广东省潮州市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测 数学
一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1．（2024高三上·潮州期末）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·潮州期末）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
3．（2024高三上·潮州期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2024高三上·潮州期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·潮州期末）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·潮州期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·潮州期末）已知双曲线的左焦点为F，M、N，P是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·潮州期末）已知函数满足，若且，则的值为
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．（2024高三上·潮州期末）下列说法中正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，则这组数据的第70百分位数为8
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，且，则
D．对一组样本数据，，…，进行分析，由此得到的回归方程为，则至少有一个数据点在回归直线上
10．（2024高三上·潮州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·潮州期末）设过点的直线与圆相交于A，B两点，若点，则的值可能为（ ）
A．8 B． C．12 D．
12．（2022·济南模拟）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高三上·潮州期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答）
14．（2024高三上·潮州期末）O为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 ．
15．（2024高三上·潮州期末）设等差数列的前项和为，且，，若，则数列中最小项的值为 ．
16．（2024高三上·潮州期末）设函数，已知直线与函数的图象交于A、B两点，且的最小值为（e为自然对数的底），则 ．
四、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）
17．（2024·佛山模拟）公比为的等比数列的前项和．
（1）求与的值；
（2）若，记数列的前项和为，求证：．
18．（2024高三上·潮州期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
（2）为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．
19．（2024高三上·潮州期末）在矩形中，，（如图1），将沿折起到的位置，使得点在平面上的射影在边上，连结（如图2）．
（1）证明：；
（2）过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（2024高三上·潮州期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角的大小；
（2）若为线段延长线上一点，且，，求．
21．（2024高三上·潮州期末）已知函数，曲线在点处的切线为．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值．
22．（2024高三上·潮州期末）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于C，D两点，过作的平行线交于点．
（1）证明：为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交于M，N两点，过且与垂直的直线与圆交于P，Q两点，求四边形面积的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，，则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合M，再结合交集的运算法则得出集合M和集合N的交集.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数对应的点在复平面的虚轴上，所以，，
则，实数-6.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合复数对应的点在复平面的虚轴上判断出复数为纯虚数，进而结合纯虚数的定义得出实数a的值.
3．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，设扇形的弧长为l，扇形的半径r为2，
由扇形面积公式得出，设圆锥底面半径为，又因为，
则这个圆锥的底面半径为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式得出扇形的弧长，再利用圆的周长与圆锥侧面对应的扇形的弧长的关系式，进而得出圆锥底面圆的半径的长.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，所以，
即可得，所以，命题“，”为假命题的一个充分不必要条件
对应的集合是的真子集，所以，只有选项C中符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题真假性相反的关系，进而得出命题“，”为真命题，再利用不等式恒成立问题求解方法，所以，再结合二次函数的图象求最值的方法得出实数a的取值范围，再利用充分条件和必要条件的判断方法，进而找出集合的真子集，从而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为单位向量，满足，所以
所以，，，
所以，则，则在方向上的投影向量为
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式得出的值，再结合数量积求投影向量的方法得出在方向上的投影向量.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
令得出g(0)=1，根据函数f(x)在上取得极值，则在存在x使得
即g(x)=1，由于函数g(x)对称处的值为
函数g(x)要存在零点且，根据零点存在性定理，即当时，则，
若且，即，则在必存在一点使得即f(x)在上有极值；
若，即对称轴位于区间右侧，即g(x)在上单调递减，要函数g(x)在上至少有一点为零点，
由于则要即
所以，在当时，函数g(x)在有零点恒成立，综上所述，当时，函数f(x)在有极值.
故答案为：D.
【分析】利用导数求极值点的方法和二次函数的图象的对称性以及零点存在性定理，从而分类讨论得出实数a的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线C的右焦点为，连接如图所示：
因为，所以，，所以，
又因为O为MN的中点，所以，四边形为矩形，设
则所以，
因为所以，
解得，又因为所以，
得出，所以，双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件易证四边形为矩形，设再结合双曲线的定义和直角三角形中的勾股定理，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的值.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 因为函数满足，所以，，
所以又因为，所以，得出，
因为且，所以，
所以
，
因为，则的值为.
故答案为：D.
【分析】由得出函数在时取最值，得出函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值.
