【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.1 认识分式 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·郫都月考）在，，，，，中分式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：，，的分母中含有字母，是分式，共有3个.
故答案为：C.
【分析】分母中含有字母的式子就是分式，据此一一判断得出答案.
2．（2024八下·路南开学考）若是分式，则可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：∵是分式，
∴可能是y，
故答案为：B
【分析】根据分式的定义结合题意即可得到。
3．（【全效期末导与练】浙教版数学八下专题1二次根式）下列二次根式中，字母a的取值范围是全体实数的为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、要有意义，则需满足，故选项A错误；
B、要有意义，则需满足，故选项B错误；
C、要有意义，则需满足，故选项C错误；
D、∵，∴中字母a的取值范围为全体实数，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为：被开方数大于等于0，据此可判断A和B的取值范围：和， a的取值范围不是全体实数； 再结合分式有意义的条件可得C的取值范围：， a的取值范围不是全体实数；通过排除法此题选择D选项．
4．（2023八下·东港期末）当时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为0 B．分式的值为
C．分式无意义 D．分式有意义
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由题意，当x=1时，分式的分母（x-1）（2x+3）=0，
∴分式无意义.
故答案为：C.
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零；分式无意义的条件：分式的分母等于0；分式有意义的条件：分式的分母不等于0，据此一一判断得出答案.
5．（2021八下·内江开学考）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由题意得：|x| 1＝0，x2 3x+2≠0，解得，x＝-1，
故答案为：A.
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，建立关于x的方程，和不等式，然后求出x的值.
6．（2023八下·宜宾月考）下列各分式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，据此判断.
7．（2021八下·南京期中）已知M表示一个整式，若 是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C．x2﹣x D．y2
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵M表示一个整式，若 是最简分式，
∴当M＝7时，是整式，不合题意，故A错误；
当M＝8x时，分子与分母可以约分，不合题意，故B错误；
当M＝x2﹣x时，分子与分母可以约分，不合题意，故C错误；
当M＝y2时，分子与分母不可以约分，符合题意，故D正确；
故答案为：D.
【分析】直接利用最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，进而分析得出答案.
8．（2020八下·扬州期中）式子 成立的条件是（ ）
A． ≥3 B． ≤1 C．1≤ ≤3 D．1＜ ≤3
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解.
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册16.1.1分式及其基本性质 同步练习）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为 .
【答案】
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2；再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
10．（2024八下·衡阳开学考）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；分式约分的结果是 .
【答案】；b
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得，x≠3.
故答案为：x≠3；b.
【分析】（1）分式有无意义主要看分式的分母，①当分式的分母等于零时，分式无意义；②当分式的分母不等于零时，分式有意义；
（2）约分就根据分式的基本性质是把分子、分母中的公因式约去.
11．（2017八下·苏州期中）约分：① ，② ．
【答案】；
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】；
=.
故答案为；
【分析】分式中的约分，约掉分子和分母的公因式.
12．（2023八下·兰州期末）已知x，y，z满足，则分式的值为 ．
【答案】2
【知识点】代数式求值；分式的值
【解析】【解答】解：设，
∴x=2k，y=3k，z=4k，
∴，
故答案为：2.
【分析】利用“设k法”可得x=2k，y=3k，z=4k，再将其代入计算即可.
13．（2023八下·德化期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ．
【答案】8
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： =n+1-，
∵为大于1的正整数，且代数式的值也是整数 ，
∴n+1一定为整数，为整数，
∴7为n-1的倍数，
∴n-1=1、-1、7或-7，
解得n=2，0（舍），8，-6（舍），
∴可取的最大整数值为8.
故答案为：8.
【分析】将原式化为 =，由代数式的值为整数，即为整数，可得7为n-1的倍数，即得n-1=1、-1、7或-7，据此求出n值，再求其最大整数解即可.
三、计算题
14．（2021八下·沭阳月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时乘以6即可求解；
（2）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时扩大100即可求解.
四、综合题
15．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.1 认识分式课时2）综合题
（1）不改变分式的值，使分式 的分子与分母的各项的系数是整数.
