人教版八年级数学上册
13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题（学生版）
一．选择题
1．（2013?吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
A．100° B．80° C．60° D．40°
2．（2014秋?贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2014秋?岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2015?港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2015春?张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A．30 B．20 C．25 D．15
6．（2014?路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
7．（2013秋?沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2014春?赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（ ）
A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8
二．填空题
9．（2015?泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．
10．（2015?滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为 ．
11．（2015春?扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2= °．www.21-cn-jy.com
12．（2015秋?湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为 ．
13．（2014?武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为 ． 21*cnjy*com
三．解答题
14．（2014秋?上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．
（1）求BE的长；
（2）判断△BDE的形状，并说明理由．
15．（2014秋?维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．【出处：21教育名师】
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
16．（2013秋?宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，
（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．
17．（2014秋?北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．
（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；
（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．
人教版八年级数学上册
13.3.2.1 《等边三角形的性质》同步训练习题（教师版）
一．选择题
1．（2013?吉安模拟）如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
点评： 此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是三角形内角和定理，此题较简单，是一道基础题．
2．（2014秋?贵港期末）如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．21世纪教育网
分析： 过点E作EF⊥BC于F，先根据含30°的直角三角形的性质求出BF，再根据等腰三角形的三线合一性质求出DF，即可得出BD．
解答： 解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：
则∠BFE=90°，
∵△ABC是等边三角形，∠B=60°，
∴∠FEB=90°﹣60°=30°，
∵BE=AB+AE=8+4=12，
∴BF=BE=6，
∴CF=BC﹣BF=2，
∵ED=EC，EF⊥BC，
∴DF=CF=2，
∴BD=BF﹣DF=4；
故选：B．
点评： 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
3．（2014秋?岑溪市期中）在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
分析： 根据等边三角形三线合一可知AD就是∠BAC的平分线，从而求得∠BAC的平分线长．
解答： 解：∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC的平分线长为16．
故选C．
点评： 本题主要考查了等边三角形三线合一的性质．
4．（2015?港南区二模）如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB的长为（ ）
A． B． C． D．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．21世纪教育网
分析： 根据等边三角形性质，直角三角形性质求△BDE≌△AFD，得BE=AD，再求得BD的长．
解答： 解：∵∠DEB=90°
∴∠BDE=90°﹣60°=30°
∴∠ADF=180﹣30°﹣90°=90°
同理∠EFC=90°
又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF
∴△BED≌△ADF≌△CFE
∴AD=BE
设BE=x，则BD=2x，∴由勾股定理得BE=，
∴BD=．
故选C．
点评： 本题利用了：1、等边三角形的性质，2、勾股定理，3、全等三角形的判定和性质．
5．（2015春?张家港市期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A．30 B．20 C．25 D．15
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
分析： 由AD是等边三角形ABC的中线，根据三线合一与等边三角形的性质，即可求得∠ADC与∠DAC的度数，又由AE=AD，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADE的度数，继而求得∠EDC的度数．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠DAC=BAC=30°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED===75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故选D．
点评： 此题考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意三线合一与等边对等角的性质的应用，注意数形结合思想的应用．
6．（2014?路南区一模）已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（
）
A．60° B．45° C．40° D．30°
考点： 等边三角形的性质；平行公理及推论；平行线的性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： 过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案．
解答： 解：过C作CE∥直线m
∵l∥m，
∴l∥m∥CE，
∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，
∵等边△ABC，
∴∠ACB=60°，
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，
∴∠α=40°．
故选C．
点评： 本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．21·世纪*教育网
7．（2013秋?沈丘县校级期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．21世纪教育网
分析： 因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有，AD=CD，∠ADB=∠CDB=90°（①正确），且∠ABD=∠CBD=30°（②正确），∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，可得∠CDE=∠DEC=30°，所以就有，∠CBD=∠DEC，即DB=DE（③正确），∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°（④正确）；由此得出答案解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，
∴∠ADB=∠CDB=90°，BD平分∠ABC；
∴BD⊥AC；
∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，
又CD=CE，
∴∠CDE=∠DEC=30°，
∴∠CBD=∠DEC，
∴DB=DE．
∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°
所以这四项都是正确的．
故选：D．
