专题01：数与式--2024年全国中考数学一模中档题分项汇编（填空题专练）（附答案与解析）

专题01：数与式
--2024年全国中考数学一模中档题分项汇编（填空题专练）（附答案与解析）
1．（2024·广东惠州·一模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则辛烷分子结构式中“H”的个数是 ．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）化简： ．
3．（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为 ．
4．（2024·吉林长春·一模）如图是一个圆形分格干果盒，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇环形．它的俯视图（小格的厚度忽略不记）中，，，则图中阴影部分的面积是 ．（用含的代数式表示）

5．（2024·山东青岛·一模）计算： ．
6．（2024·浙江·一模）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学 人．
7．（2024·山东淄博·一模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，……依次规律，第幅图中★的个数为，则的值为 ．
8．（2024·山东临沂·一模）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，若，则 ．
9．（2024·四川宜宾·一模）对于实数x，符号可表示不超过x的最大整数，如．若有正整数解，则正实数a的取值范围是 ．
10．（2024·江苏扬州·一模）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含k的代数式表示）．
11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义，若，则的值为 ．
12．（2024·广东广州·一模）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第个图形中的点数为 ．
13．（2024·山东菏泽·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618就应用了黄金分割数．设，，记，，……，，则的值为 ．
14．（2024·广东汕头·一模）计算： ．
15．（2024·山东菏泽·一模）计算 ．
16．（2024·山东菏泽·一模）已知，则与的最接近的两个整数的和为 ．
17．（2024·甘肃武威·一模）已知、均为锐角，且满足，则 ．
18．（2024·江苏扬州·一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式（、是常数）配成（是常数）的形式，则的最小值是 ．
19．（2024·江苏扬州·一模）已知，则与最接近的整数为 ．
20．（2024·安徽合肥·一模）如图，四边形中，，于点C，，则的长为 ．
21．（2024·湖南张家界·一模）若要使有意义，则x的取值范围为 ．
22．（2024·湖南怀化·一模），，，，五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，，，，五位同学报出来的数恰好分别是，，，，，则同学心里想的那个数是 ．
23．（2024·青海·一模）2023年第一季度青海省接待游客万人次，实现旅游收入约亿元．数据亿用科学记数法表示为 ．
24．（2024·江苏苏州·一模）如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则 ．
25．（2024·湖南怀化·一模）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式 ．（要求答案为具体的数值）
26．（2024·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点，则代数式的值为 ．
27．（2024·黑龙江大庆·一模）我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．请观察图中的数的排列规律，则的值为 ．
28．（2024·湖北随州·一模）如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，的延长线过点C．若，则 ．
29．（2024·宁夏·一模）代数式中x的取值范围是 ．
30．（2024·吉林长春·一模）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每名学生分4本，还缺10本，那么这批图书共 本．
31．（2024·福建泉州·一模）已知，则的值为 ．
32．（2024·浙江·一模）已知，，则的值为 ．
33．（2024·湖南怀化·一模）若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ．
34．（2024·四川成都·一模）若，则代数式的值为 ．
35．（2024·四川南充·一模）计算：的结果为 ．
36．（2024·贵州黔南·一模）贵州省第三次全国国土调查主要成果数据显示，贵州省耕地面积为万亩，请用科学记数法表示万亩为 亩．
37．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）纸片中，，，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为 ．
38．（2024·重庆·一模）计算： ．
39．（2024·辽宁盘锦·一模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ．
40．（2024·山西吕梁·一模）如图，这是一组有规律的图案，它们是由相同的五角星组合而成的，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…按此规律摆下去，第个图案有 个五角星．（用含的代数式表示）
41．（2024·重庆·一模） ＝ ．
42．（2024·山东枣庄·一模）如图，正方形中，，与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ．

43．（2024·山西临汾·一模）化简的结果是 ．
44．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）阅读材料：若满足，求的值．
解：设，则，
所以．
请仿照上例解决下面问题：
若满足，则的值是 ．
45．（2024·山东泰安·一模）如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为 ．
46．（2024·陕西西安·一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…，这样的数称为“三角形数”，若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，根据其中规律可得 ．
47．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ．
48．（2024·重庆·一模） ．
49．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
50．（2024·湖北黄冈·一模）计算：
参考答案
1．18
【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律．
根据题意，得到氢原子的数目与碳原子数的规律，即可解答．
【详解】解：观察，发现规律：
甲烷：碳原子的数目，氢原子的数目，；
乙烷：碳原子的数目，氢原子的数目，；
丙烷：碳原子的数目，氢原子的数目，；
．
与之间的关系式为；
则辛烷分子结构式中“”的个数：，
故答案为：18．
2．
【分析】此题主要考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解题关键．先化简二次根式，再计算即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
3．/
【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则得到一元二次方程，求解后再对方程的解进行判断即可