（2）不改变分式的值，使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数.
（3）当x满足什么条件时，分式 的值，①等于0 ②小于0
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=-
（3）解：①由 =0，得 解得x= .
②由 <0，得2-3x<0，解得x>
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）观察原分式的分子分母的最小公倍数为6，因此将原分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）观察原分式分子中的最高次项是-y2，因此改变分子、分式本身的符号，分式的值不变。
（3）①根据分式的值为0，则分母≠0，且分子=0 ，建立方程和不等式求解即可；②观察分子分母的特点，分母4x2+1是正数，因此要使分式的值小于0，分子分母异号，则分子小于0，建立不等式求解即可。
16．（2019八下·平顶山期中）已知分式 ，回答下列问题.
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝ ；
（2）解：由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）解：由题意得：① ，
此不等式组无解；
② ，
解得： ＜x＜1.
∴分式的值是正数时， ＜x＜1.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可.
17．（2022八下·洪泽期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题.
【答案】（1）解：当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4.
（2）解：＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，求解即可；
（2）对进行变形可得3-，当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，求解即可.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.1 认识分式 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·郫都月考）在，，，，，中分式的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2024八下·路南开学考）若是分式，则可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（【全效期末导与练】浙教版数学八下专题1二次根式）下列二次根式中，字母a的取值范围是全体实数的为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·东港期末）当时，对于分式的说法正确的是（ ）
A．分式的值为0 B．分式的值为
C．分式无意义 D．分式有意义
5．（2021八下·内江开学考）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
6．（2023八下·宜宾月考）下列各分式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八下·南京期中）已知M表示一个整式，若 是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C．x2﹣x D．y2
8．（2020八下·扬州期中）式子 成立的条件是（ ）
A． ≥3 B． ≤1 C．1≤ ≤3 D．1＜ ≤3
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册16.1.1分式及其基本性质 同步练习）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（ 1 ）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；（3）当x=0时，分式的值为-1.你所写的分式为 .
10．（2024八下·衡阳开学考）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ；分式约分的结果是 .
11．（2017八下·苏州期中）约分：① ，② ．
12．（2023八下·兰州期末）已知x，y，z满足，则分式的值为 ．
13．（2023八下·德化期末）已知为大于1的正整数，且代数式的值也是整数，则可取的最大整数值是 ．
三、计算题
14．（2021八下·沭阳月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数.
（1） ；
（2） .
四、综合题
15．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.1 认识分式课时2）综合题
（1）不改变分式的值，使分式 的分子与分母的各项的系数是整数.
（2）不改变分式的值，使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数.
（3）当x满足什么条件时，分式 的值，①等于0 ②小于0
16．（2019八下·平顶山期中）已知分式 ，回答下列问题.
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围.
17．（2022八下·洪泽期中）小红、小刚、小明三位同学在讨论：当x取何整数时，分式的值是整数？
小红说：这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.
小刚说：我会解这类问题：当x取何整数时，分式的值是整数？3是x+1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.
小明说：可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的“假分数”，当分子大于分母时，可以将“假分数”化为一个整数与“真分数”的和.比如：＝＝2+（通常写成带分数：2）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母次数时，可称这样的分式为“假分式”，若将化成一个整式与一个“真分式”的和，就转化成小刚说的那类问题了！
小红、小刚说：对！我们试试看！…
（1）解决小刚提出的问题；
（2）解决他们共同讨论的问题.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：，，的分母中含有字母，是分式，共有3个.
故答案为：C.
【分析】分母中含有字母的式子就是分式，据此一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：∵是分式，
∴可能是y，
故答案为：B
【分析】根据分式的定义结合题意即可得到。
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：A、要有意义，则需满足，故选项A错误；
B、要有意义，则需满足，故选项B错误；
C、要有意义，则需满足，故选项C错误；
D、∵，∴中字母a的取值范围为全体实数，故选项D正确.
故答案为：D．
【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为：被开方数大于等于0，据此可判断A和B的取值范围：和， a的取值范围不是全体实数； 再结合分式有意义的条件可得C的取值范围：， a的取值范围不是全体实数；通过排除法此题选择D选项．
4．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由题意，当x=1时，分式的分母（x-1）（2x+3）=0，
∴分式无意义.
