九年级数学下册试题 27.6正多边形与圆-沪教版（含解析）

27.6正多边形与圆
一、选择题．
1．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是　　
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
2．一个的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，那么下列说法正确的是　　
A． B． C． D．不能比较
3．如果正十边形的边长为，那么它的半径是　　
A． B． C． D．
4．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为　　
A． B． C． D．
5．如果一个正多边形的外角是锐角，且它的余弦值是，那么它是　　
A．等边三角形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
6．正六边形的半径与边心距之比为　　
A． B． C． D．
7．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是　　
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
8．如图，正六边形中，记，，则是　　
A． B． C． D．
9．如图，已知正五边形中，点是的中点，是线段上的动点，连接，，当的值最小时，的度数为　　
A． B． C． D．
10．如图，是正方形的内切圆，切点分别为，，，，与相交于点，则的值是　　
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果正六边形的边长是1，那么它的边心距是　　．
12．正八边形的中心角等于　 　度．
13．如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为　　．
14．已知在正六边形中，，那么正六边形的面积等于　　．
15．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 　　．
16．如图，的半径为6，如果弦是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，那么弦的长为　　．
17．一个正多边形的对称轴共有10条，且该正多边形的半径等于4，那么该正多边形的边长等于　　．
18．如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为　　厘米．
三、解答题
19．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后第七位，这一结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆内接正六边形的面积，如图，已知的半径等于1，请你计算该圆内接正六边形的面积．
20．如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．
（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．
21．如图，在正六边形中，以为对角线作正方形，、与分别交于、．
（1）　　；
（2）若，求的长．（参考数据：，结果精确到0.1，可以直接利用（1）的结论）
22．已知，正方形内接于，点是弧上一点．
（1）如图1，若点是弧的中点，求证：；
（2）如图2，若图中，求的值．
23．如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交延长线于点．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接，则和有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长的值．
24．请阅读下面的材料，并完成相应的任务、
仅用圆规三等分、六等分圆是容易的，而四等分、五等分则有一定难度，历史上卡尔弗雷德里希高斯首次解决了将圆十七等分的难题．拿破仑波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题：只用圆规，不用直尺，如何把一个圆周四等分？这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还写了名为《圆规几何》的书献给拿破仑，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部分证明如下：
如图1，第一步：在上任取一点，以点为一个分点，将六等分，其他分点依次为，，，，；
第二步：分别以，两点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点；
第三步：以点为圆心，为半径作弧，与交于，两点．
则点，，，是的四等分点．
证明：如图2，连接，，，，，，，，．
点，，，，，是的六等分点，
．
．
任务：
（1）完成证明；
（2）若的半径为2，则的长为 　　，的长为 　　．
答案
一、选择题
1．
【分析】利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．
【解析】、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故选项不符合题意；
、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项符合题意；
、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故选项不符合题意误；
、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故选项不符合题意误．
故选：．
2．
【分析】根据题意设半径长为，则正方形边长为，分别表示圆和正方形的面积，进而进行比较即可．
【解析】因为一个的半径长是正方形边长的一半，
设半径长为，则正方形边长为，
所以，．
因为．
所以．
故选：．
3．
【分析】设是圆内接正十边形的边长，连接、，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解析】设是圆内接正十边形的边长，
连接、，过作于，
则，
，，
，
故选：．
4．
【分析】根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可求得边数，然后代入内角和公式求解即可．
【解析】这个多边形的边数是，
所以内角和为
故选：．
5．
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【解析】一个外角为锐角，且其余弦值为，
这个一个外角，
．
故它是正十二边形．
故选：．
6．
【分析】求出正六边形的边心距（用表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．
【解析】正六边形的半径为，
边心距，
，
故选：．
7．
【分析】设是正多边形的一边，，在直角中，利用三角函数求得的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
【解析】设是正多边形的一边，，
因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，
所以，
即，
在直角中，，
，
，
则正多边形边数是：．
故选：．
8．
【分析】如图，延长交的延长线于．可知是等边三角形，推出，可得结论．
【解析】如图，延长交的延长线于．
则，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
9．
【分析】如图，连接，，设交于点，连接．证明当点与重合时，的值最小，求出可得结论．
【解析】如图，连接，，设交于点，连接．
正五边形中，点是的中点，
，
，关于对称，
，
，
当点与重合时，的值最小，
是正五边形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
10．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【解析】连接，
是切点，
过，
是正方形的内切圆，
，，
根据圆周角的性质可得：．
．
故选：．
二、填空题
11．如果正六边形的边长是1，那么它的边心距是　　．
【分析】根据正六边形的中心角为以及正六边形边心距的性质解直角三角形可得结论．
【解析】为正六边形，
，．
．
在中，．
，
．
故答案为：．
12．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解析】正八边形的中心角等于；
故答案为45．
13．
【分析】画出图形，构造直角三角形可以求解．
【解析】如图：
正三角形，半径，延长交于，
，为正三角形中心，
，，，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】连接、，由正六边形的特点求出判断出的形状，作于，由特殊角的三角函数值求出的长，利用三角形的面积公式即可求出的面积，进而可得出正六边形的面积．
【解析】连接、，如图所示：
六边形是正六边形，
，
，
，
是等边三角形，
作于，则，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】利用得到，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到，接着证明可得结论．
【解析】如图，，
，
，
，
即，
，
中间正六边形的面积，
故答案为：．
16．
【分析】连接、、，作于点，根据是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边得到，，从而得到，然后求得的长即可．
【解析】连接、、，作于点，
是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】根据轴对称图形的性质得到这个正多边形是正十边形，求出正十边形的中心角，作平分交于，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】正多边形的对称轴共有10条，
这个正多边形是正十边形，
设这个正十边形的中心为，则，
，
，
，
作平分交于，
则，，
，，
，即，
解得，，（舍去），
，
故答案为：．
18．
【分析】根据题意画出图形，先求出的度数，再根据三角函数求出的长即可．
【解析】如图所示，
图中是正六边形，
．
，
是等边三角形．
，，
；
故答案为：2．
三、解答题
19．连接、，作于点，如图
正六边形中心角，
为正三角形，
，
在中，，
，
，
，
．
20．（1）连接，，
正方形内接于，
．
；
（2）连接，，
正方形内接于，
，
点为的中点，
，
，
．
21．（1）在正六边形中，，
在正方形中，，
，
故答案为：15．
（2）连接交于点，连接交于．
在正六边形中，，，
、平分、，，
，
是等边三角形，
，，
，
在正方形中，，，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
22．（1）证明：如图1，连接，
四边形是正方形，
，，
，，
，
点是弧的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
23．（1）由题意，，
的长，
比直径长．
（2）结论：．
理由：连接，，．
是的直径，
，
．
（3）是的切线，
，
，
，，
．
24．（1）证明：如图2，连接，，，，，，，，．
点，，，，，是的六等分点，
．
．
是直径，
，
，
，
设的半径为．
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
是直角三角形且，
，
点，，，是的四等分点．
（2）解：在中，，，
，
，，
的长．
故答案为：，．