九年级数学下册试题 27.4.2三角形的内切圆-沪教版（含解析）

27.4.2三角形的内切圆
一、选择题．
1．如图，点为的内心，，，，则的面积是　　
A． B． C．2 D．4
2．如图，在中，，其周长为20，是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为　　
A．7 B． C． D．
3．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是　　
A． B． C． D．
4．如图，为的内心，，，，交于点，则的值为　　
A． B． C．8 D．
5．如图，在中，点为的内心，，，．则的面积是　　
A． B． C．2 D．4
6．如图，和分别是的外切正三角形和内接正三角形，若的面积为1，则的面积为　　
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为　　
A．1 B． C．2 D．
8．如图，在中，，于，为的内切圆，设的半径为，的长为，则的值为　　
A． B． C． D．
9．如图，是的内切圆，切点分别相为点、、，设的面积、周长分别为、，的半径为，则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是　　
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
10．如图，等边边长为，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：
①形状不变；
②的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；
③四边形的面积始终不变；
④周长的最小值为．
上述结论中正确的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．若方程的两个根分别是直角三角形两直角边的长，则这个直角三角形的内切圆半径为　　 ．
12．已知方程的两根恰好是的两条直角边长，则内切圆的半径为　　．
13．如图，三角形是圆的内接三角形，点是的内心，，则的度数为 　　．
14．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，，若，则　　．
15．如图，内切于正方形，边，上两点，，且是的切线，当的面积为时，则的半径是　　．
16．如图，是的内切圆，切点分别是，，，连接，，，的半径为2，，则弦所对的弧长为　　．
17．如图，矩形的两个端点，落在上，与相切，已知，，连接，，点为优弧上一点，若的内切圆与扇形恰好是一个圆锥的底面和侧面，那么的度数为 　　度．
18．如图，矩形，，，点为边上的中点，点是的内切圆圆上的一个动点，点是的中点，则的最大值是　　．
三、解答题
19．如图，在的正方形网格中，有部分网格线被擦去．点，，在格点（正方形网格的交点）上．
（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形的外心；
（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形的内心．
20．如图，在中，，，是的外接圆，连接并延长交于点，连接，点是的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点，证明；
（2）求线段长．
21．如图，为的内心，连接并延长交的外接圆于点．
求证：．
22．如图，内接于以为直径的中，且点是的内心，的延长线与交于点，与交于点，的切线交的延长线于点．
（1）试判断的形状，并给予证明；
（2）若，，求的长．
23．已知：如图，在中，点是的内心（三角形三条角平分线的交点），延长与的外接圆交于点，连接，．
求证：（1）；
（2）若，，求的长．
24．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点、过作直线．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径．
答案
一、选择题．
1．
【分析】过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得的面积．
【解析】如图，过点作的延长线于点，
点为的内心，，
，
，
，，
，
的面积．
故选：．
2．
【分析】设的外接圆圆心为，连接，，作于点，在圆上取点，连接，，作于点，设，，，根据三角形内心定义可得，可得，根据勾股定理可得，再根据是内心，可得平分，平分，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得，再根据垂径定理和勾股定理即可求出的长．
【解析】如图，设的外接圆圆心为，连接，，作于点，
在圆上取点，连接，，作于点，
设，，，
，
，
，
，
周长为，的内切圆半径为，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
即，
整理得：，
，
，
解得，
，
是内心，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
3．
【分析】根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为，根据角所对的直角边是斜边的一半得：；等边三角形的高是与的和，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】如图，是等边三角形，
的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为，
设，，，
，故正确；
，
，
在中，
，故正确；
，
，
，
，，
，，故错误，正确；
故选：．
4．
【分析】设圆与分别切于点、、，设，证明四边形为正方形，利用求得的值，由得出，得到，即可求得的长．
【解析】如图，设圆与分别切于点、、，
设，
圆与分别切于点、、，
，，，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
、、三点共线，
，
，
，
，
故选：．
5．
【分析】过点作的延长线于点．由点为的内心，，得，则，由，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】过点作的延长线于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积，
故选：．
6．
【分析】过点作垂足为，交于点，连接，则，，三点一定共线，设，则，再求得，的长，根据三角形的面积公式即可得出和的面积之比，根据的面积为1，则可得的面积．
【解析】过点作垂足为，交于点，连接，
和分别是的外切正三角形和内接正三角形，
设，则，
，
，，，，，
，
，
，
当的面积为1，
则的面积为4．
故选：．
7．
【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．
【解析】，，，
，
如图，分别连接、、、、、，
是内切圆，、、为切点，
，，于、、，，
，
，
，
．
故选：．
8．
