【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·薛城月考）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023八下·凤城期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
3．（2017八下·吉安期末）若解分式方程 = 产生增根，则m=（ ）
A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5
4．（2023八下·南岸期末）如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．9 B．3 C．0 D．
5．（2023八下·铜梁期末）如果关于的分式方程有非负整数解，且一次函数不经过第四象限，则所有符合条件的的和是（ ）.
A．0 B．2 C．3 D．5
6．（2023八下·闵行期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．．
7．（2023八下·温江期末）某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·洛阳期中）我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，____.求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程，…”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（ ）
A．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
二、填空题
9．（2023八下·雅安期末）已知关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解是正整数，则整数m的值为 ．
10．（2023八下·安达期末）已知整数a，使得关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y=（a-1）x+a-10的图象不经过第二象限，则满足条件的整数a的值有 个．
11．（2023八下·苏州工业园期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v，则 ．
12．（2023八下·洋县期末）为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 元．
13．（2023八下·新都期末）定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为 ．
三、计算题
14．（2023八下·新城期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
15．（2023八下·沙坪坝月考）先化简：若a是方程的解，求代数式的值．
16．（2022八下·沈北期末）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，，，是的三边，求证：．
四、解答题
17．（2023八下·盐湖期末）在解分式方程时，小亮的解法如下：
解：方程两边同时乘，得 （第一步）
解这个整式方程得： （第二步）
……
（1）任务一：填空
在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ．
（2）任务二：请写出解这个方程的正确过程．
（3）任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．
18．（2024八下·南宁开学考）科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．
（1）一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备则买该型号的自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条
19．（2024八下·开福开学考）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进，两种品牌足球共个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？
五、实践探究题
20．观察下列方程及解的特征：
⑴x+ =2的解为x1=x2=1；
⑵x+ = 的解为x1=2，x2= ；
⑶x+ = 的解为x1=3，x2= ；
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+ = 的解为 ；
（2）请猜想：关于x的方程x+ ═ 的解为x1=a，x2= （a≠0）；
（3）下面以解方程x+ = 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
21．（2023八下·南海期中）对于实数，规定：。例如：，。
（1）求值： ； 。
（2）猜想： ，并证明你的结论；
（3）解方程：。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故答案为：A．
【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵
解得：，
∵关于的方程的解为正数，
∴，
解得：，
又∵，
∴
解得：，
∴且.
故答案为：B.
【分析】将m作为字母系数先解分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据分式方程的解为正数，可得x＞0且x-3≠0，据此列不等式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x+4），得
x﹣1=m，
∵原方程增根为x=﹣4，
∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5，
故选D．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
4．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵不等式组的解集为，
∴2a+4≥-2，
∴a≥-3，
∵，
∴a-2（x+0.5）=3，
∴x=，
∵分式方程有解，
∴x+0.5≠0，
∴x≠0.5，
∴≠0.5，
∴a≠5
∴a≥-3，且a≠5，
∵分式方程有负分数解，
∴，a不能被2整除，
∴a＜4，且a不能被2整除，
∴-3≤a＜4，且a不能被2整除，
∵a为整数，
∴符合条件的a的值可以为-3，-1，1，3，
∴符合条件的所有整数a的积=（-3）×（-1）×1×3=9，
故答案为：A.
【分析】先利用不等式组的解集求出a的范围，再结合分式方程的解有负分数解，可得-3≤a＜4，且a不能被2整除，再求出符合条件的a的值可以为-3，-1，1，3，最后计算即可.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 不经过第四象限，
∴m+2≥0，
解得：m≥-2，
根据，可得：
方程两边乘（x-2），可得：x-（m+1）=2×（x-2），
去括号可得：x-m-1=2x-4，
移项并合并同类项可得：-x=m-3，
系数化为“1”可得：x=3-m，
∵分式方程有非负整数解，
∴，即，
解得：m≤3且m≠1，
∵m为整数，
∴m的值可以为0，2，3，
∴符合条件的m的值由0，2，3，
∴所有符合条件的的和为0+2+3=5，
故答案为：D.
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意求出m的取值范围，最后将符合要求的m的值相加即可.
6．【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵方程， ，
∴，
∴原方程可化为：，
故答案为：A.