点评： 此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．
8．（2014春?赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（ ）
A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
专题： 数形结合．
分析： 设A的边长为x，根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x，B的边长为2x，由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2，则2x﹣1=x+2，然后解方程求出x即可得到A和B的边长．21教育网
解答： 解：如图，
设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x，
∵阴影部分是边长为1的小正三角形，
∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，
∴D的边长为2x﹣1或x+2，
∴2x﹣1=x+2，
解得x=3，
∴A和B的边长分别3和6．
故选C．
点评： 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了观察图形的能力．2·1·c·n·j·y
二．填空题
9．（2015?泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= 30° °．
10．（2015?滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为 2 ．
考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
分析： 延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．
解答： 解：延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠ECF，
在△EBD和△EFC中，
，
∴△EBD≌△EFC（SAS），
∴∠B=∠F
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥EF，
∴=，
∵BA=BC，
∴AE=CF=2，
∴BD=AE=CF=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
11．（2015春?扬中市期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=1400 ．21·cn·jy·com
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
分析： 先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【版权所有：21教育】
解答： 解：∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，
∴∠1+∠2=140°．
故答案为：140
点评： 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
12．（2015秋?湖南校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为5，则OE+OF的值为 5 ．
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
分析： 利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°
又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，
∴OE=OB?sin60°=OB，同理OF=OC．
∴OE+OF=（OB+OC）=BC．
在等边△ABC中，高h=AB=BC．
∴OE+OF=h．
又∵等边三角形的高为5，
∴OE+OF=5，
故答案为5．
点评： 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边都相等．
13．（2014?武侯区校级模拟）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为 ．21教育名师原创作品
考点： 等边三角形的性质；勾股定理．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置，然后求出此点坐标．
解答： 解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，
P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，
P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，P2008、P2009的横坐标就是2008．
∴P2010的纵坐标为 ，横坐标=2008+1.5=2009.5．
∴P2007（2007，）．
点P2010处于顶点上，
∵三角形边长为1，
故P2010（2009，）．
故答案为（2009，）．
点评： 本题主要考查等边三角形的性质和坐标等知识点．
三．解答题
14．（2014秋?上蔡县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD，AB=6cm．21*cnjy*com
（1）求BE的长；
（2）判断△BDE的形状，并说明理由．
考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质．21世纪教育网
专题： 计算题．
分析： （1）根据等边三角形的性质得BC=AB=6cm，再根据“三线合一”得AD=CD=AC=3cm，而CD=CE=3cm，所以BE=BC+CE=9cm；
（2）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，再根据“三线合一”得∠CBD=∠ABC=30°，而CD=CE，则∠CDE=∠E，接着利用三角形外角性质得∠CDE+∠E=∠ACB=60°，所以∠E=30°，于是得到∠CBD=∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得到△BDE为等腰三角形．
解答： 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB=6cm，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=AC=3cm，
∵CD=CE=3cm，
∴BE=BC+CE=6cm+3cm=9cm；
（2）△BDE为等腰三角形．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD⊥AC，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
而∠CDE+∠E=∠ACB=60°，
∴∠E=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴△BDE为等腰三角形．
点评： 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．也考查了等腰三角形的判定与性质．www-2-1-cnjy-com
15．（2014秋?维扬区校级期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
考点： 等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．21世纪教育网
分析： （1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；
（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=∠ABC=×60°=30°，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E，然后根据等角对等边，可得：DB=DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．
解答： （1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠ACB=30°；
（2）证明：连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°
由（1）知∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
∴DB=DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
点评： 此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．
16．（2013秋?宜春期末）△ABC为等边三角形，点M是线段BC上一点，点N是线段CA上一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，
（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求证：∠AQN=60°．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： （1）根据已知条件，利用SAS定理即可证明△ABM≌△BCN．
（2）根据△ABM≌△BCN（已证），可得∠AMB=∠BNC，然后利用△BQM∽△BCN即可得出结论．
解答： 证明；（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°
∵在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN（已证）．
