九年级数学下册试题 第二十七章 圆与正多边形（单元培优卷）-沪教版（含解析）

第二十七章 圆与正多边形（单元培优卷）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
2．一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
3．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P与圆心O重合
4．已知⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三个点，OA＝7，OB＝6，OC＝5，则（ ）
A．点A在⊙O内 B．点B在⊙O上 C．点C在⊙O外 D．点C在⊙O上
5．如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
6．在中，，，，，将绕点顺时针旋转至的位置（如图），且使点、、在同一条直线上，则点经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段OP的长为（　　）
A．6 B．4 C．4 D．8
8．如图，中，，，，⊙是的外接圆，D是优弧AmC上任意一点（不包括A，C），记四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（ ）
A．2π+2 B．3π C． D．+2
10．如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．已知的直径，是的弦，，垂足为M，且，则的长为_________．
12．已知⊙O的半径R＝10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，直线l上有一点P，若PM＝6cm，则点P在⊙O___（填“内”、“外”或“上”）．
13．如图，在矩形ABCD中，，，点O为BC的中点，以点O为圆心，OC长为半径作半圆与BD相交于点E，则图中阴影部分的面积是__________．
14．如图，的内切圆与边切于点，与边相切，且与，的延长线相切（为在内的旁切圆），若，，，则________
15．如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接． 若，则的最小值为_________
16．如图，点A的坐标是（a，0）（a＜0），点B是以OA为直径的⊙M上一动点，点A关于点B的对称点为C．当点B在⊙M上运动时，所有这样的点C组成的图形与直线y=x-3有且只有一个公共点，则a的值等于______．
17．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE=4ED，BE的中垂线分别交BE，BC的延长线于点H，N．且BC=CN，⊙C为△BNH的外接圆，CFBE，交⊙C于点F，FM⊥AB于点M（FM＜BC），若FM=20，则tan∠AEB=________；矩形ABCD的周长为________．
18．如图，在正方形网格中，点A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是上任意一点，则∠P的正切值为______．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝7，AC＝24，求⊙O的直径．
20．如图，为外接圆⊙O的直径，且与⊙O相切于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求⊙O的半径．
21．如图1，在RtΔABC中，∠B＝90°，∠C＝40°，以AB为直径画⊙O交AC于点D， E是线段AB上的动点，延长DE交⊙O于F点，连接AF．
（1）如图1，求∠F的度数：
（2）如图2，当AE＝AD时，求∠DFO的度数．
22．如图，，分别切、于点、．切于点，交于点与不重合）．
（1）用直尺和圆规作出；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若半径为1，，求的长．
23．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BE⊥AC于点E，延长线交⊙O于点P．
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE＝PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时（包括点B、C），作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE＝PE；
②若BC＝3，求点H运动轨迹的长度．
24．如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点.
（1）求证：；
（2）若以点，，，为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由．
25．如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，若点是的内心，，求的长.
