四川省绵阳市部分中学2023-2024学年高二下学期数学3月月考试卷
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．（2024高二下·绵阳月考）已知等差数列中，，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·绵阳月考）已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
3．（2024高二下·绵阳月考）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）
A．44~56周岁人群理财人数最多
B．18~30周岁人群理财总费用最少
C．B理财产品更受理财人青睐
D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
4．（2024高二下·绵阳月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024高二下·绵阳月考）我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”意思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（ ）
A．底层塔共挂了128盏灯
B．顶层塔共挂了2盏灯
C．最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200
D．最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍
6．（2024高二下·绵阳月考）任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则（ ）
A． B．
C． D．B，C相互独立
7．（2024高二下·绵阳月考）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·绵阳月考）已知各项都不为零的无穷数列满足：，若为数列中的最小项，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2024高二下·绵阳月考）已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为4 B．
C． D．数列的公比为
10．（2024高二下·绵阳月考）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则（ ）
A．
B．这组数据的众数和中位数均为4
C．这组数据的方差为3.8
D．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变
11．（2024高二下·绵阳月考）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．为的最大值
C．存在正整数，使得 D．不存在正整数，使得
12．（2024高二下·绵阳月考）某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．积分为2分时的概率最大
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．（2024高二下·绵阳月考）斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为 ．
14．（2024高二下·绵阳月考）如图所示，电路元件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为 ．
15．（2024高二下·绵阳月考）已知数列满足(n∈N*)，且，则 .
16．（2024高二下·绵阳月考）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高二下·绵阳月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.
18．（2024高二下·绵阳月考）已知等比数列的首项，公比，数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列前项和为，求使的所有正整数的值的和．
19．（2024高二下·绵阳月考）某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
20．（2024高二下·绵阳月考）已知等差数列的前项和为，，其中、、成等比数列.等比数列的前项和为，且().
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
21．（2024高二下·绵阳月考）已知数列，若，且.
（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求证：.
22．（2024高二下·绵阳月考）数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足(，).
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件结合等差数列的性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公式为，由，可得，则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公式为，由题意结合等比数列的求和公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：由饼状图可知：44~56周岁理财人数最多，故A正确；
由折线图可知，18~30周岁人群理财费用比57周岁以上人均理财费用的一半还多，而18~30周岁理财人数所占比例是57周岁以上理财人数所占比例的7倍多，所以57周岁人群理财总费用最少，故B错误；
由柱状图可知，理财产品更受理财人青睐，故C正确；
由折线图可知，年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据统计图逐项分析即可.
4．【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由数列满足：，， 可得，，，，，，
，……，所以根据“冰霓猜想”可知.
故答案为：B.
【分析】根据“冰霓猜想”结合数列的递推关系找规律求解即可.
5．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：从上往下每层塔所挂灯的盏数构成以2为公比的等比数列，且，解得，
所以顶层塔共挂了2盏灯；底层塔共挂了盏灯，最上面3层塔所挂灯的总盏数为14，最下面3层塔所挂灯的总盏数为224，
则最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200 .
故答案为：C.
【分析】由题意易知数列是以2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式求，结合各选项的描述及等比数列通项公式、前n项和公式判断即可.
6．【答案】C
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、由题意可知：，，故A错误；
B、，，，故B错误；
C、，则，故C正确；
D、由选项AB知，，即B，C相互不独立，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件，利用古典概率计算即可判断ABC；利用相互独立事件的定义即可判断D.
7．【答案】D
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足 （1），
所以，当时， （2），
（1）（2）两式作差可得，
故，当，，符合，故.
故答案为：D.
【分析】由题意写出，当时，，两式作差整理求解即可.
8．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为各项都不为零的无穷数列满足，所以，即，
故数列是公差为1的等差数列，则，
又因为是数列中的最小项，所以，所以，且，解得.
故答案为：A.
【分析】原式变形可得，推出数列为等差数列，公差为1，得，结合为数列中的最小项，得到，解不等式即可求得的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差为，由，可得，即，不能确定的值，故A错误；
B、由A选项可知，即，故B正确；
C、设等比数列的公比为，由，求得，则，故C正确；
D、由C选项可知：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据等差数列、等比数列的基本量运算求解判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、因为数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，
所以，解得，故A正确；
B、将数据从小到大排列可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，可得数据的众数为4，中位数为，故B错误；
C、，故C正确；
D、若将这组数据每一个都加上0.3，则平均数变为，
，则所有新数据的方差不变，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据数据的平均数求得原始数据，再利用众数、中位数，方差的公式，逐项计算判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：A、设等差数列公差为d，因为，所以，
解得，又因为，所以，即，所以，
所以，，所以，，故数列为递减数列，故A错误；
B、因为，，，故为的最大值，故B正确；
C、，故，故C正确；
D、假设，则，即，
又由，得，即，所以，解得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设等差数列公差为d，由得到，再由判断正负即可判断AB；利用等差数列的求和公式与性质即可判断CD.
12．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、表示积分为1，即罚点球一次且没罚进，故，故A正确；
B、表示积分为2，即罚点球一次且罚进或罚点球两次且都没罚进，，
当时，积分为，表示上一次积分为这次没罚进或上一次积分为这次罚进，
则有，故B正确；
C、由B 可知：当时，由得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，
由累加法可得，和也满足，故，故C错误；
D、为奇数时，；为偶数时，且单调递减，所以积分为2分时的概率最大，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由积分为1的情况计算即可判断A；由的递推关系验证即可判断B；由递推公式求通项验证即可判断C；由通项公式判断最值验证即可判断D.
13．【答案】21
【知识点】斐波那契数列
【解析】【解答】解：由斐波那契数列的前7项1，1，2，3，5，8，13可知：数列的前两项都是，从第三项起，每一项都是前两项的和，
故第项为.
