九年级数学下册试题 27.4.1切线的性质与判定-沪教版（含解析）

27.4.1切线的性质与判定
一、选择题．
1．如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
2．如图，在的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．如图，为的切线，点为切点，交于点，点在优弧上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．在等腰三角形中，，是边上一点，以为直径的恰好与相切于点，则的长为　　
A．1 B． C．2 D．
5．如图，在中，是边上的点，以点为圆心，为半径的与相切于点，是优弧上一点，，则的度数是　　
A． B． C． D．
6．如图，以矩形对角线上一点为圆心作过点并与切于点，若，，则的半径为　　
A． B．3 C． D．
7．如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是　　
A．， B．
C． D．与的交点是中点
8．如图所示，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线，正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，，为射线上一点，以点为圆心，长为半径做，要使射线与相切，应将射线绕点按顺时针方向旋转　　
A．或 B．或 C．或 D．或
10．如图，在平面直角坐标系内，为原点，点的坐标为，经过、两点作半径为的，交轴的负半轴于点．过点作的切线交轴于点，则点的坐标为　　
A．， B． C．， D．，
二、填空题
11．已知的半径为4，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，则圆心的坐标为　　．
12．如图，已知，为边上任意一点，以为圆心、为半径作．当　　时，与相切．
13．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠圆于点，并使较长边与圆相切于点，记角尺的直角顶点为，量得，，则圆的半径是　　．
14．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④是的切线；⑤，正确的序号是　　．
15．如图，已知在中，，是的外接圆，过点、分别作的切线，两切线交于点，若的半径为1，则的周长为　　．
16．如图，点是的半径上的中点，过点作的垂线交于点，，是上一点，，过点作的切线，连接并延长交直线于点．已知的半径为4，则为　　．
17．如图，在中，，分别为的切线，点和点为切线点，线段经过圆心且与相交于、两点，若，，则的长为　　．
18．如图，矩形中，，点是对角线上一动点，以点为圆心作圆，当与矩形的相邻两边相切时，的长为　　．
三．解答题
19．如图，四边形内接于，为的直径，为弧的中点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为7，，求的长．
20．如图，在中，，点在上，，过点作，垂足为，经过，，三点．
（1）求证：是的直径；
（2）判断与的位置关系，并加以证明；
（3）若的半径为6，，求的长．
21．如图，在中，为边上的一点，过，，三点的圆交于点，已知，，．
（1）求证：是圆的直径；
（2）过点作于点，求证：与圆相切．
22．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．点为的两对角线的交点，的外接圆交于点，且圆心在边上．已知为的切线．
（1）求的度数；
（2）已知，求弧的长．
24．如图，在中，以为直径的交边于点，在边上取一点，使得，连结，交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为4，，求的长．
答案
一、选择题．
1．
【分析】由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．
【解答】解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
2．
【分析】连接，先利用圆内接四边形的性质得，再根据证得是等边三角形，得出，由切线的性质可得，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
是等边三角形，
，
为切线，
，
，
，
故选：．
3．
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：为的切线，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
4．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，推出，根据切线的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】解：连接，
，
，
，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
故选：．
5．
【分析】连接，根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接，
，
，
，
是的切线，
，
，
故选：．
6．
【分析】作于，连接，如图，设的半径为，利用切线的性质，利用四边形为矩形得到，，再证明，利用相似比得到，然后在中利用勾股定理得到，最后解方程即可．
【解答】解：作于，连接，如图，设的半径为，
为切线，
，
易得四边形为矩形，
，，
，
，
，即，解得，
，
在中，，，
，
整理得，解得（舍去），，
即的半径为．
故选：．
7．
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【解答】解：、，，
，
，
点在上，
是的半径，
是切线；
、，
，
，
，
，
点在上，
是的半径，
是切线；
、，
是直角三角形，，
，
点在上，
是的半径，
是切线；
、与的交点是中点，
，但不能证出，
不能判定是切线；
故选：．
