九年级数学下册试题 第二十七章 圆与正多边形（单元拔高卷）-沪教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 九年级数学下册试题 第二十七章 圆与正多边形（单元拔高卷）-沪教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 914.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-22 21:54:44 | ||
图片预览
内容文字预览
第二十七章 圆与正多边形（单元拔高卷）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
3．等腰三角形中，，以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2，则∠AED的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．36°
5．如图，AB切⊙O于点B，OA＝，∠A＝30°，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为
A． B． C． D．
6．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C．EO=EB D．EC=ED
9．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的弧和弦AB所围成的弓形面积等于（ ）
A．﹣4 B．2π﹣4 C．4π﹣4 D．π﹣4
10．如图，直线，与和分别相切于点和点，点和点分别是和上的动点，沿和平移，若的半径为，，则下列结论不正确的是（ ）
A．和的距离为 B．当与相切时，
C． D．当时，与相切
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．已知⊙O的半径为，圆心O到直线L的距离为，则直线L与⊙O的位置关系是___________．
12．过内的一点的最长的弦长为，最短的弦长为，则的长为______.
13．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为___________.
14．若两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两个圆的位置关系是______.
15．如图所示，，的直径分别为和，现将向平移，当______时，与外切.
16．如图所示，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），的半径为1，的半径为2，要使与静止的内切，那么由图示位置需向右平移______个单位长.
17．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有______（填序号）．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
21．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．
22．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
23．如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心. , C是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．
（1）求∠AQC的度数．
（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为： ，并说明理由．
（3）若，求∠AQB的度数．
25．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
答案
一、选择题。
1．A
【解析】由Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，即可得点C到AB的距离为4.8cm，又由⊙C的半径为5cm，即可判定以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，
即CD=4.8cm，
∵⊙C的半径为5cm＞4.8cm，
∴以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是：相交．
故选：A．
2．A
【解析】设圆的半径为，点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案
【详解】解：设圆的半径为，点到直线的距离为，
∵ ，，
∴ ，
∴ 直线与圆相交．
故选
3．A
【解析】根据等腰三角形的三线合一和勾股定理，求得圆心到直线的距离，再根据数量关系进行判断．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离
【详解】解：作于．
根据等腰三角形的三线合一，得；
再根据勾股定理得，
∵
∴ 以为半径的与所在直线的位置关系是相离．
故选：
4．C
【解析】连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH=CD=；然后根据已知条件“AE=6，BE=2”求得⊙O的直径，从而知⊙O的半径；最后利用勾股定理求得OH=1，再边角关系得到∠AED=45°．
【详解】解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．
∴DH=CH=CD（垂径定理）；
∵CD=2，
∴DH=．
又∵AE=6，BE=2，
∴AB=8，
∴OA=OD=4（⊙O的半径）；
∴OE=2；
∴在Rt△ODH中，OH===（勾股定理）；
在Rt△OEH中，sin∠OEH==，
∴∠OEH=45°，
即∠AED=45°．
故选C．
5．A
【分析】先根据切线的性质得∠ABO=90°，在Rt△ABO中，根据互余得到∠AOB=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系OB=OA=，由于BC∥OA，所以∠OBC=∠AOB=60°，则可判断△OBC为等边三角形，得到∠BOC=60°，然后根据弧长公式计算劣弧BC的弧长．
【详解】解：如图，
连结OB、OC，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，OB=OA=×2=，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的弧长==．
故选A．
6．A
【分析】连接OC，过O作OD⊥BC于D．根据已知条件得到∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，解直角三角形得到AB＝2AO＝4，BC＝2，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到OD=1．根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OC．过O作OD⊥BC于D．
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°．
∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2．
∵∠OBD=30°，OB=2，∴OD=1，∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S△OBC．
故选A．
7．B
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
【详解】解：∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故选B.
8．C
【解析】根据垂径定理解答即可.
【详解】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ ，，EC=DE，
选项A，B，D正确，不能判断EO=EB，选项C错误.
故选C．
9．B
【分析】直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案.
【详解】解：由题意得：扇形的圆心角为90°，半径为2，
图中的阴影部分面积为：﹣×2×=2π﹣4；
故选B．
10．B
【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
【详解】解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；
作NH⊥AM于H，如图1，
则MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=，
∴MN=；
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN=，
当MN在AB右侧时，AM=，
∴AM的长为或；
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．
故选B．
二、填空题。
11．相交
【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
故答案为：相交．
12．
【分析】圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵AB＝4cm，CD＝2cm，
∴由垂径定理：OC＝2cm，CM＝1cm，
∴由勾股定理得：OM＝=
故答案为．
13．
【分析】首先根据题意画出图形，设出圆的半径，分别求出圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长，即可得出答案.