答案
一、选择题。
1．A
【分析】根据点与圆的位置关系即可得．
【详解】解：的半径为2，点到圆心的距离为，且，
点在圆内，
故选：A．
2．B
【分析】先画出示意图，然后连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b，则直角三角形的面积是，再根据正方形的判定与性质以及切线长定理可得，由此可得直角三角形的面积是，最后再结合内切圆的面积是即可求得答案．
【详解】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设直角三角形的两条直角边分别为，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∴
，
∵
∴四边形ODCE为正方形，
∴，
∴，，
∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，
∴
∵，
∴，
，
∴，
又，
．
故选：B．
3．A
【分析】根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，
而4＜5，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
4．C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵⊙O的直径为12，
∴⊙O的半径为6，
∵OA＝7，OB＝6，OC＝5，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，点C在⊙O内．
故选：B．
5．A
【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是×4×1-=2-π．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是×4×1-=2-π，
故选A．
6．D
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵旋转
∴∠C’B’A’=
∴∠ABA’=180°-30°=150°
∴点经过的路径长为=
故选D．
7．D
【分析】连接，通过直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接，
∴，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵，
∴OP=2OA=8，
故选D．
8．A
【分析】作辅助线，构建全等三角形和等边三角形，证明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根据30°角的性质表示DF和DG的长，计算四边形ABCD的周长即可．
【详解】解：连接OB交AC于E，连接OC、OB，
过B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延长线于G，交CD于F，
∵AB=BC，
∴弧AB=弧BC
∴∠BDA=∠BDC，
∴BG=BF，
在Rt△AGB和Rt△CFB中，
∵
∴Rt△AGB≌Rt△CFB（HL），
∴AG=FC，
∵弧AB=弧BC，
∴OB⊥AC，EC=AC=×2=，
在△AOB和△COB中，
，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC=×120°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=∠ADB=30°，
Rt△BDF中，BD=x，
∴DF=x，
同理得：DG=x，
∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=x+x=x，
Rt△BEC中，∠BCA=30°，
∴BE=1，BC=2，
∴AB=BC=2，
∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+x=x+4，
故选：A．
9．C
【详解】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，
点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，
故选：C．
10．D
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则、，
，
又，
，
，
故选：D．
二、填空题
11．或
【分析】连接，由，根据垂径定理得到，再根据勾股定理计算出，然后分类讨论：当如图1时，；当如图2时，，再利用勾股定理分别计算即可．
【详解】解：连接，
，
，
在中，，
，
当如图1时，，
在中，；
当如图2时，，
在中，．
故答案为：或．
12．上
【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：由勾股定理，得
d==10，
d=r=10cm，
∴点P在圆上，
故答案为：上．
13．
【分析】连接OE、EC，用△BCD的面积减去△BOE和扇形OEC的面积即可．
【详解】解：连接OE、EC，
∵BC是直径，
∴∠BEC=90°，
∵，，
∴，，∠EOC=60°，BD=2CD，
，
，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积是．
14．
【分析】连接，，，设与切与点，与切与点，与切于点，证明，，则四点共圆，证明，根据相似三角形性质可得结论．
【详解】解：连接，，，设与切与点，与切与点，
与切于点，
根据切线长定理可得，
∵，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
即，
同理可得，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，先根据正方形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后判断出点四点共圆，且所在圆的圆心为点，由此可得，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得．
【详解】解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，
为半圆弧的中点，
，
又，
四边形是正方形，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，，
由圆周角定理得：，
，即，
，
，
又，
点四点共圆，且所在圆的圆心为点，
，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：，即，当且仅当点共线时，等号成立，
则的最小值为，
故答案为：．
16．
