【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.1 认识分式 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·开福开学考）分式的值为，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2024七上·诸暨期末）把方程 的分母化成整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·汉阳期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
4．（2023八上·新邵期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）（填序号即可）．
A．① B．② C．③ D．④
5．（2024八上·怀化期末）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时， 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2019七上·杨浦月考）若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9． 已 知 则 的 值为 .
10．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：
（1）= .
（2）= .
11．（2023·茶陵模拟） 已知，且，若，则 ．
12．（2023·双柏模拟）若，则 ．
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
三、综合题
14．（2021八上·房山期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
（1）现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
15．（2023八下·巴中期末）阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由已知可得，则，即．
，
．
上面材料中的解法叫做“倒数法”．
请你利用“倒数法”解下面的题目：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|-4=0且x-4≠0，
解得x=-4．
故答案为：B．
【分析】分式的值为0必须满足两个条件：（1）分式的分子为0；（2）分母不为0.
2．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：方程 的分母化成整数为：
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不改变，据此即可求解.
3．【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式
【解析】【解答】解：①分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，①不符合题意；
②，分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，②符合题意；
③，分母可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，③不符合题意；
④，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简分式、“和谐分式”的定义化简、判断即可.
5．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：①，
，故无论a为何实数，都有意义，①正确；
②当时 ，，分母为0分式无意义，②错误；
③，
若分式的值为负，则，
，③正确；
④有意义 ，
，
解得：，④错误.
综上所述，正确的有两个.
故答案为：B.
【分析】①，可知无论a为何实数，都有意义，即可判断；②当时，，分母为0分式无意义，即可判断；③先判断的符号为正，再根据两数相除，同号得正，异号得负，得到，求解即可得到x的取值范围；④根据分式有意义的条件为分母不等于零，即，解不等式即可判断④错误.
6．【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
8．【答案】C
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
【分析】利用整体思想进行求解即可.
9．【答案】6
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴b-a=4ab，
∴a-b=-4ab，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据等式的性质，由已知等式可得a-b=-4ab，进而将待求式子变形为后整体代入，接着分子分母分别合并同类项后再约分可得答案.
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：；
（2）．
故答案为：．
【分析】（1）根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘10，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘12，分式的值不变，可得答案；
11．【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=2b，c=2d，e=2f
∴a+c+e=2b+2d+2f=2(b+d+f)=10
∴b+d+f=5
故答案为：5
【分析】根据分式意义可求出分子与分母之间的关系，代入计算即可求出答案。
12．【答案】0或1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
13．【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
14．【答案】（1）①④；②
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”的定义求解即可；
（2）根据题意可得的值为或，再求出m的值即可；
（3）先求出，再结合是整数，可得的值为或，最后求出m的值即可。
15．【答案】（1）解：由，知，
则，
即，
得：．
，
；
（2）解：由，，
得，
即：；
同理可知：；．
，
解得：．
，
．
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【分析】（1）利用倒数法求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）利用倒数法求出 ， 再求出 ，最后求解即可。
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.1 认识分式 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·开福开学考）分式的值为，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|-4=0且x-4≠0，
解得x=-4．
故答案为：B．
【分析】分式的值为0必须满足两个条件：（1）分式的分子为0；（2）分母不为0.
2．（2024七上·诸暨期末）把方程 的分母化成整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：方程 的分母化成整数为：
故答案为：D.
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不改变，据此即可求解.
3．（2024八上·汉阳期末）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
4．（2023八上·新邵期中）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）（填序号即可）．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】分式的约分；最简分式
【解析】【解答】解：①分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，①不符合题意；
②，分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，②符合题意；
③，分母可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，③不符合题意；
④，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，④不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简分式、“和谐分式”的定义化简、判断即可.
5．（2024八上·怀化期末）下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时， 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：①，
，故无论a为何实数，都有意义，①正确；
②当时 ，，分母为0分式无意义，②错误；
③，
若分式的值为负，则，
，③正确；
④有意义 ，
，
解得：，④错误.
综上所述，正确的有两个.
故答案为：B.
【分析】①，可知无论a为何实数，都有意义，即可判断；②当时，，分母为0分式无意义，即可判断；③先判断的符号为正，再根据两数相除，同号得正，异号得负，得到，求解即可得到x的取值范围；④根据分式有意义的条件为分母不等于零，即，解不等式即可判断④错误.
6．（2019七下·蔡甸期末）已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
7．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
为非负整数， 是一个正整数，
的所有可能取值为 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值.
8．（2019七上·杨浦月考）若 的值为 ,则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】由题意得： ，则 = .
故答案为：C.
【分析】利用整体思想进行求解即可.
二、填空题
9． 已 知 则 的 值为 .
【答案】6
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴b-a=4ab，
∴a-b=-4ab，
∴.
故答案为：6.
【分析】根据等式的性质，由已知等式可得a-b=-4ab，进而将待求式子变形为后整体代入，接着分子分母分别合并同类项后再约分可得答案.
10．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：
（1）= .
（2）= .
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：；
（2）．
故答案为：．
【分析】（1）根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘10，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘12，分式的值不变，可得答案；
11．（2023·茶陵模拟） 已知，且，若，则 ．
【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
a=2b，c=2d，e=2f
∴a+c+e=2b+2d+2f=2(b+d+f)=10
∴b+d+f=5
故答案为：5
【分析】根据分式意义可求出分子与分母之间的关系，代入计算即可求出答案。
12．（2023·双柏模拟）若，则 ．
【答案】0或1
【知识点】完全平方公式及运用；分式的值
【解析】【解答】由题知：分两种情况讨论
当a=0时，==0
当a≠0时：a3+3a2+a=0
a（a2+3a+1）=0
即：a2+3a+1=0
两边同除a得： a+=-3
（a+）2=9
∴a2+=（a+）-2=7
=
故答案为0或1
【分析】分a2+3a+1=0或a=0两种情况讨论，
当a≠0时，两边同时除a得： a+=-3，再根据完全平方式变形a2+=（a+）-2=7求解。
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 （ ）的最大值是多少？
解： ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 的最大值是 ，所以 的最大值是4，即 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 的最大值是 .
【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：
所以： 的最小值是
的最大值是
的最大值是
的最大值是
故答案为：5
【分析】根据题意：有 结合 的最小值是 1， 从而可得答案．
三、综合题
14．（2021八上·房山期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
（1）现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
【答案】（1）①④；②
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”的定义求解即可；
（2）根据题意可得的值为或，再求出m的值即可；
（3）先求出，再结合是整数，可得的值为或，最后求出m的值即可。
15．（2023八下·巴中期末）阅读下面的解题过程：
已知，求的值．
解：由已知可得，则，即．
，
．
上面材料中的解法叫做“倒数法”．
请你利用“倒数法”解下面的题目：
（1）已知，求的值；
（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）解：由，知，
则，
即，
得：．
，
；
（2）解：由，，
得，
即：；
同理可知：；．
，
解得：．
，
．
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【分析】（1）利用倒数法求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）利用倒数法求出 ， 再求出 ，最后求解即可。
1 / 1