故答案为：C.
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零；分式无意义的条件：分式的分母等于0；分式有意义的条件：分式的分母不等于0，据此一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】由题意得：|x| 1＝0，x2 3x+2≠0，解得，x＝-1，
故答案为：A.
【分析】利用分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0，建立关于x的方程，和不等式，然后求出x的值.
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： ，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，据此判断.
7．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：∵M表示一个整式，若 是最简分式，
∴当M＝7时，是整式，不合题意，故A错误；
当M＝8x时，分子与分母可以约分，不合题意，故B错误；
当M＝x2﹣x时，分子与分母可以约分，不合题意，故C错误；
当M＝y2时，分子与分母不可以约分，符合题意，故D正确；
故答案为：D.
【分析】直接利用最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式，进而分析得出答案.
8．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义可知x-1＞0，且3-x≥0，
解得1＜x≤3.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的意义和分母不为零的条件，列不等式组求解.
9．【答案】
【知识点】分式的概念；分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：（1）分式的分子不等于零；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；（3）当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
所以满足条件的分式可以是： ；
【分析】开放性的命题，答案不唯一：由 分式的值不可能为0 ，得出分式的分子不等于零，故分子可以是一个非0常数，或者一个非负数加一个正数；由分式有意义时，x的取值范围是x≠±2，即当x=±2时，分式的分母等于零；得出分母可以是x2-4或者∣x∣-2；再由当x=0时，分式的值为﹣1，即把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数，从而得出答案。
10．【答案】；b
【知识点】分式有无意义的条件；分式的约分
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得，x≠3.
故答案为：x≠3；b.
【分析】（1）分式有无意义主要看分式的分母，①当分式的分母等于零时，分式无意义；②当分式的分母不等于零时，分式有意义；
（2）约分就根据分式的基本性质是把分子、分母中的公因式约去.
11．【答案】；
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】；
=.
故答案为；
【分析】分式中的约分，约掉分子和分母的公因式.
12．【答案】2
【知识点】代数式求值；分式的值
【解析】【解答】解：设，
∴x=2k，y=3k，z=4k，
∴，
故答案为：2.
【分析】利用“设k法”可得x=2k，y=3k，z=4k，再将其代入计算即可.
13．【答案】8
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： =n+1-，
∵为大于1的正整数，且代数式的值也是整数 ，
∴n+1一定为整数，为整数，
∴7为n-1的倍数，
∴n-1=1、-1、7或-7，
解得n=2，0（舍），8，-6（舍），
∴可取的最大整数值为8.
故答案为：8.
【分析】将原式化为 =，由代数式的值为整数，即为整数，可得7为n-1的倍数，即得n-1=1、-1、7或-7，据此求出n值，再求其最大整数解即可.
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】（1）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时乘以6即可求解；
（2）根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变”可将分子和分母同时扩大100即可求解.
15．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=-
（3）解：①由 =0，得 解得x= .
②由 <0，得2-3x<0，解得x>
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）观察原分式的分子分母的最小公倍数为6，因此将原分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）观察原分式分子中的最高次项是-y2，因此改变分子、分式本身的符号，分式的值不变。
（3）①根据分式的值为0，则分母≠0，且分子=0 ，建立方程和不等式求解即可；②观察分子分母的特点，分母4x2+1是正数，因此要使分式的值小于0，分子分母异号，则分子小于0，建立不等式求解即可。
16．【答案】（1）解：由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝ ；
（2）解：由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）解：由题意得：① ，
此不等式组无解；
② ，
解得： ＜x＜1.
∴分式的值是正数时， ＜x＜1.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可.
17．【答案】（1）解：当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，
∴x＝0，﹣2，2，﹣4.
（2）解：＝3﹣，
当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，
∴x＝0，﹣2，4，﹣6.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】（1）当x+1＝±1，±3时，分式的值是整数，求解即可；
（2）对进行变形可得3-，当x+1＝±1，±5时，分式的值为整数，求解即可.
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