【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.3分式的加减法 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·石家庄开学考）若a，b互为倒数，则分式的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
a，b互为倒数，
ab=1，
原分式的值为1.
故答案为：C.
【分析】先将分式化简变为ab，再根据互为倒数的两数乘积为1即可解答.
2．（2021八下·乐山期中）已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得，，
故答案为：B
【分析】考查分式的化简求值，根据分式的基本性质里边同时乘x，y，z，可以让分子出现x 、y 、z 的形式，为了方便与分母约分化简，所以同时乘x+y+z然后化简整理即可。
3．（2022八下·射洪月考）如图，若x为正整数，则表示1-的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，且x为正整数，
取时，，
∴表示1-的值的点落在段②，
故答案为：B.
【分析】根据异分母分式减法法则可得，且x为正整数，令x=1，求出对应的值，进而判断.
4．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞(如图)，则破损部分的式子可能是（ ）
化简：
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：破损部分的式子为：
故答案为：A.
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可.
5．（2024八上·青山期末）已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知： ，，，再把它们相加可得，从而可得的值.
6．（2024八上·蔡甸期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】解：当x=-4时，分式无意义，当x=2时，此分式的值为0，
故-8+a=0，2-b=0，
解得：a=8，b=2，
将a=8，b=2代入，得：
；
故答案为：B.
【分析】先根据分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得到-8+a=0，2-b=0，求得a=8，b=2，直接代入原式计算即可求解.
7．（2021八上·永兴月考）已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
8．你听说过著名的万有引力定律吗 任何两个物体之间都有引力，如果设两个物体的质量分别为m (kg)，m (kg)，它们之间的距离为d(m)，那么它们之间的引力就是其中G为引力常数.人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球地面上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ）
A．倍 B．倍 C．25倍 D．倍
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：设木星质量为M，则地球的质量为，一个人的质量为m，
∵是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的
∴木星的半径为：，
∴在地球地面上的人所受的地球重力为：
在木星表面上所受的木星重力为：
∴在地球地面上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的：
故答案为：B.
【分析】根据题意表示出在地球地面上的人所受的地球重力和在木星表面上所受的木星重力，然后作商即可.
二、填空题
9．（2024九下·乐昌开学考）若，则 ．
【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0，
当a=0时，；
当a2+3a+1=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为0或.
故答案为：0或.
【分析】先将已知方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而得出a=0或a2+3a+1=0，从而分两种情况求值；当a=0时易得所求式子的 值为零；当a2+3a+1=0时，等式的两边同时除以a得，再将该式两边同时平方得，进而可求出待求式子的倒数，即可解决此题.
10．（2023九上·长沙月考）已知，，，，均为非零实数，且满足，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：，，，，
∴，
解得：a=3。
故答案为：3.
【分析】把前三个式子取倒数相加，再把最后一个式子取倒数并化简，比较结果即可求解。
11．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
12．（2023七下·婺城期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
【答案】（1）165
（2）3968
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：M=11×15=165，
故答案为：165；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，
∴A=10m十n，B=10m+6-n，
∴P(M)=A+B=20m+6，Q(M)=A-B=2n -6，
∵A≥B，自然数M的个位数字不为0，
∴n为5、4或者3，
∵Q（M）=A-B=2n-6≠0，
∴n为5或4，
∴，
∴10m+3是奇数，
当n=5时，，
∵分子10m+3是奇数，分母为2是偶数，
∴该数不可能是整数，故此种情况不符合题意，应该舍去；
当n=4时，，
∵能被7整除，且m为1至9的自然数，
∴m只能等于6，
∴A=64，B=62，
∴M=A×B=64×62=3968.
故答案为：3968.
【分析】（1）直接根据“如意数”的定义进行判断即可；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，则A=10m十n，B=10m+6-n，进而表示出（M）与Q（M），结合题意可判断出n为5或4，然后表示出，并根据能被7整除，且m为1至9的自然数，可判断出m、n的值，由此即可求解此题.
13．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
14．（2022·达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
三、计算题
15．（2024八下·吉林月考）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式，
当，时，
原式，
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先通分、因式分解计算括号内的，再根据分式的除法法则进行化简，最后将x，y的值代入进行化简二次根式即可求解.
16．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
四、实践探究题
17．（2024八上·湖州期末）阅读下列 材料，并解答总题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数= ．
【答案】（1）
（2）16、4、2、-10
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1） 由分母x－1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
故答案为：
（2） ，
∴
∴
∴.
当的值为整数时，的值也是整数，
所以x-3的值可以取13，1，-1，-13，
从而x=16、4、2、-10.
故答案为：16、4、2、-10.