9．【答案】B,C
【知识点】回归分析；离散型随机变量的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：
6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，再从小到大排列，即5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，
则，则这组数据的第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，
则这组数据的第70百分位数为，所以A错；
对于B，因为随机变量，且，则100p=20，则，
则，所以B对；
对于C，因为随机变量，且，则，
则，
则，所以C对；
对于D，对一组样本数据，，…，进行分析，由此得到的回归方程为，可能没有一个数据点在回归直线上，所以D错.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法、二项分布的期望和方差求解公式、正态分布对应的曲线的对称性求概率的方法、回归方程与样本数据的位置关系，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，，
又因为所以，所以，
则，所以C对；
又因为
所以，所以，则，所以B错；
因为所以D错；
因为
所以，，所以，所以，所以A对.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性和均值不等式求最值的方法，进而比较出a，b，c的大小，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由题意可知圆心，半径r为4，设AB的中点，则，
则又因为所以
所以，点D的轨迹方程为圆E：圆心E(3，0)，半径为1，
所以，的最大值为最小值为
因为，所以，，所以的值可能为8，，12。
故答案为：ABC.
【分析】利用中点坐标求出AB的中点D的轨迹方程为圆心为E(3，0)，半径为1的圆，从而得出的最大值和最小值，再结合得出的取值范围，从而得出可能的值。
12．【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，A符合题意，，B不符合题意，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，C符合题意，由于且，所以，所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出点Q移动两次后仍在底面ABCD上的概率；利用已知条件结合归纳推理的方法，进而推出；点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点；由于且，所以，再结合代入法得出点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率，进而找出说法正确的选项。
13．【答案】14
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，每个盒子有两种放法：一个盒子放1个，另一个盒子放3个；
一个盒子放2个，另一个盒子放2个。
一个盒子放1个，另一个盒子放3个有种放法；
一个盒子放2个，另一个盒子放2个有种放法；
则不同的方法总数有8+6=14种放法。
故答案为：14.
【分析】利用已知条件结合组合数和排列数公式，再结合平均分组求解放法和分类加法计数原理，进而得出不同的方法总数。
14．【答案】
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为O为坐标原点，为抛物线的焦点，所以，，
因为为上一点，设，因为，所以，，所以，，
所以，由抛物线的图象的对称性，则的面积为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点F坐标，再由点P在抛物线上设出点P的坐标，再利用两点距离公式得出点P的坐标，从而由抛物线的图象的对称性和三角形的面积公式得出三角形的面积.
15．【答案】-49
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为等差数列的前项和为，且，，
设公差为d，则，
则等差数列的前n项和，
因为，所以，，
令则
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以，函数在x=7时取得最小值，
则数列中最小项的值为.
故答案为：-49.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式建立方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列的前n项和公式得出等差数列的前项和和，进而得出数列的通项公式，再利用构造法和导数求函数的最值的方法得出数列中最小项的值.
16．【答案】1-e2
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图所示：
设则
所以，所以，
令则
当时，在上单调递减，，即a=-2(舍），
当时，单调递增且所以，g(t)在上单调递减，在上单调递增，
所以所以，.
故答案为：1-e2.
【分析】先设则即构造函数再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合已知条件得出a的值。
17．【答案】（1）解：，
当时，；
当时，，
所以，
所以，
，，
又数列为等比数列，则，
又，
，解得；
（2）解：由（1）可得，
所以，
，
当时，，
．
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列求和公式结合等比数列公式求出a的值；
（2）根据（1）得出数列等式，从而得出等式；从而得出数列求和公式，从而得出列式之和的范围。
18．【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
（2）解：由于[50，60)，[60，70)和[80，90)的频率之比为：1：2：2，
故抽取的10人中[50，60)，[60，70)和[80，90)分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，的分布列为：
0 1 2 3
p
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式得出这100名游客评分的平均值；
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出抽取的10人中[50，60)，[60，70)和[80，90)的人数，进而得出随机变量可能的取值，再结合组合数公式古典概型求概率公式得出随机变量的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量的数学期望.
19．【答案】（1）证明：由题意知： 平面 平面 A B C ，所以
又 平面 平面， 且
所以 平面 .
又 平面， 所以
（2）解：过 作 交 A C 于， 连结 D， F
由于 平面 平面
所以BC//平面D1EF .