8．
【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由为中点，得到为的一半，故为的一半，选项③正确；由为三角形的中位线，根据三角形的中位线定理得到与平行，由与垂直得到与垂直，即为，故为圆的切线，选项④正确．
【解答】解：是直径，
，
，选项①正确；
连接，如图，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
又，，
，
为圆的切线，选项④正确；
又，
，
为圆的直径，
，
，，
，
，选项②正确；
由为中点，且，
垂直平分，
，又，
，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：．
9．
【分析】设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得的度数．
【解答】解：如图，设旋转后与相切于点，连接，
，
，
当点在射线上方时，，
当点在射线下方时，，
故选：．
10．
【分析】先求出长，证明，得比例线段，求出线段长，则点坐标可求．
【解答】解：点的坐标为，的半径为，
，，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】根据已知的半径为4和与轴相切得出点的纵坐标，进而得出其横坐标，即可得出答案．
【解答】解：当半径为4的与轴相切时，
此时点纵坐标为4或，
当时，，
解得：，，
此时点坐标为：，，，，
当时，，
解得：，
此时点坐标为：．
综上所述：点坐标为：，，，，．
故答案为：，，，，．
12．
【分析】设与相切于，连接，为切点，根据，，为半径，利用直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半解答．
【解答】解：设与相切于，
连接，
，，为半径，
．
故当时，与相切，
故答案为：6．
13．
【分析】设圆的半径为，连接、，作，垂足为，利用勾股定理，在中，得到，求出即可．
【解答】解：设圆的半径为，
如图，连接、，
作，垂足为．则，，
在中，
解得：．
即该圆的半径为．
故答案为：25．
14．
【分析】连接，根据三角形中位线定理得到，①正确；根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，②正确；根据切线的判定定理得到是的切线，④正确；根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，⑤正确；根据线段垂直平分线的性质得到，求得，③正确．
【解答】解：连接，
为中点，点为的中点，
为的中位线，
，①正确；
是的直径，
，
即，又，
为等腰三角形，
，②正确；
，且，
，
是半径，
是的切线，④正确；
，
，
，
，
，
，⑤正确；
为中点，，
，
，
，
③正确，
故答案为：①②③④⑤．
15．
【分析】过点作直径，连接，则是直角三角形，且，根据三角函数即可求得的长，根据切线长定理以及切线的性质定理，可证明是等边三角形，据此即可求解．
【解答】解：过点作直径，连接，
是的直径，
，
，
，
，
的半径为1，
，
，
为切线，
，，
又，
为等边三角形，
的周长
故答案为：．
16．
【分析】连接，，过点作于点，由切线的性质得出，证明是等边三角形，则得出，由直角三角形的性质求出，的长，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：连接，，过点作于点，
为的切线，
，
，
是的中点，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
17．
【解答】解：如图，连接，
设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
．
故答案是：．
18.解矩形中，，
，，，
如图1，当与边和相切时，则，
设切点分别为、，半径为，
连接，，则，
，
，
，
，
即，
，，
．
如图2，当与边和相切时，设切点分别为，，半径为，
同理，
，
，
，，
．
综合以上可得的长为或．
三．解答题
19．解：（1）与相切，
理由：连接，
为的直径，
，
为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
与相切；
（2）的半径为7，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
20．（1）证明：连接，
，，
，
，
为圆的直径；
（2）与圆相切，
理由为：连接，
、分别为、的中点，
为的中位线，
，
，
，
为圆的半径，
与圆相切；
（3）解：，，
为等边三角形，
，
连接，
为圆的直径，
，
，，
为中点，
为中点，即为中位线，
在中，，，根据勾股定理得：，
．
解法2，
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
（3）解：，
，
，
，
．
21．证明（1），
，
，
，
，
，
是圆的直径；
（2）连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的半径，
与圆相切．
22．（1）证明：切于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
，
，
设，
则在中，有，
解得，，
，
，
，
，
．
23．解：（1）如图，连接，
为的切线，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（2）如图，作交的延长线于点，连接，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：或（舍去），
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
弧的长为：．
24．（1）证明：，
，
，
，
为的切线；
（2）解：连结，
是的直径，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，，
令，则，
，
在中，
，
，
弧的度数为，
．