∴∠AMB=∠BNC，
∵∠MBQ=∠NBC（公共角），
∴△BQM∽△BCN，
∴∠BQM=∠C=60°
∵∠BQM和∠AQN是对顶角，
∴∠AQN=60°．
点评： 此题主要考查学生对等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，有点难度，属于中档题．
17．（2014秋?北京校级期中）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O．21cnjy.com
（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；
（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．
考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
专题： 探究型．
分析： （1）EC=BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：
∵△ADC为等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵△AEC≌△ABD，
∴∠ACE=∠ADB，
∵∠EOD为△COD的外角，
∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，
则BD和CE的夹角大小为60°．
点评： 此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，利用了等量代换及转化的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
人教版八年级数学上册
13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（学生版）
一．选择题
1．（2014秋?北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
2．（2014秋?瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）2·1·c·n·j·y
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．（2014春?禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰不等边三角形
4．（2013春?射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（ ）21*cnjy*com
A．60° B．45° C．90° D．不能确定
5．（2014?祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（ ）
A． B． C． D．
6．（2013秋?渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（ ）
A． B． C． D．
7．（2013秋?中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
8．（2013秋?奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（ ）21·世纪*教育网
A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm
二．填空题
9．（2014春?宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
10．（2015春?普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长= ．
11．（2013秋?南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．
12．（2012秋?盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是 ．
三．解答题
13．（2014秋?厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．
14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．21cnjy.com
15．（2014秋?滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．2-1-c-n-j-y
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
16．（2010秋?苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
人教版八年级数学上册
13.3.2.2《等边三角形的判定》同步训练习题（教师版）
一．选择题
1．（2014秋?北流市期末）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形
D．有两个外角相等的等腰三角形
点评：节本题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．（2014秋?瑞金市期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网
分析： 根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解答： 解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
点评： 本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．（2014春?禅城区校级月考）在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则△ABC为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰不等边三角形
考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网
分析： 先根据△ABC中，AB=AC得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数，进而得出结论．www.21-cn-jy.com
解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=60°，
∴∠B=∠C==60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选C．
点评： 本题考查的是等边三角形的判定，熟知三个角都相等的三角形是等边三角形是解答此题的关键．
4．（2013春?射洪县期末）已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，则∠A等于（ ）
A．60° B．45° C．90° D．不能确定
考点： 等边三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．21世纪教育网
分析： 根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可．
解答： 解：△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2=0，
∴b﹣c=0，a﹣b=0，
∴a=b=c，
∴三角形是等边三角形，所以∠A=60°．
故答案选：A．
点评： 本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
5．（2014?祁阳县校级模拟）等边三角形的边长为4cm，它的高为（ ）
A． B． C． D．
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
分析： 根据等边三角形的性质：三线合一，即可求得BD的长，又由勾股定理即可求的高．
解答： 解：如图：过点A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形△ABC的边长为4cm，
∴DC=DB=2cm，
∵AB=4cm，
∴AD==2cm．
故选A．
点评： 本题主要考查等边三角形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键．【出处：21教育名师】
6．（2013秋?渭城区校级期末）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，过点B作BD⊥AC于D，已知△ABC的周长为m，则AD=（ ）
A． B． C． D．
考点： 等边三角形的性质．21世纪教育网
分析： 根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，再根据等腰三角形三线合一可得AD=AC，进而得到AD=．
解答： 解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴AD=AC，
∵△ABC周长为m，
∴AD=，
故选B．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一．
7．（2013秋?中江县期末）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
考点： 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．21世纪教育网www-2-1-cnjy-com
专题： 计算题．
分析： △MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．
