【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第五章 分式与分式方程 章末检测
一、选择题（每题2分个，共20分）
1．（2024八下·冷水滩开学考） 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式有：，，，共3个
故答案为：B
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．（2022八下·射洪月考）下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即.
故答案为：C.
【分析】将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，据此判断.
3．（2018八下·上蔡期中）如果分式 的值为零，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据分式值为零的条件（分母不等于零，分子等于零）计算即可.
4．（2022·济南）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故答案为：D．
【分析】先化简分式，再将m-n＝2代入求解即可。
5．（2023·保定模拟）在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（ ）
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错；两个人计算都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式运算法则进行计算，可知嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错，则两个人计算都不正确。
6．由值的正负可以比较与的大小，下列说法中，正确的是（ ）
A．当c=-2时， B．当c=0时，
C．当c<-2时， D．当c<0时，
【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】将c=-2和0分别代入A中计算求值即可判断出A，B的对错；当c<-2和c<0时计算
的正负，即可判断出C，D的对错.
7．（2023八下·雅安期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或 D．或2
【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
∴2m(x+1)+m(x-1)=4
∵分式方程有增根
∴x=1或x=-1
当x=1时，2m×(1+1)+m×(1-1)=4
解得：m=1
当x=-1时，2m×(-1+1)+m×(-1-1)=4，
解得：m=-2
故答案为：C.
【分析】先化为整式方程，根据分式方程有增根，可得x=1或x=-1，代入整式方程，即可求解．
8．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
9．（2024八下·南宁开学考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装袆前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设边衬的宽度为x米 ，
∵在画四周边衬的宽度相等
∴长为(2.4+2x)米，宽为 (1.4+2x)米
∵整幅图画宽与长的比是8：13
∴可列方程，故D选项符合.
故答案为：D.
【分析】根据题意画四周边衬的宽度相等，可以得到整幅图画的长和宽，根据“ 整幅图画宽与长的比是8：13 ”可列出方程，注意是四周长和宽两边都增加了x.
10．（2021·江干模拟）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝（g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ）
A．倍 B．倍 C．25倍 D．4倍
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：设木星的质量为M，则地球的质量为 ，一个人的质量为m，
∵地球的半径为R，地球的半径约为木星半径的 ，
∴木星的半径为 ，
∴站在地球上的人所受的地球重力为： ，
站在木星上的人所受的重力为： ，
站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的：
；
故答案为：B.
【分析】设木星的质量为M，则地球的质量为 ，一个人的质量为m，木星的半径为 R，站在地球上的人所受的地球重力为： ，站在木星上的人所受的重力为： ，然后求比值即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2021八下·铁锋期末）要使函数 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥ 且x≠1且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义
∴自变量 必须满足 ．
解得 且 且 ．
故答案为： 且 且 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及零指数幂有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．（2023八下·宜宾月考） 的最简公分母是 .
【答案】6x2y（x-y）
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：
∴ 的最简公分母是6x2y（x-y）.
故答案为：6x2y（x-y）.
【分析】最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
13．（2023·武侯模拟）我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知，，则化简的结果为 ．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：x-1.
【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将分式除法转变为分式乘法，将第一个分式的分子利用完全平方公式分解因式后约分化简即可.
14．（2023·合川九上期末）已知a为范围的整数，则的值是 .
【答案】-1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
，
根据题意有：，，，
即，，，
∵，且为整数，
∴，
将代入，有原式，
故答案为：-1.
【分析】对括号中式子的分母进行分解，然后通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，由题意可得a≠0、a-4≠0、a-2≠0，结合a的范围以及a为整数可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
15．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
三、计算题（共4题，共25分）
16．（2023八下·保定期末）计算
（1）解不等式组
（2）因式分解
（3）解分式方程
（4）先化简，再求值．，从，0，1，2中选取一个代入求值．
【答案】（1）解：，
解得，
解得，
∴不等式组的解集为
（2）解：
（3）解：，
去分母得，
去括号得，
解得，
经检验是原方程的增根，
∴方程无解；
（4）解：
，
∵或分式无意义，
∴取，原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先分别求出各个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”即可得出不等式组的解集；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式即可分解；
（3）根据解分式方程的步骤解出方程，再检验即可；
（4）根据分式的加减运算法则进行运算后，再选取一个数字代入计算即可。
17．（2023八下·宜宾月考）已知关于x的方程
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
【答案】（1）解：∵方程的解是5，
∴把x＝5代入 ，得
解得m＝3；
（2）解：
两边都乘以（x-3）（x-4），得
x（x-4）-（x-3）（x-4）＝m，
整理得3x-12＝m，
∵方程有增根，
∴x＝3或x＝4，
当x＝3时，
m＝3×3-12＝-3，
当x＝4时，
m＝3×4-12＝0，
∴m的值为-3或0.