【分析】（1）按照给的例题步骤设，求出a和b的值，然后计算化简即可.
（2）按照例题的步骤设，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根据题意，当的值为整数时，分母只能取13，1，-1，-13，从而可得对应的x的取值.
18．阅读理解：
符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为例如×4-2×5=2.
请根据以上材料，化简下面的二阶行列式：
【答案】解：由题意得：
∴原式=
=.
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】根据题意得到进而根据分式加减法计算法则计算即可.
19．（2024八上·湖南期末） 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式类似地，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：；．
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）将假分式化为带分式；
（3）求所有符合条件的整数的值，使得的值为整数．
【答案】（1）真
（2）解：；
（3）解：
，
的值为整数，为整数，
或或或，
或或或，
，，，时，原式无意义，
符合条件的整数的值为．
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）参照题干的计算方法分析求解即可；
（3）先利用分式的混合运算可得，再结合的值为整数，为整数，可得或或或，再求出x的值即可.
20．（2023八上·昌平期中）在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为(当为常数时，)，则称分式为次分式．例如，，，均为四次分式.
（1）在下列分式，，中，是字母的三次分式的有 ；
（2）已知，，(其中，为常数).
①若，，则，，中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值.
【答案】（1），
（2）解：①，
②∵，∴=+
∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，所以n=1，
∴=＋＝
∴m=0 ，3m-n=0-1=-1
由 ①知，时也符合条件，此时 =0-（-4）=4，
综上，3m-n的值为-1或4。
【知识点】分式的混合运算；有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】（1） 分母的次数为3，分子的次数为0，故为三次分式 ； ，
中 分母的次数为4，分子的次数为1，故为三次分式；
中 分母的次数为3，分子的次数为2，故不是三次分式；
故答案为： ，
（2）
①m=0 ， n= 4代入，则A= B=∴=＋=∴分母的次数为2，分子的次数为1，故一次分式；
=·= 分母的次数为3，分子的次数为1，故二次分式；
=（）2＝ 分母的次数为2，分子的次数为0，故二次分式
故答案为： ，
【分析】（1）根据材料中的新定义求解。
（2）① 把m=0 ， n= 4代入， 可计算A和B的值 ，分别代入，，中计算，根据新定义判断是否是二次分式 。
②计算A+B，并根据一次分式的定义，可得m和n的值，代入3m-n中计算求值即可。
21．（2023八上·福州月考）阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，
含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 （填序号）；
（2）已知.
①用含的式子表示对称式，；
②若，求对称式的最小值.
【答案】（1）①③
（2）解：①，
，；
②
，，
原式，
，
，
或，
当时，原式，
当时，原式，
与的具体范围未知，
对称式不存在最小值.
【知识点】多项式乘多项式；分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③是“对称式”，
故答案为：①③；
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，即可做出选择；
（2）①将已知等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算后与右边比较，进而即可用含 的式子表示出对称式；
②，根据①可得，，原式，已知，得或，分别代入求解可得答案.
22．（2023八上·泊头月考）嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）嘉嘉组成的分式中值最大的分式是 ，淇淇组成的分式中值最大的分式是 ；
（2）淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．
【答案】（1）；
（2）解：同意淇淇的说法，
理由：∵
当x是大于3的正整数时，，∵，
∴，所以淇淇说的对．
【知识点】分式的定义；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）∵x+1＜x+2＜x+3，
∴ 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是；
∵x-3＜x-2＜x-1，
∴ 淇淇组成的分式中值最大的分式是；
故答案为：，.
（2） 同意淇淇的说法，
理由：∵，
当x是大于3的正整数时，，
∵，
∴，所以淇淇说的对．
【分析】（1）三个式子中组成的分式中，分子最大，分母最小时分式就最大，据此解答即可；
（2）比较与的大小即可判断.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.3分式的加减法 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·石家庄开学考）若a，b互为倒数，则分式的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．（2021八下·乐山期中）已知实数x、y、z满足 ，则 的值（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．（2022八下·射洪月考）如图，若x为正整数，则表示1-的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
4．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞(如图)，则破损部分的式子可能是（ ）
化简：
A． B． C． D．
5．（2024八上·青山期末）已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·蔡甸期末）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·永兴月考）已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
8．你听说过著名的万有引力定律吗 任何两个物体之间都有引力，如果设两个物体的质量分别为m (kg)，m (kg)，它们之间的距离为d(m)，那么它们之间的引力就是其中G为引力常数.人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球地面上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ）
A．倍 B．倍 C．25倍 D．倍
二、填空题
9．（2024九下·乐昌开学考）若，则 ．
10．（2023九上·长沙月考）已知，，，，均为非零实数，且满足，则的值为 ．
11．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
12．（2023七下·婺城期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”．
（1）最小的“如意数”是 ；
（2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ．
13．（2022八上·丰台期末）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ．
14．（2022·达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 ， ，记 ， ，…， ，则 .
