湖北省武汉市武昌区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2018高二上·武汉期末）设函数 ，则 =（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】根据导数的定义： ，因为 ，所以 ，即 =-6
故答案为：A
【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．本题考查了导数的运算定义，属于基础题．
2．（2024高二下·武昌月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，，
所以切线的斜率，
所以在点处的切线方程为．
故答案为：A．
【分析】求出函数的导函数，求出切线的斜率，再求出切线方程即可．
3．（2024高二下·武昌月考）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，函数的定义域为，
由，得，
当在点处的切线平行于直线时，，
则，又，解得，所以，
所以平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离，
即点到直线的距离．
故答案为：D．
【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解．
4．（2024高二下·武昌月考）已知函数在区间存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为，则若函数在区间存在单调递减区间，
则在上有解，即存在，使得成立，
设，则，
当时，，
所以，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】求导可得，将问题转化为在上有解，再求出范围即可．
5．（2022高二下·邢台月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】∵，∴.
令，得.
则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.
A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；
B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；
C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；
D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数判断函数的单调性的方法和排除法，进而找出函数的大致图象。
6．（2024高二下·武昌月考）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意，在上的函数恒成立，
设，则，
因为上，所以，
所以在上单调递减，而，故，
所以，所以．
故答案为：B．
【分析】设，根据题意可得，根据单调性可得，进而得出大小关系．
7．（2024高二下·武昌月考）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且，
因为函数有唯一的极值点，
所以有唯一正实数根，
因为，所以，故在上无解，
所以在上无解，
设，，则，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
此时时，有最小值，
所以，所以，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】将问题转化为在上无解，设，根据条件可得，再求出的取值范围即可．
8．（2024高二下·武昌月考）设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，作出的图象，如图所示：
令，由图象可得，
因为，所以，
所以，所以，
令，则，令，解得，
当，即时，，则，单调递减，
则，解得，符合题意；
当，即时，
当时，；当时，；
故在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合题意；
综上，．
故答案为：B．
【分析】作出的图象，令，结合图象得到的范围，得到关于的表达式，构造函数，利用导数求解即可．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·武昌月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．只有一个零点 B．恒成立
C．在处得到极大值 D．是上的增函数
【答案】A,C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，
所以，所以，故只有一个零点，故A正确；
函数的定义域为，
当时，，此时，故B错误；
因为，，所以，
由，得，由，得，
所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以，故C正确，D错误．
故答案为：AC．
【分析】根据对数函数的性质、函数的零点、函数的极值和函数的单调性逐项判断即可．
10．（2024高二下·罗湖月考）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是奇函数
【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，，
所以，所以C正确；
对于D：因为的定义域为，
且，所以是偶函数，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A：根据导数的运算法则分析求解；对于BC：根据题意结合指数运算分析判断；对于D：根据题意结合函数奇偶性分析判断.
11．（2024高二下·武昌月考）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A．
B．
C．在上至少有2个零点
D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
对于ABC，由的图象关于y轴对称，
则，两边求导得，
即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，
的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
对由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
对于D，由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据的图象关于y轴对称，结合求导可求得的图象关于点对称，再根据为奇函数，可得的图象关于点对称且关于直线对称，进而可得为和的一个周期，可判断选项A，B，C，根据的图象关于对称，可判断选项D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·武昌月考）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，得，
由，得，由，得，
所以在区间上单调递减．
故答案为：.
【分析】利用导数直接求出的单调递减区间即可．
13．（2024高二下·武昌月考）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，
所以当或时，；当时，，
则在和上都单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
因为在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
所以，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：
【分析】讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可．
14．（2024高二下·武昌月考）若存在使对于任意不等式恒成立，则实数的最小值为
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，，
即，
令，则，时，，单调递增，
且，
令，则，
且，，
所以存在使得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
且，故，画出各个函数图象，如图所示：
当时，直线恒位于的图象上方，的图象下方，
b代表直线在y轴上的截距，
当直线变化时，观察得当直线过，且与曲线相切时，b最小．
设切点为，则，
整理得，
令，则，
，
而当时，，，
，故当|时，，
所以当时，为增函数，所以有唯一的零点1，
所以，切点为，此时直线方程为，故．
故答案为：．
【分析】根据条件，可得，设，，画出函数图象，当直线过，且与曲线相切时，b最小，设出切点，求出切线，根据函数的单调性计算最值即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二上·杭州期末）已知函数，直线l：与x轴交于点A．
（1）求过点A的的切线方程；
（2）若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
【答案】（1）解：设切点为，切线斜率，
∴切线方程为过点，则
，
∴或；
当时切线方程为；当时切线方程为
（2）解：，∴或．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求出，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）由平行知，求出点的横坐标即可.