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将x=5代入方程中进行计算可得m的值；
（2）两边都乘以(x-3)(x-4)，得x(x-4)-(x-3)(x-4)＝m，整理得3x-12＝m，根据分式方程有增根可得x＝3或x＝4，然后代入3x-12＝m中进行计算可得m的值.
18．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.3 分式的加减法 课时1）已知abc≠0且a+b+c=0,求a +b +c 的值.
【答案】解法一:∵abc≠0,∴a≠0,b≠0,c≠0.∴原式=a（ ）+b（ ）+c（ ）-3=（ ）(a+b+c)-3.∵a+b+c=0,∴原式=-3.解法二:a +b +c = + + + + + =（ + ）+（ + ）+（ + ）= + + .∵a+b+c=0,∴-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b.∴原式= + + =-3
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】解法一:由于abc≠0,故a≠0,b≠0,c≠0.根据1可以改写成,将原式改写成;又由于a+b+c=0,从而根据0乘以任何数都等于0,0加任何数得任何数，从而得出答案；
解法二:先用乘法分配律去括号，然后利用加法的交换律的结合律按同分母分式的加法法则进行计算，然后由a+b+c=0,得-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b.再整体替换，约分得出结果。
19．（初中数学苏科版八年级下册10.3-10.4 分式的加减，分式的乘除 同步练习）计算 并求当x=1时,该代数式的值.
【答案】解：原式= 当 =1时,原式=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先利用将各式变形，然后先合并，再代入求值即可.
四、解答题（共6题，共40分）
20．（2022·杭州模拟）小明邀请你请参与数学接龙游戏：
【问题】解分式方程： ，
【小明解答的部分 】解：设 ，则有 ，故原方程可化为 ，去分母并移项，得 .
【接龙 】
【答案】解： 【接龙 方程整理得： ，
开方得： ，
解得： ，
，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入最简公分母得： ，
分式方程的解为 .
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】根据换元法设 ，可得方程 ，去分母并移项得 ，变形为 ，利用直接开平方法解方程求出t值，即得 ，再解方程并检验即可.
21．（2023八下·庆云期末）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
【答案】（1）解：设篮球每个x元，足球每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：（元），
答：篮球每个100元，足球每个80元
（2）解：由题意得：，
即w与m的函数关系式为
（3）解：由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】 (1)、设篮球每个x元，足球每个元， 根据 购买篮球的个数比足球的个数少2个，列出等量关系式求出.
(2)、 根据题意列出函数关系式.
(3)、根据计划总费用不多于5200元列出不等式，根据一次函数的性质求出最小值.
22．（2023八下·太原期末）2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
【答案】（1）解：设第一次购买AED设备台，
根据题意，得
解，得，
经检验，是原方程的解，
答：第一次购买AED设备4台
（2）解：设购买立式存储柜个，则购买壁挂式存储柜个，
根据题意，得，
解，得，
因为为正整数，所以的最大值为2，
答：最多可购买立式存储柜2个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程即可；
（2）根据要使购买存储柜的总费用不超过7000元，列不等式求解即可。
23．（2023八下·南岸期末）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和B款燃油车的对比调查发现，A款电动车汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均每千米的加油费少0.6元．
（1）若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费；
（2）A款电动车汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150km的路程到达乙地．行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的，求原计划的速度．
【答案】（1）解：设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元；
（2）解：设原计划的速度为，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为（x+0.6）元，根据充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，列出分式方程，解得 x=0.2，注意检验即可；
（2） 设原计划的速度为ykm/h， 根据行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 ，列出分式方程 ，解得y=75，注意检验即可.
24．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人，则乙车间有（50-x）名工人，根据题意得，
25x×20+30（50-x）×20=27000，
解得：x=30，则50-x=20，
即甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，
由题意， 得，
解得 . 经检验， 是原方程的解， 且符合题意
. 乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）
选择方案一需增加的费用为 +1500=17700（元）
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）
∵17700<18000，∴选择方案一更节省开支.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲车间的工人为x名，则乙车间为（50-x）名，根据总生产任务为27000件产品，列出方程，解方程即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，根据两种方案中企业完成生产任务的时间相同列出分式方程，解方程，验根，即可求解；
②先计算出企业完成生产任务所需的时间，再分别计算方案一和方案二的费用，最后作比较，即可求得方案一更节省开支.
