【基础卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习
一、选择题
1．下列各式中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·老河口期末） 分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．解方程去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若x=-1是方程 的解，则 a的值为 （ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
5．（2024八下·腾冲开学考）若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或
6．（2024八上·永定期末）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
7．若关于x的方程有增根，则增根是（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．x=-2
D．因为含有待定字母m，所以无法确定
8．有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1-=0的根为x=2；③方程的最简公分母为2x(2x-4)； ④x+=1+是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024八上·桂东期末）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件．设甲每小时做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019八上·威海期末）某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（ ）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
二、填空题
11．分母中含有 的方程叫做分式方程;分式方程的识别标准是:一是 ;二要 中含有未知数.
12．（2024八上·玉林期末）在解分式方程时，去分母可得 .
13．（2024八上·从江月考）若关于x的分式方程2-=的解是正数，则k的取值范围是 .
14．（2024八上·雨湖期末）已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为 ．
15．（2023八上·新兴期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时公里，则可列方程 .
三、计算题
16．（2024八上·从江月考） 解方程：
（1）-2=；
（2）-=1.
17．（2024八下·冷水滩开学考） 解分式方程：．
18．（2024八下·平乐开学考）解分式方程：
四、解答题
19．（2024八上·黔东南期末）下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
解得 第二步
原分式方程的解为 第三步
（1）上面的解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请写出正确的解题过程．
20．已知，关于x的分式方程=1.
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解.
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程无解.
21．若关于x的分式方程 的解与方程 的解相同，求a 的值.
22．（2024八上·寻乌期末）已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
23．（2024八上·汉阳期末）关于x的方程
（1）若，则解这个分式方程；
（2）若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
24．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“ ”看不清楚.
（1）若她把这个数猜成5，请你帮小华解这个分式方程.
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：x=2是方程的增根，原方程无解.”请你求出“ ”代表的数.
25．（2024八上·老河口期末）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从A地行驶至B地，全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.8元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费：
（2）从A地行驶至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？
26．（2024八下·腾冲开学考）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：A、是分式，不是方程，故此选项不符合题意；
B、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项不符合题意；
C、分母中不含未知数，是一元一次方程，不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、分母中含未知数，是分式方程，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】分式方程是指未知数出现在分母的方程，根据分式方程的定义逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得2x=x-3，
解得x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：A.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
3．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】方程左右同乘以即可求解.
4．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵ x=-1是方程 的解 ，
∴将x=-1代入方程得，即，
解得a=6.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念，将x=-1代入方程可得关于字母a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可得到a的值.
5．【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】将分式方程化为整式方程mx=3（2x-6），
∴（m-6）x=-18，
①当x=3时，（m-6）×3=-18，解得：m=0；
②当m-6=0时，方程无解，∴m=6；
综上，m的值为0或6，
故答案为：C.
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=3代入计算求出m的值，再利用m-6=0求出m的值即可.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的方程有增根，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先去分母，化为整式方程，再根据有增根确定的值，把的值代入整式方程，解关于的一元一次方程即可．
7．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有增根，
∴x-1=0，解得：x=1.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程有增根的条件“分母=0”可得关于x的方程，解方程即可求解.
8．【答案】B
【知识点】分式方程的定义；分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根，所以①不正确；
②10，
方程两边同时乘以（x+2）得：x+2﹣4＝0，
解得：x＝2，
经检验：x＝2是方程10的根，
所以②正确；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2），
所以③不正确；
④x1是分式方程，所以④正确；
所以①③不正确，②④正确．
故答案为：B．
【分析】根据分式方程增根的概念可以判断①，解分式方程可以判断②，由最简公分母的定义可以判断③，由分式方程的定义可以判断④．
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲每小时做个零件， 则乙每小时做（x-4）个零件，
根据题意，得：.
故答案为：B。
【分析】 设甲每小时做个零件， 则乙每小时做（x-4）个零件，根据 甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等 ，即可得出方程。
10．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20( + )+ ＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】根据“工作效率 工作时间=工作总量”列出方程解决即可.
11．【答案】未知数；方程；分母
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程;分式方程的识别标准是:一是方程;二要分母中含有未知数.
故答案为 ：未知数；方程 ；分母。
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程;分式方程的识别标准是:一是方程;二要分母中含有未知数.