16．（2024高二下·武昌月考）已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）解：由，得，
则，，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
所以，；
（2）解：由（1），得，则，
当或时，，当时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
所以的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；
（3）解：由（2）知，在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组求解；
（2）由得增区间，由得减区间，再求出极值；
（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再求出区间端点处的函数值，，与（2）中极值比较可得最值．
17．（2024高二下·武昌月考）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论函数的零点个数．
【答案】（1）由题意，
在中，当时，，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增．
综上所述，
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）在中，当时，，
当时，无解，∴无零点．
当时，．令，在中，，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，
∵当时，时，，
∴当即时，无零点，当即时，有一个零点；
当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．
综上所述，
当时，无零点；
当或者时，有一个零点；
当时，有两个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对函数求导，对分类讨论，求出函数的单调性即可；
（2）令，设并求导，比较和的大小，即可求出函数的零点个数．
18．（2024高二下·武昌月考）已知函数，.
（1）若函数在取极大值，求实数a的值；
（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
【答案】（1），，
当时，，令，，时单调递增，时单调递减，，所以，在单调递减，不符合题意。当时，经检验符合题意。所以。
（2）（i）函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，即等价于函数在内有两个不同的零点，.
设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；当时，在上，单调递增；
在上，单调递减，所以，当时，，函数有两个零点，则必有，
即，解得，又，
易证，证明如下：
令，，
当时，，单减，当时，单增，
故，故，得证.
，所以在和上各有一个零点，
故有两个零点时，a的范围为；
（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，
由且，得.
因为
令，则，记，，
由，令，.
又，则，即，
所以在上单调递增，故，即成立.
所以不等式成立.
法2：欲证，由，，则只需证：.
不妨设，则且，则，
所以
令，则，记，，
由，即在上单调递增，故，即成立.
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出的解析式与导函数，得到，求出的值，再代入检验即可；
（2）（i）要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，
设，得，通过分类讨论参数，再求出a的取值范围；
（ii）设，由，得，要证，即证，
令，设，，结合证明即可．
19．（2024高二下·武昌月考）给出下列两个定义：
I．对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II．对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
（3）已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，所以函数为“同定义域函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，对于函数，则，因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，可得，且，因为为单调递增函数，且，所以存在使得，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；
（3）①由题意得到，得到；②由题意求得且，令，求得，得到存在使得，进而得到单调性，分类讨论即可．
1 / 1湖北省武汉市武昌区2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2018高二上·武汉期末）设函数 ，则 =（ ）
A．-6 B．-3 C．3 D．6
2．（2024高二下·武昌月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·武昌月考）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024高二下·武昌月考）已知函数在区间存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二下·邢台月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·武昌月考）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·武昌月考）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·武昌月考）设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·武昌月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．只有一个零点 B．恒成立
C．在处得到极大值 D．是上的增函数
10．（2024高二下·罗湖月考）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．是奇函数
11．（2024高二下·武昌月考）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A．
B．
C．在上至少有2个零点
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·武昌月考）函数的单调递减区间为 .
13．（2024高二下·武昌月考）若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 ．
14．（2024高二下·武昌月考）若存在使对于任意不等式恒成立，则实数的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二上·杭州期末）已知函数，直线l：与x轴交于点A．
（1）求过点A的的切线方程；
（2）若点B在函数图象上，且在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．
16．（2024高二下·武昌月考）已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在区间上的最大值．
17．（2024高二下·武昌月考）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论函数的零点个数．
18．（2024高二下·武昌月考）已知函数，.
（1）若函数在取极大值，求实数a的值；
（2）若函数在定义域内有两个不同的极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当时，证明：.
19．（2024高二下·武昌月考）给出下列两个定义：
I．对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II．对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
（3）已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】根据导数的定义： ，因为 ，所以 ，即 =-6
故答案为：A
【分析】变形利用导数的运算定义即可得出．本题考查了导数的运算定义，属于基础题．
2．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，，
所以切线的斜率，
所以在点处的切线方程为．
故答案为：A．
【分析】求出函数的导函数，求出切线的斜率，再求出切线方程即可．
3．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，函数的定义域为，
由，得，
当在点处的切线平行于直线时，，
则，又，解得，所以，
所以平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离，
即点到直线的距离．
故答案为：D．
【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解．
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
因为，则若函数在区间存在单调递减区间，
则在上有解，即存在，使得成立，
设，则，
当时，，
所以，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】求导可得，将问题转化为在上有解，再求出范围即可．
5．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】∵，∴.
令，得.
则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.