三、计算题
15．（2024八下·吉林月考）先化简，再求值：，其中，．
16．（2020八上·铜仁月考）已知 ，且 ，求： 的值.
四、实践探究题
17．（2024八上·湖州期末）阅读下列 材料，并解答总题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数= ．
18．阅读理解：
符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为例如×4-2×5=2.
请根据以上材料，化简下面的二阶行列式：
19．（2024八上·湖南期末） 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式类似地，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：；．
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）将假分式化为带分式；
（3）求所有符合条件的整数的值，使得的值为整数．
20．（2023八上·昌平期中）在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为(当为常数时，)，则称分式为次分式．例如，，，均为四次分式.
（1）在下列分式，，中，是字母的三次分式的有 ；
（2）已知，，(其中，为常数).
①若，，则，，中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值.
21．（2023八上·福州月考）阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，
含有两个字母的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：.
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 （填序号）；
（2）已知.
①用含的式子表示对称式，；
②若，求对称式的最小值.
22．（2023八上·泊头月考）嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
（1）嘉嘉组成的分式中值最大的分式是 ，淇淇组成的分式中值最大的分式是 ；
（2）淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
a，b互为倒数，
ab=1，
原分式的值为1.
故答案为：C.
【分析】先将分式化简变为ab，再根据互为倒数的两数乘积为1即可解答.
2．【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】因为 ，所以x+y+z≠0，
里边同乘x+y+z得，，
故答案为：B
【分析】考查分式的化简求值，根据分式的基本性质里边同时乘x，y，z，可以让分子出现x 、y 、z 的形式，为了方便与分母约分化简，所以同时乘x+y+z然后化简整理即可。
3．【答案】B
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，且x为正整数，
取时，，
∴表示1-的值的点落在段②，
故答案为：B.
【分析】根据异分母分式减法法则可得，且x为正整数，令x=1，求出对应的值，进而判断.
4．【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：破损部分的式子为：
故答案为：A.
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可.
5．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知： ，，，再把它们相加可得，从而可得的值.
6．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件；分式的化简求值
【解析】【解答】解：当x=-4时，分式无意义，当x=2时，此分式的值为0，
故-8+a=0，2-b=0，
解得：a=8，b=2，
将a=8，b=2代入，得：
；
故答案为：B.
【分析】先根据分式有意义的条件是分母不等于零、分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得到-8+a=0，2-b=0，求得a=8，b=2，直接代入原式计算即可求解.
7．【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：设木星质量为M，则地球的质量为，一个人的质量为m，
∵是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的
∴木星的半径为：，
∴在地球地面上的人所受的地球重力为：
在木星表面上所受的木星重力为：
∴在地球地面上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的：
故答案为：B.
【分析】根据题意表示出在地球地面上的人所受的地球重力和在木星表面上所受的木星重力，然后作商即可.
9．【答案】或
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵a3+3a2+a=a(a2+3a+1)=0，
∴a=0或a2+3a+1=0，
当a=0时，；
当a2+3a+1=0时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的值为0或.
故答案为：0或.
【分析】先将已知方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而得出a=0或a2+3a+1=0，从而分两种情况求值；当a=0时易得所求式子的 值为零；当a2+3a+1=0时，等式的两边同时除以a得，再将该式两边同时平方得，进而可求出待求式子的倒数，即可解决此题.
10．【答案】3
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：，，，，
∴，
解得：a=3。
故答案为：3.
【分析】把前三个式子取倒数相加，再把最后一个式子取倒数并化简，比较结果即可求解。
11．【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
12．【答案】（1）165
（2）3968
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B（A≥B），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，
∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：M=11×15=165，
故答案为：165；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，
∴A=10m十n，B=10m+6-n，
∴P(M)=A+B=20m+6，Q(M)=A-B=2n -6，
∵A≥B，自然数M的个位数字不为0，
∴n为5、4或者3，
∵Q（M）=A-B=2n-6≠0，
∴n为5或4，
∴，
∴10m+3是奇数，
当n=5时，，
∵分子10m+3是奇数，分母为2是偶数，
∴该数不可能是整数，故此种情况不符合题意，应该舍去；
当n=4时，，
∵能被7整除，且m为1至9的自然数，
∴m只能等于6，
∴A=64，B=62，
∴M=A×B=64×62=3968.
故答案为：3968.