【详解】
设圆的半径为r，
如图①，
过点O作于点C
则
如图②，
如图③，
为等边三角形
∴同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为
故答案为
14．内含
【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系判断即可.
【详解】解：因为，
根据圆心距与半径之间的数量关系可知，
两圆的位置关系是内含．
故填：内含．
15．1.25
【分析】当两圆外切时，圆心距等于两圆的半径和，已知两圆的直径，取直径和的平均数即可求解．
【详解】解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得：圆心距（1+1.5）÷2=1.25（cm）．
故答案为：1.25．
16．4或6
【分析】由⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，可得需AB=2-1=1，则可求得⊙A由图示位置需向右平移的单位长度．
【详解】解：∵⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，
∴要使⊙A与静止的⊙B内切，
需AB=2-1=1，
∴⊙A由图示位置需向右平移的单位长为4或6
故填：4或6.
17．cm
【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为cm
18．①②④
【分析】连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90 ，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.
【详解】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴，故②正确；
∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90 ，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90 ，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；
故答案为①②④.
三、解答题。
19．
（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
20．
（1）AB=AC．理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，∴AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2，
∴△OBD的面积=
扇形OBD的面积=，
阴影部分面积=．
21．
（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
即∠DAB+∠CAF＝90°．
∴∠CAF＝∠ABD．
∵BA＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB＝90°，
设CE＝x，
∵CE：EB＝1：4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，
在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
即（2）2＝x2+（3x）2，
∴x＝2．
∴CE＝2．
22．解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝．
∴∠BAC＝∠BCD．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．
在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，
根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2
解得r＝13．
∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）．
23．解：设这段弯路的半径为r m,
因为OC⊥AB于D, AB=100 （m）,
所以BD=DA=AB=50（m）.
因为CD=10（m）,
得（m）.
因为Rt△BOD中，根据勾股定理有
.
即.
解得r=130（m）.
因此这段弯路的半径为130 m.
24．解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，
∵∠QAB＝∠QCA，
∴∠QCA +∠QAC=45°，
∴∠AQC=180°-（∠QCA +∠QAC）=135°；
（2）如图：把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则是等腰直角三角形，
∴∠CQQ’=45°，QQ’=QC，
∵∠QCQ’=∠ACB=90°，
∴∠ACQ’=∠BCQ，
又∵AC=BC，CQ=CQ’，
∴，
∴AQ’=BQ，
∵∠AQC=135°，
∴∠AQQ’=135°-45°=90°，
∴AQ2+QQ’2=AQ’2，
∴AQ2+2QC2=BQ2；
（3）∵，
∴设CQ=3x，AQ=，则QQ’=3x，
∴tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，
∴∠AQ’C=30°+45°=75°，
∵，
∴∠BQC=∠AQ’C=75°，
∴∠AQB=360°-135°-75°=150°．
25．
（1）
如图，若AO交BC于K，
∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，
∴AK⊥BC，BK＝，
∴AK＝，
在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，
∴x2＝62+(8 x)2，
解得x＝，
∴OB＝；
故答案为：．
（2）
如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，
∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，
∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，
∵AB＝4，AD＝6，
∴EO＝4，OP＝OC＝，
∴EP＝OE+OP＝7，
∴E、P之间的最大距离为7．
（3）
作射线FE交BD于点M，
∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，
∴所在圆的圆心在射线FE上，
假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r 40，BE＝CE＝，
在Rt△OEC中，r2＝802+(r 40)2，
解得：r＝100，
∴OE＝OF EF＝60，
过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AD∥BC，∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
在Rt△BDG中，DG＝BG＝，
在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，
∴ME＞OE，
∴点O在△BDC内部，
∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，
∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，
∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，
过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG HG＝DG OE＝60，
∴,
∴DP＝OD+r＝，
∴修建这条小路最多要花费40×元．
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
3．等腰三角形中，，以为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
4．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2，则∠AED的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．36°
5．如图，AB切⊙O于点B，OA＝，∠A＝30°，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为
A． B． C． D．
6．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C．EO=EB D．EC=ED
9．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的弧和弦AB所围成的弓形面积等于（ ）
A．﹣4 B．2π﹣4 C．4π﹣4 D．π﹣4
10．如图，直线，与和分别相切于点和点，点和点分别是和上的动点，沿和平移，若的半径为，，则下列结论不正确的是（ ）
A．和的距离为 B．当与相切时，
C． D．当时，与相切
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．已知⊙O的半径为，圆心O到直线L的距离为，则直线L与⊙O的位置关系是___________．
12．过内的一点的最长的弦长为，最短的弦长为，则的长为______.