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘，得．
故答案为：．
【分析】在方程两边同时乘以最简公分母，即可得解.
13．【答案】k<4且k≠0
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】将分式方程2-= 化为整式方程得2（x-2）-（1-k）=-1，
整理得2x=，4-k，即
方程的解是正数，
解得 k<4 ，
又当x=2是原分式方程的增根，
k≠0 ，
k的取值范围是k<4且k≠0.
【分析】先将分式方程化为整式方程，用k表示x，结合题意，利用已知条件即可求解.
14．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴x+5=0，
解得：x=-5.
故答案为：x=-5.
【分析】利用分式方程增根的定义可得x+5=0，再求出x的值即可.
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，
由题意可得：.
故答案为：
【分析】设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，由学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，可列出方程.
16．【答案】（1）解：方程两边同乘(x-3)，得1-2(x-3)=-3x，
解得x=-7.
当x=-7时，x-3≠0.
∴原分式方程的解为x=-7.
（2）解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得(x+1)2-4=(x+1)(x-1)，
整理，得2x-2=0，解得x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
∴x=1不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）先将分式方程化为整式方程进行求解，然后验根可得 当x=-7时，x-3≠0，从而求解；
（2）先将分式方程化为整式方程进行求解，然后验根可得 当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 从而求解.
17．【答案】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母化为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．【答案】解：两边同时乘（x-1）（x+1），
得2（x+1）-（x-1）=-3
解得x=-6，
检验：把x=-6代入（x-1）（x+1）=35≠0
∴原方程的解为x=-6.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边分别乘（x-1）（x+1），把分式方程转换为整式方程再求解即可.
19．【答案】（1）一；常数项漏乘最简公分母
（2）解：
解：方程两边同乘，得，
解得，
当时，，
∴原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤可知第一步常数项漏乘最简公分母.
（2）根据解分式方程的步骤解方程、检验、作答即可.
20．【答案】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
2（x-5）-（1-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
解得：x=-.
检验：把x=-代入（2x+3）（x-5）≠0，
∴原分式方程的解为x=-.
（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：
方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
（x-5）-（b-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
去括号，得：x-5+2x2+3x-2bx-3b=2x2-7x-15，
移项、合并同类项，得（11-2b）x=3b-10，
①当11-2b=0时，即b=，原分式方程无解；
②当11-2b≠0时，解得：x=，
∴当x=-时，原分式方程无解，即=-，此时b不存在；
当x=5时，原分式方程无解，即=5时，此时b=5.
综上所述，b=或5时，分式方程无解.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）把a=2，b=1代入原方程，求出方程的解，然后检验，看看求得的x的值是否会增根，最终确定原分式方程的根.
（2）把a=1代入原分式方程，然后去分母、去括号、移项、合并同类项。再根据原分式方程无解分别讨论11-2b=0和11-2b≠0时原分式方程无解时b的值.
21．【答案】解： ，
方程两边同时乘以x得x+4=3x，
解得x=2，
经检验，x=2是该分式方程的根；
∵ 分式方程 的解与方程 的解相同，
∴将x=2代入，得，
整理得，
方程两边同时乘以(a+1)，得2a=3(a+1)，
解得a=-3，
经检验，a=-3是该分式方程的根，
∴a得值为-3.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先解分式方程 求出x=2值，再根据两个分式方程的解相同，故将x=2代入另一个分式方程可得关于字母a的分式方程，求解再检验即可得出a的值.
22．【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【知识点】分式有意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
23．【答案】（1）解：当a=3时，原方程可化为：，
方程两边乘以x-2得：，
解得：，
检验：当时，
原分式方程的解为.
（2）解：方程两边乘以x-2得：ax-4=x-2，
整理得：（a-1）x=2，
解得：，
①当a-1=0时，分式方程无解，此时a=1，
②分式方程有增根时，方程无解，则x-2=0，此时x=2，
即，
解得：a=2，
∴当a=1或a=2时，分式方程无解.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）把a=3代入分式方程，求出分式方程的解，再进行检验即可；
（2）先将分式方程整理为整式方程，解得，分为两种情况：①整式方程无解时，分式方程无解，可得a-1=0，求解即可，②分式方程有增根时，方程无解，可得x=2，代入求出a的值即可.
