九年级数学下册试题 第27章《圆与正多边形》复习题-沪教版（含解析）

第27章《圆与正多边形》复习题
一、填空题
1．门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ=12cm，则
（1）sin∠CAB=_____；
（2）该圆的半径为_____cm．
二、解答题
2．如图，在O中，半径长为1，弦，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的交BC延长线于点E．
（1）若，求与公共弦的长；
（2）当为等腰三角形时，求BC的长；
（3）设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
3．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．
4．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．
（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；
（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．
5．如图，已知扇形的半径，，点、分别在半径、上（点不与点重合），联结．点是弧上一点，．
（1）当，以为半径的圆与圆相切时，求的长；
（2）当点与点重合，点为弧的中点时，求的度数；
（3）如果，且四边形是梯形，求的值．
6．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8,点P是对角线BD上一动点,PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得N点落在射线PD上，点O是边CD上一点， 且OD：BP=3:4.
（1）联结DQ，当DQ平分∠BDC时，求PQ的长；
（2）证明：点O始终在QM所在直线的左侧；
（3）若以O为圆心，半径长为0.8作⊙O,当QM与⊙O相切时，求BP的长．
7．已知：半圆O的直径AB＝6，点C在半圆O上，且tan∠ABC＝2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）
（1）求BC的长；
（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；
（3）联结OD，当ODBC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．
8．已知：在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°（0＜m≤180），点C是上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D．
（1）如图1，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小（用含m的代数式表示）；
（2）如图2，当m＝90点C是的中点时，联结AB，求的值；
（3）将沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长．
9．如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．
（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；
（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．
10．如果，已知半圆的直径，点在线段上，半圆与半圆相切于点，点在半圆上，，的延长线与半圆相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）设半圆的半径为，线段的长为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点在半圆上时，求半圆的半径．
11．已知，如图，中，，，，，连接，．
（1）如图1，当点D恰好在AC上时，则_______；
（2）如图2，如果绕点A顺时针旋转一周，在旋转的过程中（1）的结论是否仍然成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若，在旋转的过程中，请直接写出CE的最大值和最小值．
12．如图，已知在四边形中，，，以为直径的交边于、两点，，，设的半径长为．
（1）联结，当时，求的半径长；
（2）过点作，垂足为点，设，试用的代数式表示；
（3）设点为的中点，联结、，是否能成为等腰三角形？如果能，试求出的值；如不能，试说明理由．
13．如图，在中，,点是边延长线上的一点，，垂足为的延长线交的平行线于点，联结交于点．
（1）当点是中点时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当与相似时，求线段的长．
14．如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．
（1）当点F与点B重合时，求CP的长；
（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．
（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；
（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；
（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．
16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4．D是边AB的中点，点E为边AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点E作EF∥AB，交边BC于点F．联结DE、DF，设CE=x．
（1）当x =1时，求△DEF的面积；
（2）如果点D关于EF的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC上时，求x的值；
（3）以点A为圆心，AE长为半径的圆与以点F为圆心，EF长为半径的圆相交，另一个交点H恰好落在线段DE上，求x的值．
17．在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB＝．
（1）求弦CD的长；
（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；
（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求线段AF的长．
18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE
（1）如图（1），当AE∥BC时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
19．已知：如图，在半径为2的扇形中，°，点C在半径OB上，AC的垂直平分线交OA于点D，交弧AB于点E，联结．
（1）若C是半径OB中点，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中点，求证：；
（3）联结CE，当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，求CD的长．
20．如图，已知在梯形ABCD中，，P是线段BC上一点，以P为圆心，PA为半径的与射线AD的另一个交点为Q，射线PQ与射线CD相交于点E，设.
（1）求证：；
（2）如果点Q在线段AD上（与点A、D不重合），设的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果与相似，求BP的长.