13．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为___________.
14．若两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两个圆的位置关系是______.
15．如图所示，，的直径分别为和，现将向平移，当______时，与外切.
16．如图所示，在的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），的半径为1，的半径为2，要使与静止的内切，那么由图示位置需向右平移______个单位长.
17．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .
18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：
①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．
其中正确的结论有______（填序号）．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
21．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．
22．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
23．如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心. , C是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，连接AC、BC，点Q是△ABC内一点，且有∠QAB＝∠QCA．
（1）求∠AQC的度数．
（2）线段QA、QC、QB三者之间的数量关系为： ，并说明理由．
（3）若，求∠AQB的度数．
25．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；
问题解决
（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
答案
一、选择题。
1．A
【解析】由Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，即可得点C到AB的距离为4.8cm，又由⊙C的半径为5cm，即可判定以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB上的高为4.8cm，
即CD=4.8cm，
∵⊙C的半径为5cm＞4.8cm，
∴以点C为圆心，5cm为半径的圆与直线AB的位置关系是：相交．
故选：A．
2．A
【解析】设圆的半径为，点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案
【详解】解：设圆的半径为，点到直线的距离为，
∵ ，，
∴ ，
∴ 直线与圆相交．
故选
3．A
【解析】根据等腰三角形的三线合一和勾股定理，求得圆心到直线的距离，再根据数量关系进行判断．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离
【详解】解：作于．
根据等腰三角形的三线合一，得；
再根据勾股定理得，
∵
∴ 以为半径的与所在直线的位置关系是相离．
故选：
4．C
【解析】连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH=CD=；然后根据已知条件“AE=6，BE=2”求得⊙O的直径，从而知⊙O的半径；最后利用勾股定理求得OH=1，再边角关系得到∠AED=45°．
【详解】解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．
∴DH=CH=CD（垂径定理）；
∵CD=2，
∴DH=．
又∵AE=6，BE=2，
∴AB=8，
∴OA=OD=4（⊙O的半径）；
∴OE=2；
∴在Rt△ODH中，OH===（勾股定理）；
在Rt△OEH中，sin∠OEH==，
∴∠OEH=45°，
即∠AED=45°．
故选C．
5．A
【分析】先根据切线的性质得∠ABO=90°，在Rt△ABO中，根据互余得到∠AOB=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系OB=OA=，由于BC∥OA，所以∠OBC=∠AOB=60°，则可判断△OBC为等边三角形，得到∠BOC=60°，然后根据弧长公式计算劣弧BC的弧长．
【详解】解：如图，
连结OB、OC，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，OB=OA=×2=，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的弧长==．
故选A．
6．A
【分析】连接OC，过O作OD⊥BC于D．根据已知条件得到∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，解直角三角形得到AB＝2AO＝4，BC＝2，由30°角所对直角边等于斜边的一半，得到OD=1．根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OC．过O作OD⊥BC于D．
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°．
∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2．
∵∠OBD=30°，OB=2，∴OD=1，∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S△OBC．
故选A．
7．B
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.
【详解】解：∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,
∴∠BOC+∠AOB=220°,
∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,
故选B.
8．C
【解析】根据垂径定理解答即可.
【详解】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ ，，EC=DE，
选项A，B，D正确，不能判断EO=EB，选项C错误.
故选C．
9．B
【分析】直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案.
【详解】解：由题意得：扇形的圆心角为90°，半径为2，
图中的阴影部分面积为：﹣×2×=2π﹣4；
故选B．
10．B
【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
【详解】解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；
作NH⊥AM于H，如图1，
则MN=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=，
∴MN=；
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN=，
当MN在AB右侧时，AM=，
∴AM的长为或；
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．
故选B．
二、填空题。
11．相交
【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm，
∴直线l与⊙O相交，
故答案为：相交．
12．
【分析】圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵AB＝4cm，CD＝2cm，
∴由垂径定理：OC＝2cm，CM＝1cm，
∴由勾股定理得：OM＝=
故答案为．
13．
【分析】首先根据题意画出图形，设出圆的半径，分别求出圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长，即可得出答案.