【分析】利用换元法求出，再求解即可。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】设采用新工艺前每小时加工x个零件，根据“某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h”列出分式方程即可.
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：原计划每天铺设管道x米，那么（x-10）就应该是实际每天比原计划少铺了10米，
而用，则实际用的时间-表示用原计划的时间=20天，
那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成.
故答案为：A.
【分析】原计划每天铺设管道x米，根据题中的方程可知（x-10）就是实际每天比原计划少铺了10米；根据方程可知：实际所用天数比原计划所需天数多20天，即延期20天完成，结合各选项可判断求解.
9．【答案】1或0
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组无解，
∴-2m-1≤m+2
即m≥-1 ，
解分式方程得
∵ 分式方程 的解是正整数，x≠2且m为整数，
∴∴2-m=1或2-m=2或2-m=3或2-m=6，
∴m=1，m=0，m=-1，m=-4；
∵m≥-1且x≠-1，
∴m=1，m=0．
故答案为： 1或0 .
【分析】根据不等式无解得出m≥-1 ，根据分式方程得出且为正整数，得出m的值
10．【答案】5
【知识点】解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一次函数y=（a-1）x+a-10的图象不经过第二象限，
∴此函数图象经过第一、三、四象限，
∴a-1＞0且a-10＜0，
解之：a＞1，a≤10，
∴a的取值范围为1＜a≤10；
，
∴3-ax+3x-9=-x
解之：，
∵x-3≠0，
∴x≠3，
∴，
解之：a≠2；
∴a的取值范围为1＜a≤10且a≠2，
∴a=3，5，6，7，10时方程有整数解，
∴满足条件的整数a有5个.
故答案为：5.
【分析】利用已知可知此函数图象经过第一、三、四象限，可得到关于a的不等式组，求出a的取值范围；再求出分式方程的解，根据x≠3，可得到a的取值范围，由此可推出a的取值范围为1＜a≤10且a≠2，可得到整数a的值的个数.
11．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意，按照分式方程的解法求解即可.
12．【答案】85
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，
由题意得，
解得x=85，
经检验x=85是原分式方程的解，且符合题意，
所以第二天每棵树苗的售价是85元.
故答案为：85.
【分析】设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及第二天售出树苗的数量是第一天的2倍列出方程，求解并检验即可.
13．【答案】2或4
【知识点】分式方程的增根；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴（2x-k）x+2（x-1）=2x（x-1），
∴（4-k）x=2，
∵关于x的方程无解，
∴x=0或x=1或4-k=0，
当x=0时，-2=0，不成立，舍掉；
当x=1时，2-k=0，解得：k=2，；
当4-k=0时，k=4，；
综上，实数k的值为2或4，
故答案为：2或4.
【分析】先求出a、b的值，可得，再求出（4-k）x=2，结合“关于x的方程无解”，可得x=0或x=1或4-k=0，再求解即可.
14．【答案】（1）解：，
，
，
，
经检验，，
是方程的根；
（2）解：，
，
，
，
，
经检验，，
是方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可.
（2）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可.
15．【答案】解：
，
又∵，
∴，
∴
经检验，是的解；
将代入中，原式．
【知识点】分式的化简求值；分式方程的解及检验
【解析】【分析】本题考查分式方程的解和代数式的化简求值。解分式方程时，要注意分母不为0的情况，得出方程正确的解。解 时，得a=3，化简 时，能约分要约分，得出结果后，将a=3代入即可。
16．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解；
（4）证明： ，，，，，，则．
【知识点】因式分解的应用；分式的乘除法；解分式方程
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法则分解因式即可；
（2）利用分式的乘除法则分解因式即可；
（3）利用解分式方程的方法解方程即可；
（4）先求出 ，， 再求解即可。
17．【答案】（1）一；在去分母时整数项没有乘
（2）解：去分母得：，
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解；
（3）解：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可；
（3）根据解分式方程的步骤求解即可。
18．【答案】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹
依题意，得
两边同乘4x，得
解得：
检验：当时，，
所以原分式方程的解是
这条自动分拣流水线每小时分拣包裹：（件）
答：一条自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹
（2）解：设购买该型号的自动分拣流水线条，
依题意得
解得：
答：至少应购买10条自动分拣流水线．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 （1）根据题目中的两个等量关系设未知数和列方程解出答案，并作答，分式方程注意检验；
（2） 关键词“至少” 提示用列不等式解决问题，根据题意列不等式.