故平面D，EF即为平面
建立如图所示空间直角坐标系如图所示：
由 (1)， 又 平面，
所以 平面 平面， 所以，
则 在 中 可 得，，
则，
由于， 故.
又 .
因此， 故 是 的一个法向量
设面 A C D ，的一个法向量
由， 取
设平面 与平面 A C D， 夹角的， 则
故所求平面 与平面 A C D， 夹角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意知： 平面再利用线面垂直的定义得出线线垂直， 即，再利用 结合线面垂直判定定理得出 平面 ，再根据线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2）过 作 交 A C 于， 连结 D， F，再利用线线平行证出线面平行，则BC//平面D1EF ，故平面DEF即为平面，从而建立空间直角坐标系，由 (1)和 结合线面垂直的判定定理， 所以 平面再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，在 中结合勾股定理和直角三角形的面积公式得出 ，的长，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用， 故，再结合和线面垂直的判定定理，因此， 故 是 的一个法向量，再由数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面 ACD 的一个法向量，再由数量积求向量夹角余弦值公式得出平面与平面ACD的夹角的余弦值。
20．【答案】（1）解：在△ABC中，由已知条件及正弦定理可得2sin A cos B = 2 sin C -sin B
2sin A cos B = 2 sin( A+B)-sin B
2sin Acos B = 2 sin A cos B+2cos A sin 8-sin B
2 cos A sin B= sin B
因为， 所以
因为 是 的内角， 所以
另解： 因为， 由余弦定理有
整理得 ，
由余弦定理得，
因为 是 的内角， 所以
（2）解：设
在 中，，①
在 中，②
分子、分母除以 后可解得
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
方法一：在△ABC中，由已知条件及正弦定理和三角形内角和为180°的性质，再结合两角和的正弦公式和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值；
方法二：利用 结合余弦定理得 ，再由余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值.
（2）设 ，在 中结合（1）中求出的角A的值和三角形内角和为180°的性质，再利用正弦定理得出 ，①，在 中由正弦定理得出 ②，再由作商法和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再根据两角互补和诱导公式得出的值.
21．【答案】（1）解：由 得：，
由切线方程可知： f (1)=2—1=1 已
，
解得： a=1，b=0
（2）解：由 (1) 知， 则 时， 恒成立
等价于 时， 恒成立
令， 则
令， 则
当 时，， 则 单调递增
， 使得
当 时， 时，
， 即正整数 的最大值为 3
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点的坐标，再结合点斜式方程得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值；
（2）由 (1) 知， 则当 时， 恒成立等价于当 时， 恒成立，再利用构造法，令， 再结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的最小值，由不等式恒成立问题求解方法得出m的取值范围，进而得出正整数m的最大值.
22．【答案】（1）证明：由题意可知， 故， 又， 故， 故
， 所以， 故，
又圆 标准方程为， 从而， 所以
由题设得
由椭圆的定义可得点 的轨迹方程为
（2）解：当 与 轴不垂直时， 设
由 得
则，
所以
过点 且与 / 垂直的直线 到 的距离为
所以
故四边形MPNQ的面积为
而， 故
当/与 轴不垂直时， 四边形 MPNQ 的面积的取值范围为
当/与 轴垂直时，其方程为， 四边形 M P N Q 的面积 12
综上， 四边形 MPNQ 的面积的取值范围为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析（1）由题意可知， 利用三角形中边角关系，故， 再利用， 故， ， 即， 故，再结合圆的半径得出AD的长，从而得，再由椭圆的定义可得点 的轨迹方程；
（2）当直线与 轴不垂直时， 设直线，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理和弦长公式得出，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而设出过点 且与 / 垂直的直线 再利用点到直线的距离公式得出点A到直线的距离为 ，再由弦长公式得出 ，再根据四边形的面积和三角形面积的关系式得出四边形MPNQ的面积为，再利用结合不等式的基本性质和分类讨论的方法得出四边形 MPNQ 的面积的取值范围.
1 / 1广东省潮州市2023-2024学年高三上学期期末教学质量检测 数学
一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1．（2024高三上·潮州期末）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，，则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合M，再结合交集的运算法则得出集合M和集合N的交集.
