【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·湖南期末） 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴4-x2=0，
解得：x1=2，x2=-2，
将分式方程转换为整式方程可得：x+m-x（x+2）=4-x2，
∴x+m-x2-2x=4-x2，
∴m-x=4，
当x=2时，m-2=4，解得：m=6；
当x=-2时，m+2=4，解得：m=2，
综上，m的值为2或6，
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将x的值代入计算即可。
2．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
【答案】B
【知识点】解分式方程；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0，
(a+b)(b+c)(a+c)=0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0，
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为：B.
【分析】首先在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母约去分母，将分式方程转化为整式方程，再整理成方程的一边为零的形式，进而利用分组分解法将方程的一边分解因式，根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，可得a+b=0或b+c=0或a+c=0，最后根据相反数的意义可得答案.
3．（2023八上·十堰期末）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：
∵关于x的不等式组的解集为，
∴
解得：
∵关于x的分式方程的解为非负数，且
∴
综上所述，a的取值范围为：
∴满足条件的整数有2，3，5，共三个，
故答案为：B.
【分析】解不等式组结合关于x的不等式组的解集为，得到a的取值范围为解分式方程即可得到a的取值范围为：进而即可求解.
4．（2022九上·渝中开学考）若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程；不等式的解及解集
【解析】【解答】解： 分式方程得
∵ 是正整数且不为0或4
∴a=3，6，10
解不等式组得
解得
若此不等式组有解，应
∴
∴a=6或10
∴符合条件的所有整数的和为 16.
答案为：C
【分析】根据题意分别解分式方程和不等式组，计算出符合条件的整数求和即可，其中注意分式方程的根要使分式方程有意义。
5．（2024九下·乐昌开学考）若二次根式有意义，且关于的分式方程 有正数解，则符合条件的整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义 ，
∴2-m≥0，
解得m≤2；
在方程的两边同时乘以(x-1)，
得-m+2(x-1)=3，
解得x=，
∵原方程的解是正数，
∴＞0，且≠1，
解得m＞-5且m≠-3，
综上m的取值范围为-5＜m≤2且m≠-3，
∴整数m的值可以为-4，-2，-1，0，1，2，
∴符合条件的整数m的和是-4-2-1+0+1+2=-4.
故答案为：D.
【分析】由二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围；将m作为常数解分式方程可得x=，由该分式方程的解是正数，可得＞0，且≠1，求解并结合前面m的取值可得m的取值范围，进而求出取值范围内的整数并求和即可.
6．（2023七下·乌鲁木齐期末）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程-＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．13 B．15 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得：-5x≥2-m，
x≤，
由②得：x-＜3x+，
2x-11＜6x+3，
-4x＜14，
x＞，
∴不等式的解集为：＜x≤，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴0≤＜1，
∴2≤m＜7，
解分式方程得：2-my+8=2-y，
y-my=-8，
（1-m）y=-8，
y=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠2，
∴m＞1且m≠5，
综上所述，2≤m＜7且m≠5，
∴符合条件的所有整数m的和=2+3+4+6=15.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组和分式方程，根据题意得出m的不等式，解得m的取值范围，从而得解；注意解分式方程时记得验根.
7．（2024八上·岳阳期末）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：x=-3，经检验，x=-3是原方程的解
将x=-3代入不等式得：-3(2-a)-3>0
解得：a>3
故答案为：D
【分析】根据新运算可求出x值，再代入不等式，解不等式即可求出答案.
8．某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶，售价均为90元，按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%，而“莲莲”却亏损了40%，则超市共（ ）
A．不盈利也不亏损 B．盈利30元
C．亏损30元 D．盈利10元
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，
解得：
解得：
故答案为：C.
【分析】设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，根据题干"按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%"，据此列分式方程即可求出宸宸的进价，根据题干"“莲莲”却亏损了40%"，列分式方程即可求出莲莲的进价，进而即可求解.
二、填空题
9．（2023七下·杭州月考）当 ，关于的分式方程有增根.