19．【答案】（1）解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
元．
答：购买一个品牌的足球需要元，购买一个品牌的足球需要元．
（2）解：设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
答：该中学此次最多可购买个品牌足球．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x+30）元，根据花3000元购买的A品牌足球的数量是花2400元购买的B品牌足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个B品牌足球，则购买（50-m）个A品牌足球，根据题意列出购进A，B两种品牌所花的费用，再结合学校此次购买的总费用不超过3060元，列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．
20．【答案】（1）x1=5，x2=
（2）a+
（3）解：去分母得：5x2﹣26x+5=0，即（5x﹣1）（x﹣5）=0，
解得：x1=5，x2= ，
经检验x1=5，x2= 都是分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）方程整理得：x+ =5+ ，其解为x1=5，x2= ；（2）猜想得：x+ =a+ 的解为x1=a，x2= （a≠0），
故答案为：（1）x1=5，x2= ；（2）a+ ；
【分析】（1）方程变形后，根据阅读材料中的方法确定出解即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验得到分式方程的解，验证即可．
21．【答案】（1）1；1
（2）1
（3）解：∵f(x-1)+f(x+1)=2，
∴，
∴(x-1)(x+2)+x(x+1)=2x(x+2)，
∴2x2+2x-2=2x2+4x，
∴2x=-2，
∴x=-1.
经检验：x=-1是分式方程的解.
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）f(3)+f()=，f(5)+f()==1.
故答案为：1，1.
（2）猜想f(x)+f()=1.
∵f(x)+f()===1，
∴f(x)+f()=1.
【分析】（1）直接根据定义的新运算进行计算；
（2）根据（1）的结果猜想出f(x)+f()的值，然后根据定义的新运算进行证明；
（3）根据定义的新运算可得，然后求解即可.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）5.4分式方程 同步练习
一、选择题
1．（2022八下·薛城月考）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故答案为：A．
【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可。
2．（2023八下·凤城期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵
解得：，
∵关于的方程的解为正数，
∴，
解得：，
又∵，
∴
解得：，
∴且.
故答案为：B.
【分析】将m作为字母系数先解分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据分式方程的解为正数，可得x＞0且x-3≠0，据此列不等式求解即可.
3．（2017八下·吉安期末）若解分式方程 = 产生增根，则m=（ ）
A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘（x+4），得
x﹣1=m，
∵原方程增根为x=﹣4，
∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5，
故选D．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
4．（2023八下·南岸期末）如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．9 B．3 C．0 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵不等式组的解集为，
∴2a+4≥-2，
∴a≥-3，
∵，
∴a-2（x+0.5）=3，
∴x=，
∵分式方程有解，
∴x+0.5≠0，
∴x≠0.5，
∴≠0.5，
∴a≠5
∴a≥-3，且a≠5，
∵分式方程有负分数解，
∴，a不能被2整除，
∴a＜4，且a不能被2整除，
∴-3≤a＜4，且a不能被2整除，
∵a为整数，
∴符合条件的a的值可以为-3，-1，1，3，
∴符合条件的所有整数a的积=（-3）×（-1）×1×3=9，
故答案为：A.
【分析】先利用不等式组的解集求出a的范围，再结合分式方程的解有负分数解，可得-3≤a＜4，且a不能被2整除，再求出符合条件的a的值可以为-3，-1，1，3，最后计算即可.
5．（2023八下·铜梁期末）如果关于的分式方程有非负整数解，且一次函数不经过第四象限，则所有符合条件的的和是（ ）.
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 不经过第四象限，
∴m+2≥0，
解得：m≥-2，
根据，可得：
方程两边乘（x-2），可得：x-（m+1）=2×（x-2），
去括号可得：x-m-1=2x-4，
移项并合并同类项可得：-x=m-3，
系数化为“1”可得：x=3-m，
∵分式方程有非负整数解，
∴，即，
解得：m≤3且m≠1，
∵m为整数，
∴m的值可以为0，2，3，
∴符合条件的m的值由0，2，3，
∴所有符合条件的的和为0+2+3=5，
故答案为：D.
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意求出m的取值范围，最后将符合要求的m的值相加即可.