解答： 解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP
∴△MNP是等边三角形．
又∵MQ⊥PN，垂足为Q，
∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，
∵NG=NQ，
∴∠G=∠QMN，
∴QG=MQ=a，
∵△MNP的周长为12，
∴MN=4，NG=2，
∴△MGQ周长是6+2a．
故选D．
点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．
8．（2013秋?奉贤区校级期末）如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD、CE是斜边上的高和中线，AC=CE=10cm，则BD长为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．25cm
考点： 等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．21世纪教育网
分析： 根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE=AE，可求得DE，则可求得BD．21教育网
解答： 解：
∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=AC=10cm，
∴△ACE为等边三角形，
∵CD⊥AE，
∴DE=AE=5cm，
∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm，
故选C．
点评： 本题主要考查直角三角形的性质及等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三角形的性质求得DE是解题的关键．【版权所有：21教育】
二．填空题
9．（2014春?宜宾县校级期末）如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= a 时，△AOP为等边三角形．
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
10．（2015春?普陀区期末）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长= 5 ．
考点： 等边三角形的判定与性质．21世纪教育网
分析： 在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长
解答： 解∵等腰三角形的顶角为60°，
∴底角==60°，
∴三角形为等边三角形，
∴腰长=底边长=5，
所以它的腰长为5，
故答案为5．
点评： 本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角．
11．（2013秋?南京校级期末）如图，在△ABC中，AB=1.8，BC=3.9，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 2.1 ．
考点： 等边三角形的判定与性质；旋转的性质．21世纪教育网
分析： 由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
解答： 解：由旋转的性质可得：AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=1.8，BC=3.9，
∴CD=BC﹣BD=3.9﹣1.8=2.1．
故答案为：2.1．
点评： 此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．21世纪教育网版权所有
12．（2012秋?盐城校级期中）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形．取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形．取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作．则第6个正六边形的边长是 a ．
考点： 等边三角形的判定与性质．21世纪教育网
专题： 规律型．
分析： 延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D，然后判定BD是三角形的中位线，然后求出BD的长，再求出BC的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，也就是第2个正六边形与第1个正六边形的边长的关系，再根据此规律依次求解即可．
解答： 解：如图，延长AB与第1个等边三角形的边相交于点D，
∵B为中点，
∴BD=×a=，
∴BC=a﹣﹣=，
∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的，
∵正六边形的边长是相应等边三角形边长的，
∴下一个正六边形的边长是前一个正六边形的边长的，
根据题意，第一个正六边形的边长是a，
所以，第6个正六边形的边长：a×（）5=a．
故答案为：a．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的是解题的关键．
三．解答题
13．（2014秋?厦门期末）如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．
考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网
专题： 证明题．
分析： 根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论． 21*cnjy*com
解答： 证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B=60°，
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，
∴△OCD是等边三角形．
点评： 本题主要考查了等边三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
14．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．【来源：21cnj*y.co*m】
考点： 等边三角形的判定．21世纪教育网
分析： 由AB=AC，AD⊥BC得到AD是BC的中垂线，由中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等知，BE=CE，即可得出△BCE的形状．21教育名师原创作品
解答： 解：△BCE是等边三角形，理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴AD为BC的中垂线，
∴BE=EC，
∵BC=BE，
∴BC=CE=BE，
∴△BCE是等边三角形．
点评： 此题考查等边三角形的判定，关键是利用了中垂线的判定和性质证明BE=CE．
15．（2014秋?滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
考点： 等边三角形的判定与性质．21世纪教育网
专题： 探究型．
分析： （1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，因为DE=OD=OE，所以BD=DE=EC．
解答： 解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°（3分）
∴△ODE是等边三角形；（4分）
（2）答：BD=DE=EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°，（6分）
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，（7分）
同理，EC=EO，
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．（8分）
点评： 此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用．
17．（2010秋?苏州期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C逆时针旋转60°得△ADC，连接OD．21·cn·jy·com
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO=5，BO=4，α=150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
考点： 等边三角形的判定；等腰三角形的判定．21世纪教育网
专题： 几何综合题；分类讨论．
分析： （1）由△BOC≌△ADC，得出CO=CD，再由∠OCD=60°，得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；
（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°﹣∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．【来源：21·世纪·教育·网】
解答： （1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，
∴CO=CD．
∴△COD是等边三角形；
（2）∵△ADC≌△BOC，
∴DA=OB=4，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，又∠ADC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=90°，
∴△AOD为直角三角形．
又AO=5，AD=4，∴OD=3，
∴CO=OD=3；
点评： 此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定等知识，渗透分类讨论思想．