A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；
B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；
C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；
D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数判断函数的单调性的方法和排除法，进而找出函数的大致图象。
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意，在上的函数恒成立，
设，则，
因为上，所以，
所以在上单调递减，而，故，
所以，所以．
故答案为：B．
【分析】设，根据题意可得，根据单调性可得，进而得出大小关系．
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
且，
因为函数有唯一的极值点，
所以有唯一正实数根，
因为，所以，故在上无解，
所以在上无解，
设，，则，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
此时时，有最小值，
所以，所以，所以，
所以的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】将问题转化为在上无解，设，根据条件可得，再求出的取值范围即可．
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，作出的图象，如图所示：
令，由图象可得，
因为，所以，
所以，所以，
令，则，令，解得，
当，即时，，则，单调递减，
则，解得，符合题意；
当，即时，
当时，；当时，；
故在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合题意；
综上，．
故答案为：B．
【分析】作出的图象，令，结合图象得到的范围，得到关于的表达式，构造函数，利用导数求解即可．
9．【答案】A,C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，
所以，所以，故只有一个零点，故A正确；
函数的定义域为，
当时，，此时，故B错误；
因为，，所以，
由，得，由，得，
所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以，故C正确，D错误．
故答案为：AC．
【分析】根据对数函数的性质、函数的零点、函数的极值和函数的单调性逐项判断即可．
10．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，故B错误；
对于C：因为，，
所以，所以C正确；
对于D：因为的定义域为，
且，所以是偶函数，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】对于A：根据导数的运算法则分析求解；对于BC：根据题意结合指数运算分析判断；对于D：根据题意结合函数奇偶性分析判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
对于ABC，由的图象关于y轴对称，
则，两边求导得，
即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，
的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
对由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
对于D，由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据的图象关于y轴对称，结合求导可求得的图象关于点对称，再根据为奇函数，可得的图象关于点对称且关于直线对称，进而可得为和的一个周期，可判断选项A，B，C，根据的图象关于对称，可判断选项D．
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
由，得，
由，得，由，得，
所以在区间上单调递减．
故答案为：.
【分析】利用导数直接求出的单调递减区间即可．
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，得，
所以当或时，；当时，，
则在和上都单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值，
因为在区间上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
所以，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：
【分析】讨论函数的单调性，确定其极小值点与极小值，由给定条件探讨极小值点位置、区间上函数值与极小值的关系即可．
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：，，
即，
令，则，时，，单调递增，
且，
令，则，
且，，
所以存在使得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
且，故，画出各个函数图象，如图所示：
当时，直线恒位于的图象上方，的图象下方，
b代表直线在y轴上的截距，
当直线变化时，观察得当直线过，且与曲线相切时，b最小．
设切点为，则，
整理得，
令，则，
，
而当时，，，
，故当|时，，
所以当时，为增函数，所以有唯一的零点1，
所以，切点为，此时直线方程为，故．
故答案为：．
【分析】根据条件，可得，设，，画出函数图象，当直线过，且与曲线相切时，b最小，设出切点，求出切线，根据函数的单调性计算最值即可．
15．【答案】（1）解：设切点为，切线斜率，
∴切线方程为过点，则
，
∴或；
当时切线方程为；当时切线方程为
（2）解：，∴或．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）设切点，求出，利用导数的几何意义求出切线方程即可.
（2）由平行知，求出点的横坐标即可.
16．【答案】（1）解：由，得，
则，，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得；
所以，；
（2）解：由（1），得，则，
当或时，，当时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是；
所以的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；
（3）解：由（2）知，在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组求解；
（2）由得增区间，由得减区间，再求出极值；
（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再求出区间端点处的函数值，，与（2）中极值比较可得最值．
17．【答案】（1）由题意，
在中，当时，，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增．
综上所述，
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）在中，当时，，
当时，无解，∴无零点．
当时，．令，在中，，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，
∵当时，时，，
∴当即时，无零点，当即时，有一个零点；
当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．
综上所述，
当时，无零点；
当或者时，有一个零点；
当时，有两个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对函数求导，对分类讨论，求出函数的单调性即可；
（2）令，设并求导，比较和的大小，即可求出函数的零点个数．
18．【答案】（1），，
当时，，令，，时单调递增，时单调递减，，所以，在单调递减，不符合题意。当时，经检验符合题意。所以。
（2）（i）函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，即等价于函数在内有两个不同的零点，.
设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；当时，在上，单调递增；
在上，单调递减，所以，当时，，函数有两个零点，则必有，
即，解得，又，
易证，证明如下：
令，，
当时，，单减，当时，单增，
故，故，得证.
，所以在和上各有一个零点，
故有两个零点时，a的范围为；
（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，
由且，得.
因为
令，则，记，，
由，令，.
又，则，即，
所以在上单调递增，故，即成立.
所以不等式成立.
法2：欲证，由，，则只需证：.
不妨设，则且，则，
所以
令，则，记，，
由，即在上单调递增，故，即成立.
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求出的解析式与导函数，得到，求出的值，再代入检验即可；
（2）（i）要使在定义域内有两个不同的极值点，，需满足在内有两个不同的零点，，
设，得，通过分类讨论参数，再求出a的取值范围；
（ii）设，由，得，要证，即证，
令，设，，结合证明即可．
19．【答案】（1）解：对于函数，则，
这两个函数的定义域都是，所以函数为“同定义域函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，对于函数，则，因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若成立，，则，
设，则，所以为“单向导函数”，
又设，则，所以为“双向导函数”，
但不是常值函数，所以不是的必要条件；
若成立，则，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意，，且，
所以，所以；
②由题意，所以且，
令，可得，且，因为为单调递增函数，且，所以存在使得，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增，
（i）当时，即，
所以，
此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，所以；
（iii）当且时，，
所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，
由当时，，
令，则，
设，则，
所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，
综上可得，，所以实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，得到，进而得出结论；
（3）①由题意得到，得到；②由题意求得且，令，求得，得到存在使得，进而得到单调性，分类讨论即可．
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