21.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cosC＝（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．
（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；
（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．
22.如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（2）联结，当时，求x的值；
（3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积．
23.定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，．
已知：如图2，是⊙的一条弦，点在⊙上（与、不重合），联结交射线于点，联结，⊙的半径为，．
（1）求弦的长．
（2）当点在线段上时，若与相似，求的正切值．
（3）当时，求点与点之间的距离（直接写出答案）．
24.已知是的一条弦，点在上，联结并延长，交弦于点，且．
（1）如图1，如果平分，求证：；
（2）如图2，如果，求的值；
（3）延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于，求弦的长．
25.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
26.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5，，点O是边BC上的动点，以OB为半径的与射线BA和边BC分别交于点E和点M，联结AM，作∠CMN=∠BAM，射线MN与边AD、射线CD分别交于点F、N．
（1）当点E为边AB的中点时，求DF的长；
（2）分别联结AN、MD，当AN//MD时，求MN的长；
（3）将绕着点M旋转180°得到，如果以点N为圆心的与都内切，求的半径长．
答案
一、填空题
1．
【分析】（1）连接OB，易证OB⊥AC，∠ACB=∠CAB=30°，利用锐角三角函数的定义可求解；
（2）连接OP，根据圆的切线的性质可得OP⊥AQ，设该圆的半径为r，可求sin∠PAO=，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，可求sin∠PAO=，计算求解QG的长，进而可得QH=12﹣2r，DH=，通过解直角三角形即可求解．
【详解】（1）连接OB，OP，
∵AB=BC，O为AC的中点，
∴OB⊥AC，
∵∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴sin∠CAB=sin30°=．
故答案为：；
（2）∵AQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AQ，
设该圆的半径为r，
∴OB=OP=r，
∵∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=BC=CD=2r，AO=r，
∴AC=r，
∴sin∠PAO=，
过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，
∴HG=CD，DH=CG，∠HDC=90°，
∴sin∠PAO=，∠QDH=120°﹣90°=30°，
∴QG=12，
∴AG=，
∴QH=12﹣2r，DH=GC=AC-AG=，
∴tan∠QDH=tan30°=，
解得r=，
∴该圆的半径为（）cm．
故答案为：．
二、解答题
2．解：（1）如图1中，设CM是两圆的公共弦，CM交BD于N，交OA于K，BD交于G，连接OC、CG交OA于H，
∵BG是直径，
∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴．
（2）如图2中，
当是等腰三角形时，观察图形可知，只有，
∴，
∵，∴，
设，则有，
∴，∴或（舍弃），∴，
∵，∴，∴；
（3）如图3中，作于N，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
3．
解：（1）如上图作AH⊥BC于H，
在中，∵AB＝10，＝，
∴AH＝8，BH＝6，
∵BC＝21，
∴CH＝15，
在中，AC＝＝＝17．
∴AC＝17
（2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，
则有，解得
∴＝3，＝7，＝14．
4．解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF=(AD+BC)=(1+5)=3，
即⊙O的半径长为3；
(2)连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：
∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，
∴四边形ABMD为矩形，
则BM=AD=1，
∴CM=BC﹣BM=4，
∴DC=，
∵四边形ABCD的面积=△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，
∴(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5，
整理得：y=；
(3)△ODG能成为等腰三角形，理由如下：
∵点G为DC的中点，OA=OB，
∴OG是梯形ABCD的中位线，