25．（2023九下·深圳月考）随着天气转暖，越来越多的市民喜欢到户外活动，小明与同学约定周末带帐篷到附近露营地开展活动．
（1）[买帐篷]经了解，某种帐篷有A、B两种型号，已知A型帐篷的单价比B型帐篷的单价多30元，用1200元购买A型帐篷的数量和用900元购买B型帐篷的数量相同．小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需多少钱？
（2）[摆帐篷]周末，小明与同学一起来到露营地，发现有一块由篱笆围绕的长20米，宽14米的矩形草地(抽象成如图11的20×14的方格纸)可用来摆帐篷．经测量，每个帐篷占据的地面部分是半径为3米的圆形(抽象成如图10的圆)，为保障通行，帐篷四周需要留有通道，通道最狭窄处的宽度不小于I米．小明将第一个帐篷按要求摆放在如图所示的位置，此块草地内最多还能摆下几个同样大小的帐篷呢？请在图11中画出符合要求的设计示意图．(要求：圆心要画在格点上，画圆时要用圆规)
【答案】（1）设A种型号帐篷的单价分别是x元，则B型号的帐篷的单价为（x-30）元，
由题意得：
方程两边同乘以x（x-30）得：1200（x-30）＝900x，
解这个整式方程得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，
∴x-30＝90，
∴2×（90+120）＝420（元），
答：小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元；
（2）如图：
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）设A种型号帐篷的单价分别是x元，则B型号的帐篷的单价为（x-30）元，
由题意得：
方程两边同乘以x（x-30）得：1200（x-30）＝900x，
解这个整式方程得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，
∴x-30＝90，
∴2×（90+120）＝420（元），
答：小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元；
（2）如图：
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）根据圆与圆之间的关系作图．
五、实践探究题（共3题，共20分）
26．（2023八下·宜宾月考）“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：.
（1）计算；
（2）求等式中x的值.
【答案】（1）解：由题意可得，
＝（a+b） -（a-b）
＝
＝
＝ ；
（2）解：∵
∴2× -1× ＝1，
去分母，得：2+1＝x-1，
移项及合并同类项，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x-1≠0，
∴x＝4是原分式方程的解，
即x的值为4.
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算可得原式＝(a+b) -(a-b) ，然后化简即可；
（2）根据定义的新运算可得原式=2×-1×＝1，求出x的值，然后进行检验即可.
27．（2021八下·郑州期中）阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【知识点】分式的通分
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
28．（2023八下·太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务．
真分式与假分式 将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数；类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数，如，，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中整式的次数时，如，，称为真分式． 一些假分数可以化为带分数，即整数与真分数之和，如：；类似地，我们也可以把一些假分式化为带分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例：；．
任务：
（1）下列分式中， 是假分式（填序号）：
①；②；③；
（2）小彬将一个假分式化成带分式的结果为，请求出原来的假分式；
（3）请从下面两题中任选一题作答．我选择 ．A.将假分式化成带分式的结果为 ；B.将假分式化成带分式的结果为 ▲ ．
【答案】（1）①③
（2）解：
（3）解：A；（B：）
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中整式的次数时，称为真分式，
∴①③是假分式，②是真分式，
故答案为：①③；
（2）， ，
故答案为：A； （B：） .
【分析】（1）根据假分式和真分式的定义判断求解即可；
（2）根据分式的加减法则计算求解即可；
（3）根据题意变形计算求解即可。
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第五章 分式与分式方程 章末检测
一、选择题（每题2分个，共20分）
1．（2024八下·冷水滩开学考） 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022八下·射洪月考）下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．（2018八下·上蔡期中）如果分式 的值为零，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·济南）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．（2023·保定模拟）在计算时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（ ）
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
6．由值的正负可以比较与的大小，下列说法中，正确的是（ ）
A．当c=-2时， B．当c=0时，
C．当c<-2时， D．当c<0时，
7．（2023八下·雅安期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或 D．或2
8．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
9．（2024八下·南宁开学考）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装袆前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·江干模拟）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝（g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ）
A．倍 B．倍 C．25倍 D．4倍
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2021八下·铁锋期末）要使函数 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023八下·宜宾月考） 的最简公分母是 .