6．（2023八下·闵行期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B． C． D．．
【答案】A
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵方程， ，
∴，
∴原方程可化为：，
故答案为：A.
【分析】利用换元法求出，再求解即可。
7．（2023八下·温江期末）某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设采用新工艺前每小时加工x个零件，
根据题意可得：，
故答案为：B.
【分析】设采用新工艺前每小时加工x个零件，根据“某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h”列出分式方程即可.
8．（2023八下·洛阳期中）我市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长4000米的排水管道，实际施工时，____.求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道x米，则可得方程，…”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为（ ）
A．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成
B．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成
C．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成
D．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：原计划每天铺设管道x米，那么（x-10）就应该是实际每天比原计划少铺了10米，
而用，则实际用的时间-表示用原计划的时间=20天，
那么就说明每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成.
故答案为：A.
【分析】原计划每天铺设管道x米，根据题中的方程可知（x-10）就是实际每天比原计划少铺了10米；根据方程可知：实际所用天数比原计划所需天数多20天，即延期20天完成，结合各选项可判断求解.
二、填空题
9．（2023八下·雅安期末）已知关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解是正整数，则整数m的值为 ．
【答案】1或0
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组无解，
∴-2m-1≤m+2
即m≥-1 ，
解分式方程得
∵ 分式方程 的解是正整数，x≠2且m为整数，
∴∴2-m=1或2-m=2或2-m=3或2-m=6，
∴m=1，m=0，m=-1，m=-4；
∵m≥-1且x≠-1，
∴m=1，m=0．
故答案为： 1或0 .
【分析】根据不等式无解得出m≥-1 ，根据分式方程得出且为正整数，得出m的值
10．（2023八下·安达期末）已知整数a，使得关于x的分式方程有整数解，且关于x的一次函数y=（a-1）x+a-10的图象不经过第二象限，则满足条件的整数a的值有 个．
【答案】5
【知识点】解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一次函数y=（a-1）x+a-10的图象不经过第二象限，
∴此函数图象经过第一、三、四象限，
∴a-1＞0且a-10＜0，
解之：a＞1，a≤10，
∴a的取值范围为1＜a≤10；
，
∴3-ax+3x-9=-x
解之：，
∵x-3≠0，
∴x≠3，
∴，
解之：a≠2；
∴a的取值范围为1＜a≤10且a≠2，
∴a=3，5，6，7，10时方程有整数解，
∴满足条件的整数a有5个.
故答案为：5.
【分析】利用已知可知此函数图象经过第一、三、四象限，可得到关于a的不等式组，求出a的取值范围；再求出分式方程的解，根据x≠3，可得到a的取值范围，由此可推出a的取值范围为1＜a≤10且a≠2，可得到整数a的值的个数.
11．（2023八下·苏州工业园期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．若已知f、v，则 ．
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意，按照分式方程的解法求解即可.
12．（2023八下·洋县期末）为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 元．
【答案】85
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，
由题意得，
解得x=85，
经检验x=85是原分式方程的解，且符合题意，
所以第二天每棵树苗的售价是85元.
故答案为：85.
【分析】设第二天每棵树苗售价是x元，则第一天每棵树苗的售价为（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及第二天售出树苗的数量是第一天的2倍列出方程，求解并检验即可.
13．（2023八下·新都期末）定义，如：．若，，且关于x的方程无解，则实数k的值为 ．
【答案】2或4
【知识点】分式方程的增根；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴（2x-k）x+2（x-1）=2x（x-1），
∴（4-k）x=2，
∵关于x的方程无解，
∴x=0或x=1或4-k=0，
当x=0时，-2=0，不成立，舍掉；
当x=1时，2-k=0，解得：k=2，；
当4-k=0时，k=4，；
综上，实数k的值为2或4，
故答案为：2或4.
【分析】先求出a、b的值，可得，再求出（4-k）x=2，结合“关于x的方程无解”，可得x=0或x=1或4-k=0，再求解即可.
三、计算题
14．（2023八下·新城期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
经检验，，
是方程的根；
（2）解：，
，
，
，
，
经检验，，
是方程的根．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可.
（2）先去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可.