∴OG∥AD，OG=(AD+BC)=(1+5)=3，
DG=CD=，
由勾股定理得：OD=，
分三种情况：
①DG=DO时，则，无解；
②OD=OG时，如图2所示：
，
解得：；
③GD=GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：
∠GOD=∠GDO，
∵OG∥AD，
∴∠ADO=∠GOD，
∴∠ADO=∠GDO，
∴DO是∠ADG的平分线，
由题意知：OA⊥AD，
又OH⊥CD，
∴OA=OH，
则此时圆O和CD相切，不合题意；
综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r=．
5．解：（1）如图1中，
∵∠COD＝90°，cot∠ODC＝，
∴设OD＝3k，OC＝4k，则CD＝5k，
∵以CD为半径的圆D与圆O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4，
∴k＝，
∴CD＝；
（2）如图2中，连接OP，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，
∴∠CBO＝67.5° 45°＝22.5°，
∴∠OCD＝90° 22.5°＝67.5°；
（3）如图3 1中，当OC∥PD时，过点C作CE⊥PD，连接OP，
∵OC∥PD，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
设PC＝PD＝x，EC＝OD＝y，
则有x2＋y2＝16，x2＝y2＋(x 2)2，可得x＝2 2，（不合题意的已经舍弃），
∴PD＝2 2，
∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝，
如图3 2中，当PC∥OD时，过点D作DE⊥CP，连接OP，
∵PC∥OD，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
∵OP＝4，OC＝2，
∴PC＝=，
∴PD＝PC＝，
∴PE＝=，
∴EC＝OD＝-，
∴，
综上所述，的值为：或．
6．解：（1）矩形ABCD中，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，
∴BD=，
∴以PQ为一边作正方形PQMN，
∴PQ⊥BD，
当DQ平分∠BDC时，∠DCQ=∠DPQ=90°，
∴CQ=PQ，
在Rt△DCQ和Rt△DPQ中，
，
∴Rt△DCQ≌Rt△DPQ（HL），
∴DC=DP=6,
∴BP=DB-DP=10-6=4，
设PQ=x,CQ=x，BQ=8-x，
在Rt△BPQ中，
由勾股定理得BQ2=PQ2+PB2，即，
解得x=3;
（2）证明：延长QM交DC于E，过E作EF⊥DB于F，
设PB=m,
∵OD：BP=3:4，
∴，
∴tan∠QBP=tan∠CBD=，
∴，
∵QE∥DB，EF⊥BD，PQ⊥BD，
∴QE∥DB，EF∥PQ，
∴四边形EFPG为平行四边形，
∵∠QPD=90°，
∴四边形EFPQ是矩形，
由sin∠EDF=sin∠BDC=，
∴，
∵，
∴，
∴点O始终在QM所在直线的左侧；
（3）解：过O作HG⊥BD于G，交QM延长线于H，
在Rt△DOG中，
∵OG=ODsin∠ODG=ODsin∠CDB=，
∵OD：BP=3:4，
∴，
∴OG=，
∵QH∥DB，HG⊥BD，PQ⊥BD，
∴QH∥DB，HG∥PQ，
∴四边形EFPG为平行四边形，
∵∠QPD=90°，
∴四边形HGPQ是矩形，
∴HG=PQ，
∵QH为切线，
∴OH=0.8，
∴GH=GO+OH==PQ=，
∴ =，
解得．
7．解；（1）如图1中，连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝2，
∴可以假设AC＝2k，BC＝k，
∵AB＝6，AB2＝AC2+BC2，
∴36＝8k2+k2，
∴k2＝4，
∵k＞0，
∴k＝2，BC＝2．
（2）如图2中，
∵△MBC与△MOC相似，
∴∠MBC＝∠MCO，
∵∠MBC+∠OBC＝180°，∠MCO+∠OCD＝180°，
∴∠OBC＝∠OCD，
∵OB＝OC＝OD，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠OCD＝∠ODC，
在△OBC和△OCD中，
，
∴△OBC≌△OCD，
∴BC＝CD＝2．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．
∵BC∥OD，
∴∠DOG＝∠OGB＝∠GOB，
∴BO＝BG＝3，
∵tan∠HBG＝，设GH＝2a，HB＝a，
∵BG2＝GH2+HB2，
∴8a2+a2＝9，
∴a2＝1，
∵a＞0，
∴a＝1，HB＝1，GH＝2，OH＝2，OG＝＝2，
∵GC∥DO，
∴，
∴ON＝．
8．解：（1）C在AB弧线上，
∴∠OBC为锐角，
∴∠CBD为钝角，
则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况，
∴∠D＝∠BCD，
连接OC则OA＝OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCD＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠D＋∠BCD＝2∠D，
在△OCD中，∠COD＋2∠D＋2∠D＝180°，
∴∠AOC＝m°﹣∠COD＝m°＋4∠D﹣180°，
∴∠AOC＝×（180°﹣∠AOC）
＝180°﹣﹣2∠D，
在△AOD中，m°＋∠OAC＋∠D＝180°，