24．【答案】（1）解：，
去分母得：5+2（x-2）=-1，
整理得：3x=0，
系数化为1得：x=0，
把x=0代入公分母（x-2）得：0-2=-2≠0，
∴原方程的解为：x=0.
（2）解：设“？”=m，
原方程为：，
去分母得：m+2(x-2)=-1，
∵x=2是方程的增根，
∴m+2(2-2)=-1，
解得：m=-1.
故答案为：“？”代表的数为-1.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤“去分母、整理成整式方程，解整式方程，检验，写出结论”即可求解；
（2）设“？”=m，根据原方程的根为x=2且是原方程的增根可将原方程化为整式方程，再把x=2代入整式方程可得关于m的方程，解之即可求解.
25．【答案】（1）解：设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元.
根据题意，得．
解得x＝0.16．
经检验x＝0.16是原方程的解．
答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是0.16元
（2）解：该汽车从A地行驶至B地的路程是16÷0.16＝100千米.
设汽车从A地行驶至B地，用电行驶y千米.
根据题意，得0.16y＋（0.16+0.8）（100－y）≤40.
解得，y≥70.
答：至少需用电行驶70千米
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的电费是（x+0.8）元，根据总费用除以每千米的费用=行驶的路程及“ 全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费 ”列出分式方程并解之即可；
（2）汽车从A地行驶至B地的路程是100千米，设汽车从A地行驶至B地，用电行驶y千米，则用油行驶（100-y）千米，根据“ 用油和用电的总费用不超过40元 ”列出不等式并解之即可.
26．【答案】（1）解：设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）解：设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，根据“用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同”列出方程，再求解即可；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，根据“投入的经费不超过1150元”列出不等式30m+25（40﹣m）≤1150， 再求解即可.
1 / 1【基础卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习
一、选择题
1．下列各式中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：A、是分式，不是方程，故此选项不符合题意；
B、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项不符合题意；
C、分母中不含未知数，是一元一次方程，不是分式方程，故此选项不符合题意；
D、分母中含未知数，是分式方程，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】分式方程是指未知数出现在分母的方程，根据分式方程的定义逐一判断即可.
2．（2024八上·老河口期末） 分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母得2x=x-3，
解得x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：A.
【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
3．解方程去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】方程左右同乘以即可求解.
4．若x=-1是方程 的解，则 a的值为 （ ）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵ x=-1是方程 的解 ，
∴将x=-1代入方程得，即，
解得a=6.
故答案为：A.
【分析】根据方程根的概念，将x=-1代入方程可得关于字母a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可得到a的值.
5．（2024八下·腾冲开学考）若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或
【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】将分式方程化为整式方程mx=3（2x-6），
∴（m-6）x=-18，
①当x=3时，（m-6）×3=-18，解得：m=0；
②当m-6=0时，方程无解，∴m=6；
综上，m的值为0或6，
故答案为：C.
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=3代入计算求出m的值，再利用m-6=0求出m的值即可.
6．（2024八上·永定期末）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的方程有增根，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先去分母，化为整式方程，再根据有增根确定的值，把的值代入整式方程，解关于的一元一次方程即可．
7．若关于x的方程有增根，则增根是（ ）
A．x=-1
B．x=1
C．x=-2
D．因为含有待定字母m，所以无法确定
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有增根，
∴x-1=0，解得：x=1.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程有增根的条件“分母=0”可得关于x的方程，解方程即可求解.
8．有下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程1-=0的根为x=2；③方程的最简公分母为2x(2x-4)； ④x+=1+是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式方程的定义；分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：①解分式方程不一定会产生增根，所以①不正确；
②10，
方程两边同时乘以（x+2）得：x+2﹣4＝0，
解得：x＝2，
经检验：x＝2是方程10的根，
所以②正确；
③方程的最简公分母为2x（x﹣2），
所以③不正确；
④x1是分式方程，所以④正确；
所以①③不正确，②④正确．
故答案为：B．
【分析】根据分式方程增根的概念可以判断①，解分式方程可以判断②，由最简公分母的定义可以判断③，由分式方程的定义可以判断④．
9．（2024八上·桂东期末）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做个，甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件．设甲每小时做个零件，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲每小时做个零件， 则乙每小时做（x-4）个零件，
根据题意，得：.