【分析】连接BM，OC，设直线y=x-3交x轴于点E（ 4，0），交y轴于点F（0， 3），首先证明OC＝2BM＝ a，推出点P的运动轨迹是以O为圆心 a为半径的圆，当⊙O与直线相切时，点P组成的图形与直线有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．求出OG即可．
【详解】解：如图，连接BM，OC，设直线y=x-3交x轴于点E（ 4，0），交y轴于点F（0， 3），
∵AB＝BP，AM＝OM，A(a,0)
∴OC＝2BM＝ a，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心 a为半径的圆，当⊙O与直线y=x-3相切时，点P组成的图形与直线y=x-1有且只有一个公共点，设切点为G，连接OG．
在Rt△EOF中，∵OG⊥EF，EF＝＝5， OE OF＝ EF OG，
∴OG＝
∴a＝，
故答案为：．
17．2
【分析】过E作EG⊥BC，FK⊥BC，连接EN，设ED=k，则AE=4K，求出BC =5k，BN=10k，NG= =6k，根据NH是BE的垂直平分线，得到EN=BN=10k，利用勾股定理得到AB=EG=8k，根据tan∠AEB=即可求解；根据平行的性质得到∠FCG=∠AEB，再得到FK=2（5k-20），根据勾股定理得到CF2=CK2+FK2，得到关于k的方程求出k，即可求出ABCD的周长．
【详解】解：如图，过E作EG⊥BC，FK⊥BC，连接EN，
设ED=k，则AE=4K，
∴BC=AD=AE+ED=5k，BN=2BC=10k，
∴NG=NC+CG=5k+k=6k，
∵NH是BE的垂直平分线，
∴EN=BN=10k，
，
∴tan∠AEB=，
∵AEBC，∴∠AEB=∠CBE，
∵CFBE，∴∠GCF=∠CBE，
∴∠FCG=∠AEB，
∵CF=BC=5k，CK=BC-BK=BC-FM=5k-20，
∵tan∠FCG=tan∠AEB==2，
∴FK=2（5k-20），
∵CF2=CK2+FK2，
∴25k2=5（5k-20）2，
解得k=5＋，或5-（舍），
∴ABCD的周长=2（AD+AB）=26k=130+26，
故答案为：2；130+26．
18．
【分析】连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠AOD=∠APB，再利用正切的性质得到tan∠AOD=，从而得到tan∠P的值．
【详解】解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，如图，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD= ∠AOB，
∵∠APB= ∠AOB，
∴∠AOD=∠APB，
在Rt△AOD中，tan∠AOD= =，
∴tan∠P=．
故答案为：．
三、解答题。
19．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA=90°，
∴OF⊥AC，
∴，
即点D为的中点．
（2）连接OC，如图，
设⊙O的半径为R，
∵DF=7
∴OF=R-7
∵AC=24
∴CF=12
在Rt△OCF中，
∴
解得，
∴⊙O的直径=
20．解：证明：（1）连接OA交BC于点F，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AE，即∠OAB+∠BAE=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DAB=∠DAO+∠OAB=90°，
∴∠DAO=∠BAE，
∵OA=OD，
∴∠C=∠DAO，
∵由圆周角定理得：∠D=∠C，
∴∠D=∠DAO，
∴∠DAO=∠BAE，
∴∠BCA=∠BAE；
（2）解：∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，
∴FB=BC=×8=4，
∴在Rt△ABF中，AF==2，
∵在Rt△OFB中，OB2=BF2+OF2，
∴OB2=42+（0B-2）2，
∴OB=5，
∴⊙O的半径为5．
21．
（1）∵∠B＝90°，∠C＝40°
∴∠BAC=50°，
连接DO，
∵AO=DO
∴∠ADO=∠BAC=50°，
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠BAC=80°
∴∠F=∠AOD=40°；
（2）连接DO，同（1）先求出∠BAC=50°，∠AFD=40°
∵AE=AD
∴∠AED==65°，
∴∠FAO=∠AED-∠AFD=25°，
又AO=FO
∴∠AFO=∠FAO=25°，
∴∠DFO=∠AFD-∠AFO=15°．
22．解：（1）如图，直线即为所求．
（2）连接，．
是的内切圆，，，是切点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，设，
在中，，
，
，
．
23．解：（1）如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABC三边的垂直平分线的交点，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴OC=OP，
∴△OPC是等边三角形，
∵CE⊥OP，
∴OE=PE；
（2）①如图所示，连接PC，
同理可得∠BPC=∠BAC=60°，
∵CQ⊥AB，
∴∠AQC=90°，
∴∠ACQ=30°，
又∵AC⊥BE，
∴∠CEH=90°，
∴∠CHE=60°，
∴△CPH是等边三角形，
∴PE=HE；
②由①得∠CHP=60°，
∴∠BHC=120°，
∵BC=4，
∴H是在以BC为弦，圆周角∠BHC=120°的圆上运动，
如图所示，劣弧即为H的运动轨迹，过点作于G，
∴
∵∠BHC=120°
∴，
∴，
∴∠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．
（1）证明：如解图①，连接，∵为的直径，，∴为的切线，
又∵切于点，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∴，∴．
【一题多解】
如解图②，连接，∵是的直径，，∴是的切线，∵切于，∴，．∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．
（2）解：为等腰直角三角形．理由：∵四边形为正方形，∴，，又∵，，∴，∴为等腰直角三角形．
25．
(1)∵，∴，
又∵，，
∴，
∴；
(2)连接，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴为的切线；
(3)∵，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
连接，∴，
，
∵点为内心，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.