∴180°＋﹣∠D＝180°，
∴∠D＝；
（2）过D作DM⊥AB延长线于M，连接OC，
∵C为 中点，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC且AO＝CO＝BO，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO＋∠BCO＝×（360°﹣90°）＝135°，
∴∠BCD＝45°，
∴45°＋∠ODA＝∠ABC＋∠ABD＝45°＋∠ABC，
∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，
∴BD＝AB＝2（勾股定理），
∴BM＝DM＝2（∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM），
∴AM＝AB＋BM＝2＋2，
∴AN＝AB＝，
又∵CN⊥AB，DM⊥AB，
∴△ANC∽△AMD，
∴，
∴＝＝6＋4；
（3）图2如下：
∵E为弧线AEC与OB切点，
∴A、E、C在半径为2的另一个圆上，
∵O′E＝2，OE＝1，
∴OO′＝（勾股定理），
又∵OA＝OC＝2，O′A＝O′C＝2，
∴四边形AOCO′是菱形，
∴AC⊥OO′且AC、OO′互相平分，
且∠O′OE共角，
∴△O′OE∽△DOP，
∴＝且OP＝OO′＝，
∴OP＝，
∴AP＝＝（Rt△APO′的勾股定理）
∴AD＝AP＋PD＝．
9．解：（1）如图，延长FE交BC的延长线于点M，
设正方形ABCD的边长为k，
则AB＝BC＝CD＝AD＝k，
∵E为CD中点，∴DE＝CE＝ k，
∵正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BDC＝∠ADC，∴∠BDC＝45°，
∵EF⊥BD，∴∠DEF＝45°，∴∠DFE＝45°，∴DF＝DE＝k，
∵正方形ABCD中，AD∥BC，∴ ，∴ ，
∵AD∥BC，∴ ；
（2）如图，延长FE交BC的延长线于M，
设DF＝a，则CM＝a，
∵， ，∴BM＝5a，BC＝4a，∴AF＝x＝3a，∴a＝ ，∴DF＝，
∵AB＝y，∴DE＝ ，
∵∠ADC＝90°，EF⊥BD，∴∠ADB＝∠DEF，
∴tan∠ADB＝tan∠DEF，∴ ∴ ∴
∵x＞0，y＞0，∴y与x的函数关系式为，
函数定义域为：x＞0；
（3）设⊙F的半径为rcm，则根据题意得：
⊙B的半径为1cm，
AF＝ cm，BF＝cm，
∵矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴AF2+AB2＝BF2，
∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2，
∴r＝6，
即⊙F的半径为6cm，
∴AF＝3cm，
∵tan∠ADB＝tan∠DEF，
∴
∴AD2﹣3AD﹣8＝0，
∴ 或（舍去），
∴
10．（1）如图所示，连接，
∵，∴；∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
又∵，∴
（2）由勾定理，可得：
，
，
∴，
由，可得，
代入数据得：，
解得：
∵点在线段上，∴，
∴解析式为：（）；
（3）如图，联结，作于点．
∵CO⊥AB，OA=OB，∴CA=CB，∠DAB=∠CBA，
∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAB，
∴，∴，
由在圆上，∴，
∵∠ACE+∠DCE=180°，∴，∴，
∴，，
∵∠CPO=∠EOC，∠COP=∠EGO=90°，∴，∴，
又，∴，
代入数据，可得，
化简可得，
解得或（大于2舍去），
检验：经检验是原分式方程的解，
∴半圆的半径为．
11．（1）如图1，
∵AB=BC，，，
∴AD=BD=DC=DE=，
∴EC=，
=；
（2）连接AE
∵AD=DE，∠ADE=90°
∴∠DAE=45°
∴
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠BAC=45°
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAB=∠EAC，
∴
∴，∠DAB=∠EAC
∴
∴
∴
（3）如图，点E在以A为圆心，以AE为半径的圆上运动，∵AC=4，∴AD=DE=2，根据勾股定理，得AE==，根据圆的性质，当点E与经过直径CA远端点M重合时，CE最大，此时为AE+AC=4+；当点E与经过直径CA近端点N重合时，CE最小，此时为AC-AN=4-；
12．解：（1）∵，，
∴为梯形的中位线，
∴，即的半径长为3；
（2）连接、，过点作于，如图1所示：
∵，，且，
∴四边形为矩形，
则，
∴，
∴，
∵四边形的面积的面积的面积的面积，
∴，
整理得：；
（3）能成为等腰三角形，理由如下：
∵点为的中点，，
∴是梯形的中位线，
∴，，
，
由勾股定理得：，
分三种情况：
①时，则，无解；
②时，如图2所示：
，解得：；
③时，作于，如图3所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
由题意知：，
又，
∴，
则此时圆和相切，不合题意；
综上所述，能成为等腰三角形，．
13．
过点E作EH⊥CD于H如图
则有∠EHA=∠EHD=90 ，
∵∠BCD=90 ，BE=DE，
∴CE=DE，CH=DH，
∴EH=BC=，
设AH=x，则DH=CH=x+1,
∵AE ⊥BD ,
∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90 ,
∵∠AEH +∠EAH=90 ,