【分析】（1）直接根据“如意数”的定义进行判断即可；
（2）设两位数A和B的十位数字都为m，A的个位数字为n，则B的个位数字为6-n，且m为1至9的自然数，n为1到5的自然数，则A=10m十n，B=10m+6-n，进而表示出（M）与Q（M），结合题意可判断出n为5或4，然后表示出，并根据能被7整除，且m为1至9的自然数，可判断出m、n的值，由此即可求解此题.
13．【答案】（1）0
（2）6063
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
故答案为0
（2）令，则
故答案为∶ 6063．
【分析】（1）将r=0代入可得，再通分化简即可；
（2）根据所求式子的特点，可知，再结合公式求解即可.
14．【答案】5050
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵a=，b=，
∴ab==1，
又∵S1=+==1，
S2=+==2，
∴Sn=n，
∴S100=+=100，
∴S1+S2+…S100=1+2+3+…+100=50×101=5050.
故答案为：5050.
【分析】先根据a和b的值求得ab==1，再根据S1=+==1，S2=+==2，继而得出Sn=n，从而得到S100=100，进而求出S1+S2+…S100的和即可.
15．【答案】解：原式，
当，时，
原式，
【知识点】分式的化简求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先通分、因式分解计算括号内的，再根据分式的除法法则进行化简，最后将x，y的值代入进行化简二次根式即可求解.
16．【答案】解：
=
=
∵
∴
∴原式= = 1 1 1=-3.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后变形后代入，即可求出答案.
17．【答案】（1）
（2）16、4、2、-10
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1） 由分母x－1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
故答案为：
（2） ，
∴
∴
∴.
当的值为整数时，的值也是整数，
所以x-3的值可以取13，1，-1，-13，
从而x=16、4、2、-10.
故答案为：16、4、2、-10.
【分析】（1）按照给的例题步骤设，求出a和b的值，然后计算化简即可.
（2）按照例题的步骤设，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根据题意，当的值为整数时，分母只能取13，1，-1，-13，从而可得对应的x的取值.
18．【答案】解：由题意得：
∴原式=
=.
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】根据题意得到进而根据分式加减法计算法则计算即可.
19．【答案】（1）真
（2）解：；
（3）解：
，
的值为整数，为整数，
或或或，
或或或，
，，，时，原式无意义，
符合条件的整数的值为．
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）参照题干的计算方法分析求解即可；
（3）先利用分式的混合运算可得，再结合的值为整数，为整数，可得或或或，再求出x的值即可.
20．【答案】（1），
（2）解：①，
②∵，∴=+
∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，所以n=1，
∴=＋＝
∴m=0 ，3m-n=0-1=-1
由 ①知，时也符合条件，此时 =0-（-4）=4，
综上，3m-n的值为-1或4。
【知识点】分式的混合运算；有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】（1） 分母的次数为3，分子的次数为0，故为三次分式 ； ，
中 分母的次数为4，分子的次数为1，故为三次分式；
中 分母的次数为3，分子的次数为2，故不是三次分式；
故答案为： ，
（2）
①m=0 ， n= 4代入，则A= B=∴=＋=∴分母的次数为2，分子的次数为1，故一次分式；
=·= 分母的次数为3，分子的次数为1，故二次分式；
=（）2＝ 分母的次数为2，分子的次数为0，故二次分式
故答案为： ，
【分析】（1）根据材料中的新定义求解。
（2）① 把m=0 ， n= 4代入， 可计算A和B的值 ，分别代入，，中计算，根据新定义判断是否是二次分式 。
②计算A+B，并根据一次分式的定义，可得m和n的值，代入3m-n中计算求值即可。
21．【答案】（1）①③
（2）解：①，
，；
②
，，
原式，
，
，
或，
当时，原式，
当时，原式，
与的具体范围未知，
对称式不存在最小值.
【知识点】多项式乘多项式；分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③是“对称式”，
故答案为：①③；
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，即可做出选择；
（2）①将已知等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算后与右边比较，进而即可用含 的式子表示出对称式；
②，根据①可得，，原式，已知，得或，分别代入求解可得答案.
22．【答案】（1）；
（2）解：同意淇淇的说法，
理由：∵
当x是大于3的正整数时，，∵，
∴，所以淇淇说的对．
【知识点】分式的定义；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）∵x+1＜x+2＜x+3，
∴ 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是；
∵x-3＜x-2＜x-1，
∴ 淇淇组成的分式中值最大的分式是；
故答案为：，.
（2） 同意淇淇的说法，
理由：∵，
当x是大于3的正整数时，，
∵，
∴，所以淇淇说的对．
【分析】（1）三个式子中组成的分式中，分子最大，分母最小时分式就最大，据此解答即可；
（2）比较与的大小即可判断.
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