13．（2023·武侯模拟）我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知，，则化简的结果为 ．
14．（2023·合川九上期末）已知a为范围的整数，则的值是 .
15．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为
三、计算题（共4题，共25分）
16．（2023八下·保定期末）计算
（1）解不等式组
（2）因式分解
（3）解分式方程
（4）先化简，再求值．，从，0，1，2中选取一个代入求值．
17．（2023八下·宜宾月考）已知关于x的方程
（1）m为何值时，这个方程的解是5？
（2）m为何值时，这个方程有增根？
18．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.3 分式的加减法 课时1）已知abc≠0且a+b+c=0,求a +b +c 的值.
19．（初中数学苏科版八年级下册10.3-10.4 分式的加减，分式的乘除 同步练习）计算 并求当x=1时,该代数式的值.
四、解答题（共6题，共40分）
20．（2022·杭州模拟）小明邀请你请参与数学接龙游戏：
【问题】解分式方程： ，
【小明解答的部分 】解：设 ，则有 ，故原方程可化为 ，去分母并移项，得 .
【接龙 】
21．（2023八下·庆云期末）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（）个，总费用为w元，请写出w与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
22．（2023八下·太原期末）2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停虫者某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如下图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
23．（2023八下·南岸期末）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和B款燃油车的对比调查发现，A款电动车汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均每千米的加油费少0.6元．
（1）若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费；
（2）A款电动车汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150km的路程到达乙地．行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的，求原计划的速度．
24．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
25．（2023九下·深圳月考）随着天气转暖，越来越多的市民喜欢到户外活动，小明与同学约定周末带帐篷到附近露营地开展活动．
（1）[买帐篷]经了解，某种帐篷有A、B两种型号，已知A型帐篷的单价比B型帐篷的单价多30元，用1200元购买A型帐篷的数量和用900元购买B型帐篷的数量相同．小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需多少钱？
（2）[摆帐篷]周末，小明与同学一起来到露营地，发现有一块由篱笆围绕的长20米，宽14米的矩形草地(抽象成如图11的20×14的方格纸)可用来摆帐篷．经测量，每个帐篷占据的地面部分是半径为3米的圆形(抽象成如图10的圆)，为保障通行，帐篷四周需要留有通道，通道最狭窄处的宽度不小于I米．小明将第一个帐篷按要求摆放在如图所示的位置，此块草地内最多还能摆下几个同样大小的帐篷呢？请在图11中画出符合要求的设计示意图．(要求：圆心要画在格点上，画圆时要用圆规)
五、实践探究题（共3题，共20分）
26．（2023八下·宜宾月考）“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：.
（1）计算；
（2）求等式中x的值.
27．（2021八下·郑州期中）阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
28．（2023八下·太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务．
真分式与假分式 将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数；类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数，如，，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中整式的次数时，如，，称为真分式． 一些假分数可以化为带分数，即整数与真分数之和，如：；类似地，我们也可以把一些假分式化为带分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例：；．
任务：
（1）下列分式中， 是假分式（填序号）：
①；②；③；
（2）小彬将一个假分式化成带分式的结果为，请求出原来的假分式；
（3）请从下面两题中任选一题作答．我选择 ．A.将假分式化成带分式的结果为 ；B.将假分式化成带分式的结果为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：由题意可得：
分式有：，，，共3个
故答案为：B
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，
即.
故答案为：C.
【分析】将的分子和分母同时乘以-1，分式的值不变，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据分式值为零的条件（分母不等于零，分子等于零）计算即可.
4．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故答案为：D．
【分析】先化简分式，再将m-n＝2代入求解即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错；两个人计算都不符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用分式运算法则进行计算，可知嘉嘉第一步出错；琪琪第三步出错，则两个人计算都不正确。
6．【答案】C
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】将c=-2和0分别代入A中计算求值即可判断出A，B的对错；当c<-2和c<0时计算
的正负，即可判断出C，D的对错.
7．【答案】C
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
∴2m(x+1)+m(x-1)=4
∵分式方程有增根
∴x=1或x=-1
当x=1时，2m×(1+1)+m×(1-1)=4
解得：m=1
当x=-1时，2m×(-1+1)+m×(-1-1)=4，
解得：m=-2
故答案为：C.