15．（2023八下·沙坪坝月考）先化简：若a是方程的解，求代数式的值．
【答案】解：
，
又∵，
∴，
∴
经检验，是的解；
将代入中，原式．
【知识点】分式的化简求值；分式方程的解及检验
【解析】【分析】本题考查分式方程的解和代数式的化简求值。解分式方程时，要注意分母不为0的情况，得出方程正确的解。解 时，得a=3，化简 时，能约分要约分，得出结果后，将a=3代入即可。
16．（2022八下·沈北期末）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，，，是的三边，求证：．
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解；
（4）证明： ，，，，，，则．
【知识点】因式分解的应用；分式的乘除法；解分式方程
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法则分解因式即可；
（2）利用分式的乘除法则分解因式即可；
（3）利用解分式方程的方法解方程即可；
（4）先求出 ，， 再求解即可。
四、解答题
17．（2023八下·盐湖期末）在解分式方程时，小亮的解法如下：
解：方程两边同时乘，得 （第一步）
解这个整式方程得： （第二步）
……
（1）任务一：填空
在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ．
（2）任务二：请写出解这个方程的正确过程．
（3）任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．
【答案】（1）一；在去分母时整数项没有乘
（2）解：去分母得：，
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解；
（3）解：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可；
（3）根据解分式方程的步骤求解即可。
18．（2024八下·南宁开学考）科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．
（1）一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）新年将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备则买该型号的自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条
【答案】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹
依题意，得
两边同乘4x，得
解得：
检验：当时，，
所以原分式方程的解是
这条自动分拣流水线每小时分拣包裹：（件）
答：一条自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹
（2）解：设购买该型号的自动分拣流水线条，
依题意得
解得：
答：至少应购买10条自动分拣流水线．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 （1）根据题目中的两个等量关系设未知数和列方程解出答案，并作答，分式方程注意检验；
（2） 关键词“至少” 提示用列不等式解决问题，根据题意列不等式.
19．（2024八下·开福开学考）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了元，购买品牌足球花费了元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花元．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进，两种品牌足球共个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？
【答案】（1）解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
元．
答：购买一个品牌的足球需要元，购买一个品牌的足球需要元．
（2）解：设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
答：该中学此次最多可购买个品牌足球．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x+30）元，根据花3000元购买的A品牌足球的数量是花2400元购买的B品牌足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个B品牌足球，则购买（50-m）个A品牌足球，根据题意列出购进A，B两种品牌所花的费用，再结合学校此次购买的总费用不超过3060元，列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．
五、实践探究题
20．观察下列方程及解的特征：
⑴x+ =2的解为x1=x2=1；
⑵x+ = 的解为x1=2，x2= ；
⑶x+ = 的解为x1=3，x2= ；
解答下列问题：
（1）请猜想：方程x+ = 的解为 ；
（2）请猜想：关于x的方程x+ ═ 的解为x1=a，x2= （a≠0）；
（3）下面以解方程x+ = 为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
【答案】（1）x1=5，x2=
（2）a+
（3）解：去分母得：5x2﹣26x+5=0，即（5x﹣1）（x﹣5）=0，
解得：x1=5，x2= ，
经检验x1=5，x2= 都是分式方程的解
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）方程整理得：x+ =5+ ，其解为x1=5，x2= ；（2）猜想得：x+ =a+ 的解为x1=a，x2= （a≠0），
故答案为：（1）x1=5，x2= ；（2）a+ ；
【分析】（1）方程变形后，根据阅读材料中的方法确定出解即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验得到分式方程的解，验证即可．
21．（2023八下·南海期中）对于实数，规定：。例如：，。
（1）求值： ； 。
（2）猜想： ，并证明你的结论；
（3）解方程：。
【答案】（1）1；1
（2）1
（3）解：∵f(x-1)+f(x+1)=2，
∴，
∴(x-1)(x+2)+x(x+1)=2x(x+2)，
∴2x2+2x-2=2x2+4x，
∴2x=-2，
∴x=-1.
经检验：x=-1是分式方程的解.
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）f(3)+f()=，f(5)+f()==1.
故答案为：1，1.
（2）猜想f(x)+f()=1.
∵f(x)+f()===1，
∴f(x)+f()=1.
【分析】（1）直接根据定义的新运算进行计算；
（2）根据（1）的结果猜想出f(x)+f()的值，然后根据定义的新运算进行证明；
（3）根据定义的新运算可得，然后求解即可.
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