2．（2024高三上·潮州期末）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数对应的点在复平面的虚轴上，所以，，
则，实数-6.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合复数对应的点在复平面的虚轴上判断出复数为纯虚数，进而结合纯虚数的定义得出实数a的值.
3．（2024高三上·潮州期末）已知圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：因为圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，设扇形的弧长为l，扇形的半径r为2，
由扇形面积公式得出，设圆锥底面半径为，又因为，
则这个圆锥的底面半径为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式得出扇形的弧长，再利用圆的周长与圆锥侧面对应的扇形的弧长的关系式，进而得出圆锥底面圆的半径的长.
4．（2024高三上·潮州期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，所以，
即可得，所以，命题“，”为假命题的一个充分不必要条件
对应的集合是的真子集，所以，只有选项C中符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题真假性相反的关系，进而得出命题“，”为真命题，再利用不等式恒成立问题求解方法，所以，再结合二次函数的图象求最值的方法得出实数a的取值范围，再利用充分条件和必要条件的判断方法，进而找出集合的真子集，从而找出正确的选项.
5．（2024高三上·潮州期末）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为单位向量，满足，所以
所以，，，
所以，则，则在方向上的投影向量为
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式得出的值，再结合数量积求投影向量的方法得出在方向上的投影向量.
6．（2024高三上·潮州期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
令得出g(0)=1，根据函数f(x)在上取得极值，则在存在x使得
即g(x)=1，由于函数g(x)对称处的值为
函数g(x)要存在零点且，根据零点存在性定理，即当时，则，
若且，即，则在必存在一点使得即f(x)在上有极值；
若，即对称轴位于区间右侧，即g(x)在上单调递减，要函数g(x)在上至少有一点为零点，
由于则要即
所以，在当时，函数g(x)在有零点恒成立，综上所述，当时，函数f(x)在有极值.
故答案为：D.
【分析】利用导数求极值点的方法和二次函数的图象的对称性以及零点存在性定理，从而分类讨论得出实数a的取值范围.
7．（2024高三上·潮州期末）已知双曲线的左焦点为F，M、N，P是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线C的右焦点为，连接如图所示：
因为，所以，，所以，
又因为O为MN的中点，所以，四边形为矩形，设
则所以，
因为所以，
解得，又因为所以，
得出，所以，双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件易证四边形为矩形，设再结合双曲线的定义和直角三角形中的勾股定理，进而得出a，c的关系式，再利用双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率的值.
8．（2024高三上·潮州期末）已知函数满足，若且，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 因为函数满足，所以，，
所以又因为，所以，得出，
因为且，所以，
所以
，
因为，则的值为.
故答案为：D.
【分析】由得出函数在时取最值，得出函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．（2024高三上·潮州期末）下列说法中正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，则这组数据的第70百分位数为8
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，且，则
D．对一组样本数据，，…，进行分析，由此得到的回归方程为，则至少有一个数据点在回归直线上
【答案】B,C
【知识点】回归分析；离散型随机变量的期望与方差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：
6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，再从小到大排列，即5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，
则，则这组数据的第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，
则这组数据的第70百分位数为，所以A错；
对于B，因为随机变量，且，则100p=20，则，
则，所以B对；
对于C，因为随机变量，且，则，
则，
则，所以C对；
对于D，对一组样本数据，，…，进行分析，由此得到的回归方程为，可能没有一个数据点在回归直线上，所以D错.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合百分位数求解方法、二项分布的期望和方差求解公式、正态分布对应的曲线的对称性求概率的方法、回归方程与样本数据的位置关系，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高三上·潮州期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，，，
又因为所以，所以，
则，所以C对；
又因为
所以，所以，则，所以B错；
因为所以D错；
因为
所以，，所以，所以，所以A对.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性和均值不等式求最值的方法，进而比较出a，b，c的大小，从而找出正确的选项.
11．（2024高三上·潮州期末）设过点的直线与圆相交于A，B两点，若点，则的值可能为（ ）
A．8 B． C．12 D．
【答案】A,B,C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由题意可知圆心，半径r为4，设AB的中点，则，
则又因为所以
所以，点D的轨迹方程为圆E：圆心E(3，0)，半径为1，
所以，的最大值为最小值为
因为，所以，，所以的值可能为8，，12。
故答案为：ABC.
