米解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)小王与小张同时从不同地点出发，按相同路线前往乙地，如果小王距甲地的路程 y (千米)与时间x(小时)的函数解析式为. 图像为线段 EF，那么他们第一次相遇时距出发多少小时 请写出你的计算过程.
20.阅读理解：在数轴上，x=1表示一个点，在平面直角坐标系中，x=1 表示一条直线(如图 19-3-9(a)所示)，在数轴上，x≥1表示一条射线；在平面直角坐标系中，x≥1表示的是直线x=1右侧的区域；在平面直角坐标系中,x+y-2=0表示经过(2,0),(0,2)两点的一条直线,在平面直角坐标系中,x+y-2≤0
表示的是直线x+y-2=0及其下方区域(如图 19-3-9(b)所示),如果x,y满足 在图19-3-9(c)中用阴影描出点(x,y)所在的区域.
21.有甲、乙两个均装有进水管和出水管的容器，水管的所有阀门都处于关闭状态.初始时，同时打开甲、乙两容器的进水管，两容器都只进水；到8分钟时，关闭甲容器的进水管，打开它的出水管，甲容器只出水；到16分钟时，再次打开甲容器的进水管，此时甲容器既进水又出水；到 28分钟时，关闭甲容器的出水管，并同时关闭甲、乙两容器的进水管.已知两容器每分钟的进水量与出水量均为常数，图19-3-10 中折线 O-A--B-C和线段DE 分别表示两容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：
(1)甲容器的进水管每分钟进水 升，它的出水管每分钟出水 升；
(2)求乙容器内的水量 y与时间x的函数关系式；
(3)求从初始时刻到最后一次两容器内的水量相等时所需的时间.
中考链接
22.(呼和浩特)下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是( ).
23.(黔东南州)图 19-3-11 是直线y=x-3的图像,点 P(2,m)在该直线的上方，则m的取值范围是( ).
A. m>-3 B. m>-1
C. m>0 D. m<3
巅峰突破
24.在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取( ).
A.2个 B.4 个 C.6个 D.8个
25.已知整数x满足 对任意一个x，m都取y ，y 中的较大值，则m的最小值是( ).
A.1 B.2 C.24 D.-9
26.对于三个数a、b、c,用 min{a,b,c)表示这三个数中最小的数,例如, min{-1,2,3}=-1, min{-1,那么min{x+1,2-x,2x--1)|的最大值为 .
第三节 一次函数与方程(组)及
一元一次不等式
基础演练
1. A;2. B;3.(2.0);4.2
206.(-2.3) 7. x<1
8.直线 y =2x-2和 的图像如下图所示，
由图像可知.两直线的交点坐标是(2.2).
∴当x>2时,y >y ;当x=2时,
当x<2时,y 9.(1)①:30.
(2)设. .由题意得
解得：
∴所求的解析式为 yn=0.1x+30;y无=0.2x.
(3)当yn=yx时,则0.2x=0.1x+30,解得x=300;
当yn>yx时,则0.2x>0.1x+30,解得x>300;
当ym∴当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠。
能力提升
10. B:11. D:12. A:13. A:14. B:15. D:16. x=1;17.16 18.-219.(1)1.30
(2)B(2.20),C(4.60).
BC的解析式为y =20x-20(2≤x≤4).
(3)由图像可知，第一次相遇在 BC段上∴y =y .20x-20=12x+10解得x=3.75答：第一次相遇距出发3.75 小时.
20.如下图所示，
21.(1)5,2.5;
(2)设线段 DE 所在直线为.y=kx+b(k≠0).
∵点(5.15),(10,20)在此直线上,
则 解得
∴y=x+10.∴当0≤x≤28时,y=x+10.
(3)设线段 BC所在直线为y=mx+n(m≠0).
∵点(16,20),(28,50)在此直线上,
则 解得
∴当16≤x≤28时,
由(2)知线段 DE 所在直线为y=x+10.
则 解得
∴线段 DE 与线段BC的交点坐标为(20,30).
答：从初始时刻到最后一次两容器内的水量相等时所需的时间为20分钟。
中考链接
22. C;23. B
巅峰突破
24. C;25. B;26.1