【分析】先化为整式方程，根据分式方程有增根，可得x=1或x=-1，代入整式方程，即可求解．
8．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设边衬的宽度为x米 ，
∵在画四周边衬的宽度相等
∴长为(2.4+2x)米，宽为 (1.4+2x)米
∵整幅图画宽与长的比是8：13
∴可列方程，故D选项符合.
故答案为：D.
【分析】根据题意画四周边衬的宽度相等，可以得到整幅图画的长和宽，根据“ 整幅图画宽与长的比是8：13 ”可列出方程，注意是四周长和宽两边都增加了x.
10．【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：设木星的质量为M，则地球的质量为 ，一个人的质量为m，
∵地球的半径为R，地球的半径约为木星半径的 ，
∴木星的半径为 ，
∴站在地球上的人所受的地球重力为： ，
站在木星上的人所受的重力为： ，
站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的：
；
故答案为：B.
【分析】设木星的质量为M，则地球的质量为 ，一个人的质量为m，木星的半径为 R，站在地球上的人所受的地球重力为： ，站在木星上的人所受的重力为： ，然后求比值即可.
11．【答案】x≥ 且x≠1且x≠3
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义
∴自变量 必须满足 ．
解得 且 且 ．
故答案为： 且 且 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及零指数幂有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．【答案】6x2y（x-y）
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：
∴ 的最简公分母是6x2y（x-y）.
故答案为：6x2y（x-y）.
【分析】最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
13．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：x-1.
【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将分式除法转变为分式乘法，将第一个分式的分子利用完全平方公式分解因式后约分化简即可.
14．【答案】-1
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
，
根据题意有：，，，
即，，，
∵，且为整数，
∴，
将代入，有原式，
故答案为：-1.
【分析】对括号中式子的分母进行分解，然后通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，由题意可得a≠0、a-4≠0、a-2≠0，结合a的范围以及a为整数可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
15．【答案】
【知识点】解分式方程；概率公式
【解析】【解答】解：
去分母得1-ax+2(x-2)=-1，
解得x=，
当a=0时，x=1，是分式方程的根，且是正整数解；
当a=-3时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
当a=1时，x=2，不是分式方程的根，是增根；
当a=5时，x=，是分式方程的根，但不是正整数解；
∴ 使关于x的分式方程有正整数解的概率为： .
故答案为： .
【分析】先将a作为字母系数解分式方程，再分别求出a=-3、0、1、5的时候方程的根，并找出使分式方程有正整数解的情况数，从而根据概率公式即可算出答案.
16．【答案】（1）解：，
解得，
解得，
∴不等式组的解集为
（2）解：
（3）解：，
去分母得，
去括号得，
解得，
经检验是原方程的增根，
∴方程无解；
（4）解：
，
∵或分式无意义，
∴取，原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的化简求值；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先分别求出各个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”即可得出不等式组的解集；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式即可分解；
（3）根据解分式方程的步骤解出方程，再检验即可；
（4）根据分式的加减运算法则进行运算后，再选取一个数字代入计算即可。
17．【答案】（1）解：∵方程的解是5，
∴把x＝5代入 ，得
解得m＝3；
（2）解：
两边都乘以（x-3）（x-4），得
x（x-4）-（x-3）（x-4）＝m，
整理得3x-12＝m，
∵方程有增根，
∴x＝3或x＝4，
当x＝3时，
m＝3×3-12＝-3，
当x＝4时，
m＝3×4-12＝0，
∴m的值为-3或0.
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）将x=5代入方程中进行计算可得m的值；
（2）两边都乘以(x-3)(x-4)，得x(x-4)-(x-3)(x-4)＝m，整理得3x-12＝m，根据分式方程有增根可得x＝3或x＝4，然后代入3x-12＝m中进行计算可得m的值.
18．【答案】解法一:∵abc≠0,∴a≠0,b≠0,c≠0.∴原式=a（ ）+b（ ）+c（ ）-3=（ ）(a+b+c)-3.∵a+b+c=0,∴原式=-3.解法二:a +b +c = + + + + + =（ + ）+（ + ）+（ + ）= + + .∵a+b+c=0,∴-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b.∴原式= + + =-3
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】解法一:由于abc≠0,故a≠0,b≠0,c≠0.根据1可以改写成,将原式改写成;又由于a+b+c=0,从而根据0乘以任何数都等于0,0加任何数得任何数，从而得出答案；
解法二:先用乘法分配律去括号，然后利用加法的交换律的结合律按同分母分式的加法法则进行计算，然后由a+b+c=0,得-a=b+c,-b=a+c,-c=a+b.再整体替换，约分得出结果。
19．【答案】解：原式= 当 =1时,原式=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先利用将各式变形，然后先合并，再代入求值即可.