∴∠EAH=∠DEH ,
∴△AHE∽△EHD，
∴EH2=AH DH，
∴，
，
负根舍
∴tan∠EAH=，
∵BF∥CD，
∴∠AFB=∠EAH，
∴tan∠EAH=，
（2）取AB中点O，连接OC、OE，如图，
∵∠BCA=∠BEA=90 ，
∴OC=OA=OB=OE，
∴点A、C、B、E四点共圆，
∴∠BCA=∠BAF，
∴∠CBE+∠CAE=180 ，
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE=180 ，
∴∠CBE=∠FAB，
∴△BCE∽△FAB，
，
∴CE FA=BC AB，
∵∠BCA=90 ，BC=7，AC=1，
∴AB=5，
∴CE AF=7×5=35，
由CE=x，AF=y，xy=35，
∴y=，
(3)过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图
∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90 ，
∴四边形EMCH为矩形，
∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，
∴△BCE与△BGE相似，
∴∠ECG=∠EBG，
∵点A、C、B、E四点共圆，
∴∠ECA=∠EBG，
∴∠ECB=∠ECA，
∴EM=EH，
∴四边形EMCH为正方形，
∴CM=CH，
∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45 ，
∴∠EBA=∠EAB=45 ，
∴EB=EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM=AH，
设AH=a，则MB=a，CM=7-a，CH=1+a，
∴7-a=1+a，
∴a=3，
∴CH=4，
在Rt△CHE中，
cos∠ECH=，
∴CE=，
由（2）得CE FA=35，
AF=．
14．（1）连接EO，交弦CD于点H，
∵E为弧CD的中点，
∴EO⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OH⊥CD，
∴CH＝，
连接CO，
∵AB＝10，CD＝8，
∴CO＝5，CH＝4，
∴，
∴EH＝EO﹣OH＝2，
∵点F与点B重合，
∴∠OBE＝∠HGE＝45°，
∵PE⊥BE，
∴∠HPE＝∠HGE＝45°，
∴PE＝GE，
∴PH＝HG＝2，
∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；
（2）如图2，连接OE，交CD于H，
∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠PEH＝∠OFE，
∵∠PHE＝∠EOF＝90°，
∴△PEH∽△EFO，
∴，
∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5，
∴，
∴．
（3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，
∵GP＝GF，
∴∠GPF＝∠GFP，
∵CD∥AB，
∴∠GPF＝∠PFQ，
∵PE⊥EF，
∴PQ＝PE，
由（2）可知，△PEH∽△EFO，
∴，
∵PQ＝OH＝3，
∴PE＝3，
∵EH＝2，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．解：（1）如图，
过点D作DH⊥AC，垂足为H．
在Rt△AEH中，，
．
在⊙A中，AE＝AD＝x，
∴ ，
∴；
（2）∵，
∴可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，
则AC＝＝3k．
∵AC＝15，
∴3k＝15，
∴k＝5．
∴BC＝20，AB＝25．
∵点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，
∴∠FAC＝∠BAC．
∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，
∴△FCA≌△BCA（ASA），
∴FC＝BC＝20．
∵，
又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，
∴tan∠FEC＝2．
∴．
∴AE＝AC﹣EC＝15﹣10＝5．
过点A作AM⊥DE，垂足为M，
则．
∵，
∴ ．
在Rt△EFC中，．
∴在Rt△AFM中，．
答：∠DFA的余切值为；
（3）当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°．
∵FC＝CE tan∠FEC＝2（15﹣x），
∴．
∴．
∵，
又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都为锐角，
∴．
∴．
∴AD＝x＝．
∴．
当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，
∠AFC＝∠AEF．
∵∠AFC、∠AEF都为锐角，
∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．
∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，
∴CF＝CE tan∠AEF＝2（x﹣15）．
∴．
∴AD＝x＝．
∴．
综上所述，△AFD为直角三角形时，DE的长为或．
16．解：（1）如图1，过点作，垂足为点.