【分析】利用中点坐标求出AB的中点D的轨迹方程为圆心为E(3，0)，半径为1的圆，从而得出的最大值和最小值，再结合得出的取值范围，从而得出可能的值。
12．（2022·济南模拟）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，A符合题意，，B不符合题意，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，C符合题意，由于且，所以，所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出点Q移动两次后仍在底面ABCD上的概率；利用已知条件结合归纳推理的方法，进而推出；点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点；由于且，所以，再结合代入法得出点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率，进而找出说法正确的选项。
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2024高三上·潮州期末）将编号为1，2，3，4的四个小球全部放入甲、乙两个盒子内，若每个盒子不空，则不同的方法总数有 种．（用数字作答）
【答案】14
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，每个盒子有两种放法：一个盒子放1个，另一个盒子放3个；
一个盒子放2个，另一个盒子放2个。
一个盒子放1个，另一个盒子放3个有种放法；
一个盒子放2个，另一个盒子放2个有种放法；
则不同的方法总数有8+6=14种放法。
故答案为：14.
【分析】利用已知条件结合组合数和排列数公式，再结合平均分组求解放法和分类加法计数原理，进而得出不同的方法总数。
14．（2024高三上·潮州期末）O为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为O为坐标原点，为抛物线的焦点，所以，，
因为为上一点，设，因为，所以，，所以，，
所以，由抛物线的图象的对称性，则的面积为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点F坐标，再由点P在抛物线上设出点P的坐标，再利用两点距离公式得出点P的坐标，从而由抛物线的图象的对称性和三角形的面积公式得出三角形的面积.
15．（2024高三上·潮州期末）设等差数列的前项和为，且，，若，则数列中最小项的值为 ．
【答案】-49
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为等差数列的前项和为，且，，
设公差为d，则，
则等差数列的前n项和，
因为，所以，，
令则
当时，则函数单调递增，
当时，则函数单调递减，
所以，函数在x=7时取得最小值，
则数列中最小项的值为.
故答案为：-49.
【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式建立方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列的前n项和公式得出等差数列的前项和和，进而得出数列的通项公式，再利用构造法和导数求函数的最值的方法得出数列中最小项的值.
16．（2024高三上·潮州期末）设函数，已知直线与函数的图象交于A、B两点，且的最小值为（e为自然对数的底），则 ．
【答案】1-e2
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；平面内两点间距离公式的应用
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图所示：
设则
所以，所以，
令则
当时，在上单调递减，，即a=-2(舍），
当时，单调递增且所以，g(t)在上单调递减，在上单调递增，
所以所以，.
故答案为：1-e2.
【分析】先设则即构造函数再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合已知条件得出a的值。
四、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分）
17．（2024·佛山模拟）公比为的等比数列的前项和．
（1）求与的值；
（2）若，记数列的前项和为，求证：．
【答案】（1）解：，
当时，；
当时，，
所以，
所以，
，，
又数列为等比数列，则，
又，
，解得；
（2）解：由（1）可得，
所以，
，
当时，，
．
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列求和公式结合等比数列公式求出a的值；
（2）根据（1）得出数列等式，从而得出等式；从而得出数列求和公式，从而得出列式之和的范围。
18．（2024高三上·潮州期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．
（1）根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
（2）为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
（2）解：由于[50，60)，[60，70)和[80，90)的频率之比为：1：2：2，
故抽取的10人中[50，60)，[60，70)和[80，90)分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为0、1、2、3，
，的分布列为：
0 1 2 3
p
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式得出这100名游客评分的平均值；
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出抽取的10人中[50，60)，[60，70)和[80，90)的人数，进而得出随机变量可能的取值，再结合组合数公式古典概型求概率公式得出随机变量的分布列，再根据随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量的数学期望.
19．（2024高三上·潮州期末）在矩形中，，（如图1），将沿折起到的位置，使得点在平面上的射影在边上，连结（如图2）．
（1）证明：；
（2）过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：由题意知： 平面 平面 A B C ，所以
又 平面 平面， 且
所以 平面 .
又 平面， 所以
（2）解：过 作 交 A C 于， 连结 D， F
由于 平面 平面
所以BC//平面D1EF .
故平面D，EF即为平面
建立如图所示空间直角坐标系如图所示：
由 (1)， 又 平面，
所以 平面 平面， 所以，
则 在 中 可 得，，
则，
由于， 故.