【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可找到的值．
【解析】如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线相交于、、于点、、，设的半径为，则：
，
，
，
又的长为，
，
，
即，，
，
故、、错误，
故选：．
9．
【分析】①正确，首先证明,同法可证,,由,可得．
②正确，利用面积法证明即可．
③正确，证明,可得结论．
④正确，利用切线长定理解决问题即可．
【解析】如图，作直径,连接．
是的切线，
,
,
,
是直径，
,
,
,
,
,
同法可证，,,
,
,故①正确，
连接,,,,．
,故②正确，
,
,
,,
,故③正确，
是的内切圆，切点分别相为点、、，
,,,
,故④正确，
故选：．
10．
【分析】①连接、，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；
③利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；
②作，如图，则，当时，最小，此时，计算出，四边形的面积为：，可对②进行判断；
④由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【解析】连接、，如图，
为等边三角形，
，
点是等边的内心，
，、分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中，
，，，
，
，，
所以①正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随的变化而变化，
而四边形的面积为定值，
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，所以④正确；
的面积最小为：
，
而四边形的面积为：，
的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，所以②正确
综上所述：
上述结论中正确的是①②③④．
故选：．
二、填空题
11．
【分析】解一元二次方程求出的两个根就是直角三角形的两条直角边的长，两出图形，由勾股定理求出直角三角形的斜边的长，再由切线长定理即可求出其内切圆的半径的长．
【解析】如图，中，，，是的内切圆，与、、边的切点分别为、、，
设方程的两个根分别是、边的长，连接、，则，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
，，
；
解方程得，，
，，
，
，
，
，
，
这个直角三角形的内切圆半径为1，
故答案为：1．
12．
【分析】通过解方程可求得直角三角形的两条直角边，进而由勾股定理求得斜边的长，再利用直角三角形外接圆直径为斜边长以及内切圆半径为，由此得解．
【解析】，
，
解得，；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长；
所以直角三角形的外接圆直径长为：5，
其内切圆的半径为：．
故答案为：1．
13．
【分析】根据三角形内角和为，可得，因为的内心是三角形角平分线的交点，可得，再根据三角形内角和即可求解．
【解析】，
，
点是的内心，
、是分别是、的角平分线，
，，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】利用直角三角形性质求出，再利用切线性质求出，再利用四边形内角和为，即可求得答案．
【解析】在中，，，
，
是的内切圆，与，，分别切于点，，，
、是的切线，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】设正方形的边长为，则，设，，则，，，利用勾股定理得出，再由，得出，从而求出，得到．
【解析】设与相切于，与相切于，与相切于，
设正方形的边长为，
，
设，，
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
故答案为：．
16．
【分析】连接、、，先分别说明、是、的平分线，在运用三角形内角和定理可得和的和，进而求得，然后再求，最后分弦所对的弧为优弧和劣弧两种情况解答即可．
【解析】如图，连接、、，
是的内切圆，
，，，，
、是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，，
，
当弦所对的弧为优弧时，
弧长为，
当弦所对的弧为劣弧时，
弧长为．
故答案为或．
17．
【分析】设半径为，与相切于点，连接交于点，则，由勾股定理求出的半径，再作的平分线交于点，作于点，得到内切圆的圆心和半径由相似三角形的性质求出内切圆的半径，再根据的弧长与的周长相等列方程求出的度数．
【解析】如图，设半径为，与相切于点，连接交于点，则，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
作的平分线交于点，作于点，
，
，
，，
平分，
点为的内心，且和都是内切圆的半径，
如图，以点为圆心，以为半径作圆，则就是的内切圆，
，
，
，
，
，
设的度数为，
的内切圆与扇形恰好是一个圆锥的底面和侧面，
的弧长与的周长相等，
，
，
故答案为：96．
18．
【分析】由矩形性质和勾股定理可得，设内切圆半径为，由面积法可得，连接，易证为的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最大，作与点，与点，则，，由勾股定理可得，则，从而可得的结果．
【解析】四边形为矩形，
，，
，
设的内切圆半径为，
则有，
即，解得：．
连接，
为中点，为中点，
为的中位线，
，
当经过圆心时，最长，则此时最大，
作与点，与点，
则，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求．
20．（1）如图，点即为所求．
，，
．
点是的内心，
．
是的外接圆，
，
又，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（2），，
为的直径，，
，
是的外接圆，
垂直平分，
平分，
是内心，
平分，
点在线段上，即，
，
，
，
，
．
21．证明：如图，连接，
点是的内心，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
22．（1）为等腰直角三角形，
证明如下：如图，
点是的内心，
平分，平分，
，，
而，
，
而，
，即，
，
为直径，
，
为等腰直角三角形；
（2）连接，如图，
为等腰直角三角形，
，
的切线交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在中，，
．
23．（1）证明：连接，如图1所示：
点是的内心，
平分，
，，
，，，
，
；
（2）解：过点作于，如图2所示：
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
24．（1）证明：连接交于，如图，
点是的内心
平分，
即，
，
，，
，
，
是的切线；
（2）证明：连接，
点是的内心，
，
，
，
即，
，
，
，
；
（3）解：连接，，如图，
由（1）得，，
，
，
，，
，
在中，，
，解得：，
在中，
，解得：．