【详解】解：若，则
所以，，得：
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，即，的值为：，
故答案为：
4．
【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
【详解】解：由题意可知，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
5．10
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂的意义，先根据二次根式的性质化简，同时计算零指数幂，然后计算括号内，最后计算乘法即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：10．
6．1025
【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组，解题的关键是用平方差公式分解因式后建立二元一次方程组．
设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，根据增加或减少64人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为m，n，列式后得出，再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数．
两式相减，得，
即．
∵，
和同奇或同偶，
∴或或，
解得或或，
当时，，，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，，不合题意，舍去；
故原长方形队阵中有同学1025人．
故答案为：1025．
7．
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形可知第幅图中★的个数为，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可．
【详解】解：第1幅图中★的个数为，
第2幅图中★的个数为，
第3幅图中★的个数为，
……，
以此类推，第幅图中★的个数为，
又∵，
，
，
……，
以此类推，可知，
∴
．
故答案为：．
8．1或0
【分析】此题主要考查了实数的比较大小，以及解一元二次方程-直接开平方法，关键是正确理解题意．
首先理解题意，进而可得时分情况讨论，当时，时和时，进而可得答案．
【详解】解：∵，
当时，不可能得出最大值为1，
当时，则，
当时，则，
解得：(不合题意，舍去)，，
则综上所述：的值为1或0．
故答案为：1或0．
9．或
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，新定义，根据新定义得到，进而求出，由有正整数解，且a为正实数，得到，则有和，据此讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵有正整数解，且a为正实数，
∴，
∴当时，，则；
当时，，则，
∵，
∴，
综上所述，或，
故答案为：或。
10．
【分析】本题考查了列代数式．根据题意正确的列代数式是解题的关键．
依题意知，，设移动后弹簧秤读数为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：依题意知，，
设移动后弹簧秤读数为，
依题意得，，
解得，，
故答案为：．
11．或
【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程的解法，根据新定义运算，得，再解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：．
故答案为：或．
12．
【分析】本题考查了图形的规律型问题，根据图形找到点的数量的变化规律即可求解，根据已知图形找到点的数量的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第个图有个点；
第个图有个点；
第个图有个点；
第个图有个点；
；
∴第个图有个点；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查分式的加减法和二次根式的运算．找出规律是解题的关键．利用分式的加减法则分别可求，， ，，利用规律求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
……
，
……
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则求解即可，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了实数的运算，先化简绝对值，计算乘方、负整数幂、特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：5．
16．7
【分析】本题考查无理数的估算，根据与10最接近，与6最接近，且，得到与a的最接近的两个整数是3和4，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
，
，
与的最接近的两个整数是3和4，
∴．
故答案为：．
17．/105度
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
根据非负数的性质得到，，利用特殊角的三角函数值分别求出、，计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，，
，，
，
故答案为：
18．
【分析】本题考查了配方法的运用，二次函数的性质．根据题意得到，先将配方得到，由，进而得到，即可得到，再根据二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：是关于字母的二次三项式，
，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
19．5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：
∵，
，即，
，
∴,
∴与最接近的整数为5，
故答案为：5．
20．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，化为最简二次根式，取的中点E，连接，证明是等边三角形，得到，进而利用三角形外角的性质得到，由勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，则，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，取的中点E，连接，而，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．且
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：由题意可得，解得且，
故答案为：且．
22．
【分析】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
设报的人心里想的数是，因为报与报的两个人报的平均数是，则报的人心里想的数应是，以此类推，最后建立方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示
设报的人心里想的数是，因为报与报的两个人报的平均数是，则报的人心里想的数应是，以此类推：
于是报的人心里想的数是，
报的人心里想的数是，
报的人心里想的数是，
报的人心里想的数是，
于是得
解得：
所以同学报的人心里想的数应是∶ ．
故答案为：．
23．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：亿，
故答案为：．
24．
【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，由，可得，进而由菱形的性质得到，利用勾股定理求出，进而求出，再利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
由翻折可得：，
∴在菱形中，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
25．