20．【答案】解： 【接龙 方程整理得： ，
开方得： ，
解得： ，
，
去分母得： ，
解得： ，
检验：把 代入最简公分母得： ，
分式方程的解为 .
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【分析】根据换元法设 ，可得方程 ，去分母并移项得 ，变形为 ，利用直接开平方法解方程求出t值，即得 ，再解方程并检验即可.
21．【答案】（1）解：设篮球每个x元，足球每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
则足球的单价为：（元），
答：篮球每个100元，足球每个80元
（2）解：由题意得：，
即w与m的函数关系式为
（3）解：由题意可得：，
解得：，
，
由（2）得：，
，
随m的增大而减小，
∴当时，w取得最小值，
此时元，，，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】 (1)、设篮球每个x元，足球每个元， 根据 购买篮球的个数比足球的个数少2个，列出等量关系式求出.
(2)、 根据题意列出函数关系式.
(3)、根据计划总费用不多于5200元列出不等式，根据一次函数的性质求出最小值.
22．【答案】（1）解：设第一次购买AED设备台，
根据题意，得
解，得，
经检验，是原方程的解，
答：第一次购买AED设备4台
（2）解：设购买立式存储柜个，则购买壁挂式存储柜个，
根据题意，得，
解，得，
因为为正整数，所以的最大值为2，
答：最多可购买立式存储柜2个.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程即可；
（2）根据要使购买存储柜的总费用不超过7000元，列不等式求解即可。
23．【答案】（1）解：设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元；
（2）解：设原计划的速度为，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为（x+0.6）元，根据充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，列出分式方程，解得 x=0.2，注意检验即可；
（2） 设原计划的速度为ykm/h， 根据行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 ，列出分式方程 ，解得y=75，注意检验即可.
24．【答案】（1）解：设甲车间有x名工人，则乙车间有（50-x）名工人，根据题意得，
25x×20+30（50-x）×20=27000，
解得：x=30，则50-x=20，
即甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，
由题意， 得，
解得 . 经检验， 是原方程的解， 且符合题意
. 乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）
选择方案一需增加的费用为 +1500=17700（元）
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）
∵17700<18000，∴选择方案一更节省开支.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲车间的工人为x名，则乙车间为（50-x）名，根据总生产任务为27000件产品，列出方程，解方程即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，根据两种方案中企业完成生产任务的时间相同列出分式方程，解方程，验根，即可求解；
②先计算出企业完成生产任务所需的时间，再分别计算方案一和方案二的费用，最后作比较，即可求得方案一更节省开支.
25．【答案】（1）设A种型号帐篷的单价分别是x元，则B型号的帐篷的单价为（x-30）元，
由题意得：
方程两边同乘以x（x-30）得：1200（x-30）＝900x，
解这个整式方程得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，
∴x-30＝90，
∴2×（90+120）＝420（元），
答：小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元；
（2）如图：
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）设A种型号帐篷的单价分别是x元，则B型号的帐篷的单价为（x-30）元，
由题意得：
方程两边同乘以x（x-30）得：1200（x-30）＝900x，
解这个整式方程得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，
∴x-30＝90，
∴2×（90+120）＝420（元），
答：小明买了A、B两种型号帐篷各2个，共需420元；
（2）如图：
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）根据圆与圆之间的关系作图．
26．【答案】（1）解：由题意可得，
＝（a+b） -（a-b）
＝
＝
＝ ；
（2）解：∵
∴2× -1× ＝1，
去分母，得：2+1＝x-1，
移项及合并同类项，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x-1≠0，
∴x＝4是原分式方程的解，
即x的值为4.
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算可得原式＝(a+b) -(a-b) ，然后化简即可；
（2）根据定义的新运算可得原式=2×-1×＝1，求出x的值，然后进行检验即可.
27．【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【知识点】分式的通分
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
28．【答案】（1）①③
（2）解：
（3）解：A；（B：）
【知识点】分式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）∵在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中整式的次数时，称为真分式，
∴①③是假分式，②是真分式，
故答案为：①③；
（2）， ，
故答案为：A； （B：） .
【分析】（1）根据假分式和真分式的定义判断求解即可；
（2）根据分式的加减法则计算求解即可；
（3）根据题意变形计算求解即可。
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