【详解】
设圆的半径为r，
如图①，
过点O作于点C
则
如图②，
如图③，
为等边三角形
∴同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为
故答案为
14．内含
【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系判断即可.
【详解】解：因为，
根据圆心距与半径之间的数量关系可知，
两圆的位置关系是内含．
故填：内含．
15．1.25
【分析】当两圆外切时，圆心距等于两圆的半径和，已知两圆的直径，取直径和的平均数即可求解．
【详解】解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得：圆心距（1+1.5）÷2=1.25（cm）．
故答案为：1.25．
16．4或6
【分析】由⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，可得需AB=2-1=1，则可求得⊙A由图示位置需向右平移的单位长度．
【详解】解：∵⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，
∴要使⊙A与静止的⊙B内切，
需AB=2-1=1，
∴⊙A由图示位置需向右平移的单位长为4或6
故填：4或6.
17．cm
【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为cm
18．①②④
【分析】连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90 ，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.
【详解】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，
又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，
∴BE∥AM，∴，故②正确；
∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，
∵∠ADM=90 ，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90 ，
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；
由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；
故答案为①②④.
三、解答题。
19．
（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
20．
（1）AB=AC．理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，∴AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2，
∴△OBD的面积=
扇形OBD的面积=，
阴影部分面积=．
21．
（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
即∠DAB+∠CAF＝90°．
∴∠CAF＝∠ABD．
∵BA＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB＝90°，
设CE＝x，
∵CE：EB＝1：4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，
在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
即（2）2＝x2+（3x）2，
∴x＝2．
∴CE＝2．
22．解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝．
∴∠BAC＝∠BCD．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．
在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，
根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2
解得r＝13．
∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）．
23．解：设这段弯路的半径为r m,
因为OC⊥AB于D, AB=100 （m）,
所以BD=DA=AB=50（m）.
因为CD=10（m）,
得（m）.
因为Rt△BOD中，根据勾股定理有
.
即.
解得r=130（m）.
因此这段弯路的半径为130 m.
24．解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，
∴是等腰直角三角形，
∴∠QAB+∠QAC=∠BAC=45°，
∵∠QAB＝∠QCA，
∴∠QCA +∠QAC=45°，
∴∠AQC=180°-（∠QCA +∠QAC）=135°；
（2）如图：把CQ绕点C顺时针旋转90°得到CQ’，连接QQ’，AQ’，则是等腰直角三角形，
∴∠CQQ’=45°，QQ’=QC，
∵∠QCQ’=∠ACB=90°，
∴∠ACQ’=∠BCQ，
又∵AC=BC，CQ=CQ’，
∴，
∴AQ’=BQ，
∵∠AQC=135°，
∴∠AQQ’=135°-45°=90°，
∴AQ2+QQ’2=AQ’2，
∴AQ2+2QC2=BQ2；
（3）∵，
∴设CQ=3x，AQ=，则QQ’=3x，
∴tan∠AQ’Q=，即：∠AQ’Q=30°，
∴∠AQ’C=30°+45°=75°，
∵，
∴∠BQC=∠AQ’C=75°，
∴∠AQB=360°-135°-75°=150°．
25．
（1）
如图，若AO交BC于K，
∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，
∴AK⊥BC，BK＝，
∴AK＝，
在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，
∴x2＝62+(8 x)2，
解得x＝，
∴OB＝；
故答案为：．
（2）
如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，
∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，
∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，
∵AB＝4，AD＝6，
∴EO＝4，OP＝OC＝，
∴EP＝OE+OP＝7，
∴E、P之间的最大距离为7．
（3）
作射线FE交BD于点M，
∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，
∴所在圆的圆心在射线FE上，
假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r 40，BE＝CE＝，
在Rt△OEC中，r2＝802+(r 40)2，
解得：r＝100，
∴OE＝OF EF＝60，
过点D作DG⊥BC，垂足为G，
∵AD∥BC，∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
在Rt△BDG中，DG＝BG＝，
在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，
∴ME＞OE，
∴点O在△BDC内部，
∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，
∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，
∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，
过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG HG＝DG OE＝60，
∴,
∴DP＝OD+r＝，
∴修建这条小路最多要花费40×元．