【答案】6或30
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：(x+2)(x+5)+x m=(x 2)×2（将公式两边同时乘以 (x 2)(x+2) 的最小公倍数 x 2，x 22 4，x+2.）
x2+7x+10+x m=(x 2)×2（使用分配律将 x+2 乘以 x+5，并组合同类项.）
x2+8x+10 m=(x 2)×2（合并 7x 和 x，得到 8x.）
x2+8x+10 m=2x 4（使用分配律将 x 2 乘以 2.）
8x+10 m=2x 4 x2（将方程式两边同时减去x2.）
8x+10 m=2x 4 x2 8x（将方程式两边同时减去 8x.）
10 m=2x 4 x2（合并 2x 和 8x，得到 6x.）
m= 6x 4 x2 10（将方程式两边同时减去 10.）
m= 6x 14 x2（将 4 减去 10，得到 14.）
m=x2+6x+14（方程两边同除以-1.）
∵由题意，x-2≠0，x+2≠0，x2-4≠0，
∴x≠±2
把x=2，x=-2分别代入m=x2+6x+14，得m=6或30.
故答案为：6或30.
【分析】本题先通过x表示m，再根据分母不为零求出x不能取得值，将其代入，求出m不能取的值，最终得出答案.
10．（2023九上·苍南模拟）若实数a.b满足+=1，+=1，则a+b= .
【答案】286
【知识点】二元一次方程组的解；解分式方程
【解析】【解答】解：由 a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.
由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.
②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，
所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，
得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
故答案为：286.
【分析】本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
11．（2023八上·莱芜期中）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为 .
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
12．（2023八上·开州期中）重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，
∴，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
∴，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是＝；
故答案为：．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
三、解答题
13．（2023·斗门模拟）某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机）
（1）问每辆A、B型客车分别可载多少人？
（2）该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？
【答案】（1）解：设每辆A型客车可载x人，则每辆B型客车可载人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每辆A型客车可载45人，则每辆B型客车可载35人；
（2）解：设租A型客车a辆，则租b型客车辆，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
取值为7，8，9，
有3种租车方案，
①租A型客车7辆，B型客车9辆，费用为：（元）；
②租A型客车8辆，B型客车8辆，费用为：（元）；
③租A型客车9辆，B型客车7辆，费用为：（元；
，
租A型客车7辆，B型客车9辆较省钱，费用为17400元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出a的值为7，8，9，最后求解即可。
14．（2024八上·仙居期末）科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
【答案】（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
【知识点】分式的化简求值；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式，化简即可。
（2）先表示出，结合（1）得到的 ，利用求差法求得并化简分析即可。
（3）根据密度公式列出方程，解方程并检验即可。
15．（2022·山西模拟）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为 元/件，乙种商品的进价为 元/件．
（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）
【答案】（1）A；C
（2）50；30
（3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件，
∵商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，
∴，
∴，
由题意得，
∴．
∵，
∴当时，最大，最大值为（元）．
答：该商店获得最大的利润W为780元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【解答】(1)解：由甲商品数量=乙商品数量可得：中的x表示甲种商品每件进价x元，
由甲商品进价-乙商品进价=20，可得：中的x表示甲种商品购进x件，
故答案为：A；C．
(2)，
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为30元/件．
故答案为：50；30．
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可；
（3）设甲商品购进件，则乙商品购进件，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
四、实践探究题
16．（2024八上·洪山期末）探索
（1）如果，则 ；
（2）如果，则 ；
（3）总结如果（其中为常数），则 ；
（4）应用若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值．
【答案】（1）
（2）7
（3）
（4）解：由题意知，，
∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴的值为0或2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵
∴；
故答案为：.
（2）∵
∴；
故答案为：.
（3）∵
∴
故答案为：.
【分析】（1）把原式进行转化，即可得到n的值；
（2）把转化为，即可得到n的值；
（3）按照上述（1）（2）思路进行转化即可；
（4）根据是整数，即可得到x的值.
17．（2019七下·永康期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ； …
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程 的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程： 时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
【答案】（1）
（2） ，
（3）解：猜想关于x的方程x 的解为x1=2，x2= ，理由为：
方程变形得：x ，即x+( )=2+( )，依此类推得到解为x1=2，x2= ；
（4）解：方程变形得： ，可得 或 ，
解得： .
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）猜想方程
的解是 ；
（ 2 ）猜想方程
的解是 ， ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可.
18．探索规律：
（1）直接写出计算结果：
= .
（2）由(1)的计算过程知， 可变形为 .