在中，，，，，.
，，.
在中，，，，.
，. 又，.
.
（2）如图2，过点作，垂足为点，设与相交于点.
、关于对称，，.
. ，.
在中，，，，.
.
，，，.
在中，，，，，
.
（3）如图3，设与相交于点.
在中，，，，
，. .
，. ，，.
.
圆和圆相交，另一个交点H恰好在DE上，
. .
，，.
. .
解得（舍去），.
17．解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，
∵tan∠OAB＝，
∴设OH＝a，AH＝2a，
∵AO2＝OH2+AH2＝5，
∴a＝1，
∴OH＝1，AH＝2，
∵OH⊥AB，
∴AB＝2AH＝4，
∵弧AC＝弧BD
∴，
∴AB＝CD＝4；
（2）∵OA＝OB，
∴∠OAF＝∠OBA，
∴∠OAF＝∠ECF，
①当∠AFO＝90°时，
∵OA＝，tan∠OBA＝，
∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，
∴EF＝CF tan∠ECF＝CF tan∠OBA＝；
②当∠AOF＝90°时，
∵OA＝OB，
∴∠OAF＝∠OBA，
∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，
∵OA＝，
∴OF＝OA tan∠OAF＝，
∴AF＝，
∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，
∴△OFA∽△EFC，
∴，
∴EF＝，
即：EF＝或；
（3）如图，连接OE，
∵∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝EB，
∵OE＝OE，OB＝OC，
∴△OEC≌△OEB，
∴S△OEC＝S△OEB，
∵S△CEF＝4S△BOF，
∴S△CEO+S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），
∴，
∴，
∴FO＝，
∵△OFA∽△EFC，
∴，
∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝EF，
∴AF＝AB﹣BF＝4﹣EF，
∵△OAF∽△EFC，
∴，
∴，
∴EF＝3﹣，
∴AF＝4﹣EF＝2+．
18．（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），
∵OG⊥BD于G，
∴BG=DG．
∵DE⊥AB，
∴EF=DF，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠BDF．
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD．
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC．
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=DC，
∴BD=DC=BC=5，
∴BG=DG=BD=．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG==，
∴OG=BG=×=，
∴OB===，
∴⊙O的半径长为；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），
在Rt△BAC中，
tan∠ABC==，
设AC=3k，则AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
∴AH===，
∴BH==，
∴HC=BC﹣BH=10﹣=．
∵AB⊥DE，
∴根据垂径定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG==，
∴OG=BG，
∴OB===BG=x，
∴BG=x，
∴BD=2BG=x，
∴DH=BH﹣BD=﹣x，
∴y=AE=AD===
定义域（0＜x≤）；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），
∵AD=AC，AH⊥DC，
∴DH=CH=，
∴BD=BH﹣DH=﹣=．
在Rt△BFD中，
tan∠FBD==，
∴BF=DF，
∴BD== DF=，
∴DF=，
∴DE=2DF=；
②若点D在H的右边，
则点D与点C重合，
∴BD=BC=10，
∴DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12．
综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为或12．
19．（1）∵C是半径OB中点，∴OCOB=1．
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD．设OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；
（2）如图1，连接AE，CE．
∵DE是AC垂直平分线，∴AE=CE．
∵E是弧AB的中点，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．
连接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．
∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BO BC；
（3）△DCE是以CD为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：
①当CD=CE时．
∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四边形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，设菱形的边长为a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；
②当CD=DE时．
∵DE是AC垂直平分线，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．
连接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴点D和点O重合，此时，点C和点B重合，∴CD=2．
综上所述：当△DCE是以CD为腰的等腰三角形时，CD的长为2或．
20．（1）证明：四边形ABCD是等腰梯形，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：作于M，于N.则四边形是矩形.
在中，，
，
，
，
，
.
（3）解：，
，
，
相似时，与相似，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，当PB=5或8时，与△相似.