故答案为：B。
【分析】 设甲每小时做个零件， 则乙每小时做（x-4）个零件，根据 甲做个所用的时间与乙做个所用的时间相等 ，即可得出方程。
10．（2019八上·威海期末）某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（ ）
A．40分钟 B．60分钟 C．80分钟 D．100分钟
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20( + )+ ＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故答案为：C.
【分析】根据“工作效率 工作时间=工作总量”列出方程解决即可.
二、填空题
11．分母中含有 的方程叫做分式方程;分式方程的识别标准是:一是 ;二要 中含有未知数.
【答案】未知数；方程；分母
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程;分式方程的识别标准是:一是方程;二要分母中含有未知数.
故答案为 ：未知数；方程 ；分母。
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程;分式方程的识别标准是:一是方程;二要分母中含有未知数.
12．（2024八上·玉林期末）在解分式方程时，去分母可得 .
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘，得．
故答案为：．
【分析】在方程两边同时乘以最简公分母，即可得解.
13．（2024八上·从江月考）若关于x的分式方程2-=的解是正数，则k的取值范围是 .
【答案】k<4且k≠0
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】将分式方程2-= 化为整式方程得2（x-2）-（1-k）=-1，
整理得2x=，4-k，即
方程的解是正数，
解得 k<4 ，
又当x=2是原分式方程的增根，
k≠0 ，
k的取值范围是k<4且k≠0.
【分析】先将分式方程化为整式方程，用k表示x，结合题意，利用已知条件即可求解.
14．（2024八上·雨湖期末）已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为 ．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴x+5=0，
解得：x=-5.
故答案为：x=-5.
【分析】利用分式方程增根的定义可得x+5=0，再求出x的值即可.
15．（2023八上·新兴期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时公里，则可列方程 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，
由题意可得：.
故答案为：
【分析】设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，由学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，可列出方程.
三、计算题
16．（2024八上·从江月考） 解方程：
（1）-2=；
（2）-=1.
【答案】（1）解：方程两边同乘(x-3)，得1-2(x-3)=-3x，
解得x=-7.
当x=-7时，x-3≠0.
∴原分式方程的解为x=-7.
（2）解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得(x+1)2-4=(x+1)(x-1)，
整理，得2x-2=0，解得x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
∴x=1不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）先将分式方程化为整式方程进行求解，然后验根可得 当x=-7时，x-3≠0，从而求解；
（2）先将分式方程化为整式方程进行求解，然后验根可得 当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 从而求解.
17．（2024八下·冷水滩开学考） 解分式方程：．
【答案】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母化为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．（2024八下·平乐开学考）解分式方程：
【答案】解：两边同时乘（x-1）（x+1），
得2（x+1）-（x-1）=-3
解得x=-6，
检验：把x=-6代入（x-1）（x+1）=35≠0
∴原方程的解为x=-6.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边分别乘（x-1）（x+1），把分式方程转换为整式方程再求解即可.
四、解答题
19．（2024八上·黔东南期末）下面某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应学习任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
解得 第二步
原分式方程的解为 第三步
（1）上面的解题过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）一；常数项漏乘最简公分母
（2）解：
解：方程两边同乘，得，
解得，
当时，，
∴原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤可知第一步常数项漏乘最简公分母.
（2）根据解分式方程的步骤解方程、检验、作答即可.
20．已知，关于x的分式方程=1.
（1）当a=2，b=1时，求分式方程的解.
（2）当a=1时，求b为何值时分式方程无解.
【答案】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
2（x-5）-（1-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
解得：x=-.
检验：把x=-代入（2x+3）（x-5）≠0，
∴原分式方程的解为x=-.
（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：
方程两边同时乘（2x+3）（x-5），得：
（x-5）-（b-x）（2x+3）=（2x+3）（x-5），
去括号，得：x-5+2x2+3x-2bx-3b=2x2-7x-15，
移项、合并同类项，得（11-2b）x=3b-10，
①当11-2b=0时，即b=，原分式方程无解；
②当11-2b≠0时，解得：x=，
∴当x=-时，原分式方程无解，即=-，此时b不存在；
当x=5时，原分式方程无解，即=5时，此时b=5.