（3）运用规律：
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，
∴原方程变形为：
∴方程两边同时乘以3得
，
∴，
方程两边同时乘以2x(x+9)得
2(x+9)-2x=9x，
解得x=2，经检验x=2是原方程的根.
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
；
故答案为：；
（2）∵
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据“”将各个加数分别进行裂行，再根据有理数的加减法法则计算可得答案；
（2）根据异分母分式的加法法则可得，进而根据因数与积之间的关系可得答案；
（3）根据异分母分式的加法法则可得，进而根据因数与积之间的关系可得，据此方法将方程左边的各项分别进行裂行并整理得，方程两边同时乘以2x(x+9)约去分母将方程式转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而再检验可得结论.
19．（2023八下·黄浦期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值．
【答案】（1）解：是相似方程，理由如下：
，
给方程两边同时乘以，
得，
化简得，
解得，，
，
，
，
，
，
，
舍去，，
因为分式方程与无理方程有一个相同的解，
所以分式方程与无理方程是“相似方程”；
（2）解：不是相似方程，理由如下：
，
，
，
，
和，它们不是“相似方程”；
（3）解：根据题意可得：，
解得：，
当时，不符合题意，
当时，则，
，都是整数，
，或．
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意先解方程求出 ，， 再求出 ， 最后求解即可；
（2）根据相似方程的定义判断求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·湖南期末） 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．或
2．若实数a，b，c满足条件则a，b，c中 （ ）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等
3．（2023八上·十堰期末）若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022九上·渝中开学考）若整数使得关于的分式方程有正整数解，且使得关于的不等式组有解，那么符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·乐昌开学考）若二次根式有意义，且关于的分式方程 有正数解，则符合条件的整数的和是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·乌鲁木齐期末）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程-＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．13 B．15 C．20 D．22
7．（2024八上·岳阳期末）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某超市同时卖出了一个“宸宸”和一个“莲莲”吉祥物玩偶，售价均为90元，按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%，而“莲莲”却亏损了40%，则超市共（ ）
A．不盈利也不亏损 B．盈利30元
C．亏损30元 D．盈利10元
二、填空题
9．（2023七下·杭州月考）当 ，关于的分式方程有增根.
10．（2023九上·苍南模拟）若实数a.b满足+=1，+=1，则a+b= .
11．（2023八上·莱芜期中）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字：，1，，2，，3，现把它们洗匀正面朝下，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为，则数字使分式方程无解的概率为 .
12．（2023八上·开州期中）重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
三、解答题
13．（2023·斗门模拟）某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机）
（1）问每辆A、B型客车分别可载多少人？
（2）该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？
14．（2024八上·仙居期末）科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
15．（2022·山西模拟）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A．甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为 元/件，乙种商品的进价为 元/件．
（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，当购进的甲、乙两种商品全部售出后，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价－进价）
四、实践探究题
16．（2024八上·洪山期末）探索
（1）如果，则 ；
（2）如果，则 ；
（3）总结如果（其中为常数），则 ；
（4）应用若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值．
17．（2019七下·永康期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ； …
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程 的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程 的解是 ；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程： 时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
18．探索规律：
（1）直接写出计算结果：
= .
（2）由(1)的计算过程知， 可变形为 .
（3）运用规律：
19．（2023八下·黄浦期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
（3）已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴4-x2=0，
解得：x1=2，x2=-2，
将分式方程转换为整式方程可得：x+m-x（x+2）=4-x2，
∴x+m-x2-2x=4-x2，
∴m-x=4，
当x=2时，m-2=4，解得：m=6；
当x=-2时，m+2=4，解得：m=2，
综上，m的值为2或6，
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将x的值代入计算即可。
2．【答案】B
【知识点】解分式方程；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以abc(a+b+c)得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc，
整理得b2c+bc2+a2c+ac2+a2b+ab2+2abc=0，
∴(b2c+2abc+a2c)+(bc2+ac2)+(a2b+ab2)=0，
c(a+b)2+c2(a+b)+ab(a+b)=0，
(a+b)(ac+bc+c2+ab)=0，
(a+b)(b+c)(a+c)=0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0，
∴a、b、c中必有两个数互为相反数.
故答案为：B.