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
26．1
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把代入函数得，代入解析式解答即可．
【详解】解：把代入函数得，
，
把代入得，
，
故答案为：1．
27．
【分析】本题考查了数字的变化类，通过观察，发现每一项的数据变号有规律，找出每一项的规律，即可求出每一项的系数，解题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出、、的值．
【详解】解：观察图中的数字排列规律，可得，，
∴，
故答案为：．
28．
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，过点E作于点H，连接，设，，由已知可得，根据中点的性质可得，由矩形的性质和折叠的性质可证得，可得，，由平行线的性质可得，，推出，，利用勾股定理建立方程，求得，进而求得，即可得到答案．
【详解】解：设，，
，
，
是中点，
，
过点E作于点H，连接，则，
四边形为矩形，
，，，
四边形和四边形为矩形，
，，
由折叠知，，，，，
，
的延长线过点C，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
29．且
【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键．
【详解】根据题意，得，且，
解得，且，
故答案为：，且．
30．
【分析】列代数式解答即可，本题考查了列代数式，正确理解题意，列出代数式是解题的关键．
【详解】根据题意，得本，
故答案为：．
31．
【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得出，即，再将要求的分式进行化简，然后代入求值即可．熟练掌握分式的化简是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
则，
故答案为：．
32．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
33．10或
【分析】本题考查的是勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
分长为8的边是直角边和斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：当长为8的边是直角边时，第三边长为：，
当长为8的边是斜边时，第三边长为：，
综上所述，这个三角形的第三边长为10或．
故答案为：10或．
34．
【分析】本题考查了求分式化简求值，先根据分式的混合运算进行计算，然后将代入，即可求解．
【详解】解：
∵
∴原式，
故答案为：．
35．3
【分析】本题考查了实数的运算及零指数幂、特殊角的三角函数值的知识，按照实数的运算法则进行运算即可，注意特殊角的三角函数值．
【详解】解：
，
故答案为：3．
36．
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：万亩亩亩，
故答案为：．
37．6或10
【分析】本题考查勾股定理和折叠的性质，分两种情况解题，①当是锐角三角形， 过点A作垂线交于点D，证明为正三角形，设，则，，利用勾股定理可得到一个关于x的方程，解得结果即为长，进而得出长，②当是钝角三角形，过点A作垂线交于点D，同理可求出长．
【详解】解：①如下图，是锐角三角形，过点A作垂线交于点D，
∵，，，
∴在中，，
，
∵是折叠得到，
∴，
∴为正三角形，
∴，
设，则，，
∵，
∴在中，，
即，
解得：(舍)或，
∴；
②如下图，当是钝角三角形，过点A作垂线交于点D，
同理，，，为正三角形，
设，则，，
∵，
∴在中，
，
即，
解得：或 (舍)，
∴，
综上得：或，
故答案为：6或10．
38．/
【分析】本题考查实数混合运算，涉及二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识，先由二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂分别计算，再由二次根式混合运算法则求解即可得到答案，熟记二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
39．/
【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
40．/
【分析】本题考查图形的变化规律，由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形……依此类推即可解答．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有个三角形，
第2个图案有个三角形，
第3个图案有个三角形，
……
第n个图案有个三角形．
故答案为：．
41．
【分析】本题考查了负指数幂和0指数幂，熟悉相关的知识是解题的关键；根据，即可求解．
【详解】解：；
故答案为：．
42．
【分析】
本题考查了图形类规律探索、正方形的性质、解直角三角形；
利用正方形的性质得到，，求出，从而可得，同理得到，利用此变化规律得到，然后代入计算即可．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，
∵与直线l所夹锐角为，
，
，
，
同理可得：，，
．．．．．．
∴，
∴
故答案为：．
43．/
【分析】
本题考查分式的混合运算．熟记运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
44．110
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．设，则，，然后利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：设，
则，，
所以．
故答案为：110．
45．199
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元一次方程，观察可知，左上角的数是从1开始的连续的自然数，右上角的数是从1开始的连续的奇数，左下角的数是从2开始的连续的自然数，且左上角的数与右下角的数的和等于右上角的数与左下角的数的乘积，据此求出a、b的值，然后得到关于x的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
……
以此类推，可知左上角的数是从1开始的连续的自然数，右上角的数是从1开始的连续的奇数，左下角的数是从2开始的连续的自然数，且左上角的数与右下角的数的和等于右上角的数与左下角的数的乘积，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
46．36
【分析】本题考查了数字的变化规律，分析发现出数字间的规律是解答本题的关键．通过观察发现，每一项的项数加上前一项数就是本项数，据此解答即可．
【详解】解：对于数列1，3，6，10，15，…，发现有这样的规律：每一项的项数加上前一项数就是本项数，
∴第6项数，
第7项数，
第8项数，
∴．
故答案为：36．
47．
【分析】
本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
48．//
【分析】
本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先计算算术平方根、负整数指数幂、三角函数，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
故答案为：6.5
49．
【分析】
本题考查数字类规律探究，设第2个数为，第3个数为，第4个数为，根据任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，求出，进而得到这组数每6个一组进行循环，进一步求出第2028个数即可．
【详解】解：设第2个数为，第3个数为，第4个数为，由题意，得：，
∴，
∴这组数据为，即：这组数以6个为一组，进行循环，
∵，
∴第2028个数是；
故答案为：．
50．
【分析】根据三角函数，零指数幂，计算即可，本题考查了三角函数，零指数幂，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】
，
故答案为：．