21.（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，
在Rt△CGM中，，
∴AD＝CM，
∵AD∥CM，
∴四边形AMCD是平行四边形．
（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．
∵ME＝MC，MT⊥EC，
∴CT＝ET，
∴cosC，
设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，
在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH=EC=k，
∴MH＝CM﹣CH＝k，
∴tan∠EMH＝，
∵∠FMB＝∠EMC，
∴tan∠FMB，
∴BM＝，
∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，（BC=6的求解过程见（3）小题）
∴CE＝6k＝．
（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．
∴AD＝BP＝3，
在Rt△CDP中，cosC，
∵CD＝5，
∴PC＝3，AB＝PD＝4，
∴BC＝3+3＝6，
设CM＝AM＝x，
在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，
解得x＝，
∴⊙M的半径为．
如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．
设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，
∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，
∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，
∴x＝，
综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．
22．解：(1)由勾股定理，，
∵点M为线段的中点，
∴PM⊥BE，
中，，解得，
点P与端点C不重合，所以，当直线恰好经过A点时，
BE=BD=，，，该函数的定义域为：．
（2）过点E作于点H，若，可知
设，则
由勾股定理，可得，解得
所以，解得（负根舍去）
所以
（3）①若，由垂径定理，可知E、F重合，不符合题意；
②时，此时E与D重合，，解得
所以
③时，过点E作，交延长线于点Q
由，可得，所以
代入数据，，解得
综上，的面积为6．
23.（1）解：如图3，作垂足为点，过圆心，
由垂径定理得：，
∵在中，设，
∴在中，可得：，由⊙的半径为可得：，
解得：，（舍去）∴，
∴．
(2)∵，
∴当与相似时可得：或者；
由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，
∴
∴当与相似时不存在情况．
∴当与相似时，，
∴，∴；
∵，得，∴；）
作垂足为，可得：，∴，
∴即，
∴，
，，
∴在中，．
（3）如图5，当点在线段上时，延长AO交⊙于M，
连接DM，AD，，
OE=1，AE=4，ME=6，
又=，
同（1）中的计算方法，AG=，，
，
，
又，
，，
，MD=，
；
如图6，当E在AO延长线上时，，连接DM，AD，
=，
OE=1，AE=6，ME=4，
同理可得，AG=，，
，，
同理，，
，，
，
当时，的长是或．
24.
（1）过点O作OP⊥AB，垂足为点P；OQ⊥BC，垂足为点Q，
∵BO平分∠ABC，
∴OP=OQ，
∵OP，OQ分别是弦AB、BC 的弦心距，
∴AB= BC；
（2）∵OA=OB，
∴∠A=∠OBD，
∵CD=CB，
∴∠CDB =∠CBD，
∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD，
∴∠AOD =∠CBO，
∵OC=OB，
∴∠C =∠CBO，
∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD，
∵AO⊥OB，
∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°，
∴∠AOD=30°，
过点D作DH⊥AO，垂足为点H，
∴∠AHD=∠DHO=90°，
∴tan∠AOD ==，
∵∠AHD=∠AOB=90°，
∴HD‖OB，
∴ ，
∵OA=OB，
∴HD=AH，
∵HD‖OB，
∴；
（3）∵∠C=∠CBO，
∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO，
∴OE≠OB；
若OB = EB =2时，
∵∠C=∠C，∠COE =∠AOD =∠CBO，
∴△COE△CBO，
∴，
∴，
∴-2BC -4=0，
∴BC = +1 (舍去)或BC =+1，
∴BC =+1；
若OE = EB时，
∵∠EOB =∠CBO，
∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，
∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，
∴∠OEB=90°，
∴cos∠CBO=，
∵OB=2，
∴EB = ，
∵OE过圆心，OE⊥BC，
∴BC =2EB =2．
25.解：(1)连接OA，如下图1所示：
∵AB=AC，
∴=，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
(2)如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．
则==，且BC=2BH，
∴==，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，
∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，
∴a2=，
∴BH=，
∴BC=2BH=．
故答案为：．
26.（1）如图，作于：
∵为中点，
∴
∴
∴
∴
设半径为，在中：
解得：
∵分别为中点
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
（2）如图：连接
∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴①
又∵
∴
∴②
由①②得;
∴
∴
故MN的长为5；
（3）作如图：
∵圆与圆外切且均与圆内切
设圆半径为，圆半径为
∴
∴在的中垂线上
∴垂直平分
∴
∵
∴点在圆上
∴
解得：
的半径长为