【分析】首先在方程的两边同时乘以各个分母的最简公分母约去分母，将分式方程转化为整式方程，再整理成方程的一边为零的形式，进而利用分组分解法将方程的一边分解因式，根据几个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，可得a+b=0或b+c=0或a+c=0，最后根据相反数的意义可得答案.
3．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：
∵关于x的不等式组的解集为，
∴
解得：
∵关于x的分式方程的解为非负数，且
∴
综上所述，a的取值范围为：
∴满足条件的整数有2，3，5，共三个，
故答案为：B.
【分析】解不等式组结合关于x的不等式组的解集为，得到a的取值范围为解分式方程即可得到a的取值范围为：进而即可求解.
4．【答案】C
【知识点】解分式方程；不等式的解及解集
【解析】【解答】解： 分式方程得
∵ 是正整数且不为0或4
∴a=3，6，10
解不等式组得
解得
若此不等式组有解，应
∴
∴a=6或10
∴符合条件的所有整数的和为 16.
答案为：C
【分析】根据题意分别解分式方程和不等式组，计算出符合条件的整数求和即可，其中注意分式方程的根要使分式方程有意义。
5．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义 ，
∴2-m≥0，
解得m≤2；
在方程的两边同时乘以(x-1)，
得-m+2(x-1)=3，
解得x=，
∵原方程的解是正数，
∴＞0，且≠1，
解得m＞-5且m≠-3，
综上m的取值范围为-5＜m≤2且m≠-3，
∴整数m的值可以为-4，-2，-1，0，1，2，
∴符合条件的整数m的和是-4-2-1+0+1+2=-4.
故答案为：D.
【分析】由二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围；将m作为常数解分式方程可得x=，由该分式方程的解是正数，可得＞0，且≠1，求解并结合前面m的取值可得m的取值范围，进而求出取值范围内的整数并求和即可.
6．【答案】B
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得：-5x≥2-m，
x≤，
由②得：x-＜3x+，
2x-11＜6x+3，
-4x＜14，
x＞，
∴不等式的解集为：＜x≤，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴0≤＜1，
∴2≤m＜7，
解分式方程得：2-my+8=2-y，
y-my=-8，
（1-m）y=-8，
y=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠2，
∴m＞1且m≠5，
综上所述，2≤m＜7且m≠5，
∴符合条件的所有整数m的和=2+3+4+6=15.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组和分式方程，根据题意得出m的不等式，解得m的取值范围，从而得解；注意解分式方程时记得验根.
7．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：x=-3，经检验，x=-3是原方程的解
将x=-3代入不等式得：-3(2-a)-3>0
解得：a>3
故答案为：D
【分析】根据新运算可求出x值，再代入不等式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，
解得：
解得：
故答案为：C.
【分析】设宸宸的进价为x元，莲莲的进价为y元，根据题干"按成本计算，营业员发现“宸宸”盈利了50%"，据此列分式方程即可求出宸宸的进价，根据题干"“莲莲”却亏损了40%"，列分式方程即可求出莲莲的进价，进而即可求解.
9．【答案】6或30
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：(x+2)(x+5)+x m=(x 2)×2（将公式两边同时乘以 (x 2)(x+2) 的最小公倍数 x 2，x 22 4，x+2.）
x2+7x+10+x m=(x 2)×2（使用分配律将 x+2 乘以 x+5，并组合同类项.）
x2+8x+10 m=(x 2)×2（合并 7x 和 x，得到 8x.）
x2+8x+10 m=2x 4（使用分配律将 x 2 乘以 2.）
8x+10 m=2x 4 x2（将方程式两边同时减去x2.）
8x+10 m=2x 4 x2 8x（将方程式两边同时减去 8x.）
10 m=2x 4 x2（合并 2x 和 8x，得到 6x.）
m= 6x 4 x2 10（将方程式两边同时减去 10.）
m= 6x 14 x2（将 4 减去 10，得到 14.）
m=x2+6x+14（方程两边同除以-1.）
∵由题意，x-2≠0，x+2≠0，x2-4≠0，
∴x≠±2
把x=2，x=-2分别代入m=x2+6x+14，得m=6或30.
故答案为：6或30.
【分析】本题先通过x表示m，再根据分母不为零求出x不能取得值，将其代入，求出m不能取的值，最终得出答案.
10．【答案】286
【知识点】二元一次方程组的解；解分式方程
【解析】【解答】解：由 a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.