综上所述，b=或5时，分式方程无解.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）把a=2，b=1代入原方程，求出方程的解，然后检验，看看求得的x的值是否会增根，最终确定原分式方程的根.
（2）把a=1代入原分式方程，然后去分母、去括号、移项、合并同类项。再根据原分式方程无解分别讨论11-2b=0和11-2b≠0时原分式方程无解时b的值.
21．若关于x的分式方程 的解与方程 的解相同，求a 的值.
【答案】解： ，
方程两边同时乘以x得x+4=3x，
解得x=2，
经检验，x=2是该分式方程的根；
∵ 分式方程 的解与方程 的解相同，
∴将x=2代入，得，
整理得，
方程两边同时乘以(a+1)，得2a=3(a+1)，
解得a=-3，
经检验，a=-3是该分式方程的根，
∴a得值为-3.
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先解分式方程 求出x=2值，再根据两个分式方程的解相同，故将x=2代入另一个分式方程可得关于字母a的分式方程，求解再检验即可得出a的值.
22．（2024八上·寻乌期末）已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【知识点】分式有意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
23．（2024八上·汉阳期末）关于x的方程
（1）若，则解这个分式方程；
（2）若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
【答案】（1）解：当a=3时，原方程可化为：，
方程两边乘以x-2得：，
解得：，
检验：当时，
原分式方程的解为.
（2）解：方程两边乘以x-2得：ax-4=x-2，
整理得：（a-1）x=2，
解得：，
①当a-1=0时，分式方程无解，此时a=1，
②分式方程有增根时，方程无解，则x-2=0，此时x=2，
即，
解得：a=2，
∴当a=1或a=2时，分式方程无解.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）把a=3代入分式方程，求出分式方程的解，再进行检验即可；
（2）先将分式方程整理为整式方程，解得，分为两种情况：①整式方程无解时，分式方程无解，可得a-1=0，求解即可，②分式方程有增根时，方程无解，可得x=2，代入求出a的值即可.
24．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“ ”看不清楚.
（1）若她把这个数猜成5，请你帮小华解这个分式方程.
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：x=2是方程的增根，原方程无解.”请你求出“ ”代表的数.
【答案】（1）解：，
去分母得：5+2（x-2）=-1，
整理得：3x=0，
系数化为1得：x=0，
把x=0代入公分母（x-2）得：0-2=-2≠0，
∴原方程的解为：x=0.
（2）解：设“？”=m，
原方程为：，
去分母得：m+2(x-2)=-1，
∵x=2是方程的增根，
∴m+2(2-2)=-1，
解得：m=-1.
故答案为：“？”代表的数为-1.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤“去分母、整理成整式方程，解整式方程，检验，写出结论”即可求解；
（2）设“？”=m，根据原方程的根为x=2且是原方程的增根可将原方程化为整式方程，再把x=2代入整式方程可得关于m的方程，解之即可求解.
25．（2024八上·老河口期末）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从A地行驶至B地，全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费，已知每行驶1千米，用油比用电的费用多0.8元．
（1）求该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费：
（2）从A地行驶至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？
【答案】（1）解：设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元.
根据题意，得．
解得x＝0.16．
经检验x＝0.16是原方程的解．
答：该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是0.16元
（2）解：该汽车从A地行驶至B地的路程是16÷0.16＝100千米.
设汽车从A地行驶至B地，用电行驶y千米.
根据题意，得0.16y＋（0.16+0.8）（100－y）≤40.
解得，y≥70.
答：至少需用电行驶70千米
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该汽车用电驱动方式行驶1千米的电费是x元，则该汽车用油驱动方式行驶1千米的电费是（x+0.8）元，根据总费用除以每千米的费用=行驶的路程及“ 全程用油驱动需96元油费，全程用电驱动需16元电费 ”列出分式方程并解之即可；
（2）汽车从A地行驶至B地的路程是100千米，设汽车从A地行驶至B地，用电行驶y千米，则用油行驶（100-y）千米，根据“ 用油和用电的总费用不超过40元 ”列出不等式并解之即可.
26．（2024八下·腾冲开学考）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【答案】（1）解：设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）解：设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，根据“用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同”列出方程，再求解即可；
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，根据“投入的经费不超过1150元”列出不等式30m+25（40﹣m）≤1150， 再求解即可.
1 / 1