又 .
因此， 故 是 的一个法向量
设面 A C D ，的一个法向量
由， 取
设平面 与平面 A C D， 夹角的， 则
故所求平面 与平面 A C D， 夹角的余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意知： 平面再利用线面垂直的定义得出线线垂直， 即，再利用 结合线面垂直判定定理得出 平面 ，再根据线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2）过 作 交 A C 于， 连结 D， F，再利用线线平行证出线面平行，则BC//平面D1EF ，故平面DEF即为平面，从而建立空间直角坐标系，由 (1)和 结合线面垂直的判定定理， 所以 平面再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，在 中结合勾股定理和直角三角形的面积公式得出 ，的长，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用， 故，再结合和线面垂直的判定定理，因此， 故 是 的一个法向量，再由数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面 ACD 的一个法向量，再由数量积求向量夹角余弦值公式得出平面与平面ACD的夹角的余弦值。
20．（2024高三上·潮州期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角的大小；
（2）若为线段延长线上一点，且，，求．
【答案】（1）解：在△ABC中，由已知条件及正弦定理可得2sin A cos B = 2 sin C -sin B
2sin A cos B = 2 sin( A+B)-sin B
2sin Acos B = 2 sin A cos B+2cos A sin 8-sin B
2 cos A sin B= sin B
因为， 所以
因为 是 的内角， 所以
另解： 因为， 由余弦定理有
整理得 ，
由余弦定理得，
因为 是 的内角， 所以
（2）解：设
在 中，，①
在 中，②
分子、分母除以 后可解得
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
方法一：在△ABC中，由已知条件及正弦定理和三角形内角和为180°的性质，再结合两角和的正弦公式和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值；
方法二：利用 结合余弦定理得 ，再由余弦定理和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值.
（2）设 ，在 中结合（1）中求出的角A的值和三角形内角和为180°的性质，再利用正弦定理得出 ，①，在 中由正弦定理得出 ②，再由作商法和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式得出角的正切值，再根据两角互补和诱导公式得出的值.
21．（2024高三上·潮州期末）已知函数，曲线在点处的切线为．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值．
【答案】（1）解：由 得：，
由切线方程可知： f (1)=2—1=1 已
，
解得： a=1，b=0
（2）解：由 (1) 知， 则 时， 恒成立
等价于 时， 恒成立
令， 则
令， 则
当 时，， 则 单调递增
， 使得
当 时， 时，
， 即正整数 的最大值为 3
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点的坐标，再结合点斜式方程得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值；
（2）由 (1) 知， 则当 时， 恒成立等价于当 时， 恒成立，再利用构造法，令， 再结合求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的最小值，由不等式恒成立问题求解方法得出m的取值范围，进而得出正整数m的最大值.
22．（2024高三上·潮州期末）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于C，D两点，过作的平行线交于点．
（1）证明：为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交于M，N两点，过且与垂直的直线与圆交于P，Q两点，求四边形面积的取值范围．
【答案】（1）证明：由题意可知， 故， 又， 故， 故
， 所以， 故，
又圆 标准方程为， 从而， 所以
由题设得
由椭圆的定义可得点 的轨迹方程为
（2）解：当 与 轴不垂直时， 设
由 得
则，
所以
过点 且与 / 垂直的直线 到 的距离为
所以
故四边形MPNQ的面积为
而， 故
当/与 轴不垂直时， 四边形 MPNQ 的面积的取值范围为
当/与 轴垂直时，其方程为， 四边形 M P N Q 的面积 12
综上， 四边形 MPNQ 的面积的取值范围为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析（1）由题意可知， 利用三角形中边角关系，故， 再利用， 故， ， 即， 故，再结合圆的半径得出AD的长，从而得，再由椭圆的定义可得点 的轨迹方程；
（2）当直线与 轴不垂直时， 设直线，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理和弦长公式得出，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而设出过点 且与 / 垂直的直线 再利用点到直线的距离公式得出点A到直线的距离为 ，再由弦长公式得出 ，再根据四边形的面积和三角形面积的关系式得出四边形MPNQ的面积为，再利用结合不等式的基本性质和分类讨论的方法得出四边形 MPNQ 的面积的取值范围.
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