由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.
②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，
所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，
得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
故答案为：286.
【分析】本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
11．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
x(x-m)+x-2=x(x-2)
（3-m）x=2
原方程无解时，有三种情形：
情形1，3-m=0，则m=3
情形2，x=2，则（3-m）×2=2，∴m=2
情形3，x=0，则（3-m）×0=2，∴m无解。
综上，当m=3或m=2时，原方程无解。
∴无解的概率是：。
故答案为：
【分析】先把分式方程去分母化为整式方程，再根据原方程无解时的几种情形分别求出相应的m值。再根据m值的个数计算出概率.
12．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，
∴，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
∴，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是＝；
故答案为：．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
13．【答案】（1）解：设每辆A型客车可载x人，则每辆B型客车可载人，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每辆A型客车可载45人，则每辆B型客车可载35人；
（2）解：设租A型客车a辆，则租b型客车辆，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
取值为7，8，9，
有3种租车方案，
①租A型客车7辆，B型客车9辆，费用为：（元）；
②租A型客车8辆，B型客车8辆，费用为：（元）；
③租A型客车9辆，B型客车7辆，费用为：（元；
，
租A型客车7辆，B型客车9辆较省钱，费用为17400元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出a的值为7，8，9，最后求解即可。
14．【答案】（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
【知识点】分式的化简求值；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式，化简即可。
（2）先表示出，结合（1）得到的 ，利用求差法求得并化简分析即可。
（3）根据密度公式列出方程，解方程并检验即可。
15．【答案】（1）A；C
（2）50；30
（3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件，
∵商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，
∴，
∴，
由题意得，
∴．
∵，
∴当时，最大，最大值为（元）．
答：该商店获得最大的利润W为780元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用；列一次函数关系式
【解析】【解答】(1)解：由甲商品数量=乙商品数量可得：中的x表示甲种商品每件进价x元，
由甲商品进价-乙商品进价=20，可得：中的x表示甲种商品购进x件，
故答案为：A；C．
(2)，
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的解，且符合题意；
答：甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为30元/件．
故答案为：50；30．
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可；
（3）设甲商品购进件，则乙商品购进件，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
16．【答案】（1）
（2）7
（3）
（4）解：由题意知，，
∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴的值为0或2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵
∴；
故答案为：.
（2）∵
∴；
故答案为：.
（3）∵
∴
故答案为：.
【分析】（1）把原式进行转化，即可得到n的值；
（2）把转化为，即可得到n的值；
（3）按照上述（1）（2）思路进行转化即可；
（4）根据是整数，即可得到x的值.
17．【答案】（1）
（2） ，
（3）解：猜想关于x的方程x 的解为x1=2，x2= ，理由为：
方程变形得：x ，即x+( )=2+( )，依此类推得到解为x1=2，x2= ；
（4）解：方程变形得： ，可得 或 ，
解得： .
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）猜想方程
的解是 ；
（ 2 ）猜想方程
的解是 ， ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可.
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，
∴原方程变形为：
∴方程两边同时乘以3得
，
∴，
方程两边同时乘以2x(x+9)得
2(x+9)-2x=9x，
解得x=2，经检验x=2是原方程的根.
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
；
故答案为：；
（2）∵
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据“”将各个加数分别进行裂行，再根据有理数的加减法法则计算可得答案；
（2）根据异分母分式的加法法则可得，进而根据因数与积之间的关系可得答案；
（3）根据异分母分式的加法法则可得，进而根据因数与积之间的关系可得，据此方法将方程左边的各项分别进行裂行并整理得，方程两边同时乘以2x(x+9)约去分母将方程式转化为整式方程，解整式方程求出x的值，进而再检验可得结论.
19．【答案】（1）解：是相似方程，理由如下：
，
给方程两边同时乘以，
得，
化简得，
解得，，
，
，
，
，
，
，
舍去，，
因为分式方程与无理方程有一个相同的解，
所以分式方程与无理方程是“相似方程”；
（2）解：不是相似方程，理由如下：
，
，
，
，
和，它们不是“相似方程”；
（3）解：根据题意可得：，
解得：，
当时，不符合题意，
当时，则，
，都是整数，
，或．
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题意先解方程求出 ，， 再求出 ， 最后求解即可；
（2）根据相似方程的定义判断求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
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