故答案为：.
【分析】观察斐波那契数列的前面的项，总结出规律求解即可.
14．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由图可知：电路能正常工作的条件是：元件必须正常工作，元件、至少有一个正常工作，
故电路能正常工作的概率为.
故答案为：.
【分析】电路能正常工作的条件是：元件必须正常工作，元件，至少有一个正常工作，由此求解即可.
15．【答案】100
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，即，所以，
所以数列是以2为公比的等比数列，又因为，
所以.
故答案为：100.
【分析】根据已知条件结合对数函数的运算，可得数列是以2为公比的等比数列，再根据等比数列的形式以及对数函数的运算求值即可.
16．【答案】1
【知识点】基本不等式；数列的概念及简单表示法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
由题意可知：，，，，，
叠加可得：，整理得，
当，，满足，所以，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，又因为，所以等号取不到，所以的最小值为1，当时取最小值.
故答案为：.
【分析】由题意先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再利用基本不等式求最小值即可.
17．【答案】（1）解：因为每组小矩形的面积之和为1，所以，
则
（2）解：成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84．
（3）解：由图根据分层抽样，在内选取2人，记为，在[90，100]内选取4人，记为a，b，c，d．
从这6人中选取2人的所有选取方法：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，
2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种．
故从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图，结合第75百分位数的计算公式求解即可；
（3）根据分层抽样确定每层的人数，再结合古典概型的概率计算公式求解即可.
18．【答案】（1）解：因为等比数列的首项，公比，
所以
所以，
所以，
所以是首项为4，公差为-2的等差数列；
（2）解：由（1）可得，所以，
令，解得
又，所以，
所以，
故所有正整数的值的和为36．
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，由等比数列的通项公式求出，再由对数函数运算化简求得，最后利用等差数列定义证明即可；
（2）由等差数列求和公式求和后解不等式即可得到满足条件的n，求和即可.
19．【答案】（1）解：依题意记甲队总得分为1分为事件，甲队总得分为2分为事件，则，
所以甲队总得分为1分的概率为分的概率为；
（2）解：依题意甲队总得分为0分的概率为，
得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为；
乙队总得分为0分的概率为，得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为；
则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算即可；
（2）先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算即可；
20．【答案】（1）解：依题意，设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，又，
即，整理可得，解得，
故，
当时，，
则公比，则.
（2）解：由（1）得，
故，
则，
两式相减得
，故
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等比中项的性质和等差数列的基本量法求出等差数列的通项；利用等比数列的基本量法求出等比数列的通项即可；
（2）由（1）得，利用错位相减法求和即可.
21．【答案】（1）证明：因为数列满足，所以，
又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以
（2）证明：因为，且结合（1）得，所以，
，
，所以数列是递增数列，，所以，
又因为，所以，
所以
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义结合递推关系式证明即可；再根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式即可；
（2）由，结合（1）得，则，根据裂项相消法求解数列的前项和为，再根据的单调性求最值即可证明.
22．【答案】（1）解：因为Sn=2an-2，
当时，，
两式相减，得，即，
又时，，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故．
（2）解：①当时，得时，得时，得，则由，得．
而当时，由得．
由，故当时，数列为等差数列．
②由题意知，则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，不合题意，舍去；
从而必是数列中的某一项，
又所以
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，推出，再求得，得到数列为等比数列，即可求解；
（2）①根据题意，求得的值，结合，解得，即可求解；
② 根据题意，得到必是数列中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值即可.
1 / 1四川省绵阳市部分中学2023-2024学年高二下学期数学3月月考试卷
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．（2024高二下·绵阳月考）已知等差数列中，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，则.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件结合等差数列的性质求解即可.
2．（2024高二下·绵阳月考）已知等比数列，则数列的前10项和为（ ）
A．55 B．110 C．511 D．1023
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公式为，由，可得，则.
故答案为：D.
【分析】设等比数列的公式为，由题意结合等比数列的求和公式求解即可.
3．（2024高二下·绵阳月考）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）
A．44~56周岁人群理财人数最多
B．18~30周岁人群理财总费用最少
C．B理财产品更受理财人青睐
D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
【答案】B
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：由饼状图可知：44~56周岁理财人数最多，故A正确；
由折线图可知，18~30周岁人群理财费用比57周岁以上人均理财费用的一半还多，而18~30周岁理财人数所占比例是57周岁以上理财人数所占比例的7倍多，所以57周岁人群理财总费用最少，故B错误；
由柱状图可知，理财产品更受理财人青睐，故C正确；
由折线图可知，年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据统计图逐项分析即可.
4．（2024高二下·绵阳月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由数列满足：，， 可得，，，，，，
，……，所以根据“冰霓猜想”可知.
故答案为：B.
【分析】根据“冰霓猜想”结合数列的递推关系找规律求解即可.
5．（2024高二下·绵阳月考）我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”意思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是（ ）
A．底层塔共挂了128盏灯
B．顶层塔共挂了2盏灯
C．最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200
D．最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：从上往下每层塔所挂灯的盏数构成以2为公比的等比数列，且，解得，
所以顶层塔共挂了2盏灯；底层塔共挂了盏灯，最上面3层塔所挂灯的总盏数为14，最下面3层塔所挂灯的总盏数为224，
则最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200 .
故答案为：C.
【分析】由题意易知数列是以2为公比的等比数列，再利用等比数列前n项和公式求，结合各选项的描述及等比数列通项公式、前n项和公式判断即可.
6．（2024高二下·绵阳月考）任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则（ ）
A． B．
C． D．B，C相互独立
【答案】C
【知识点】相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：A、由题意可知：，，故A错误；
B、，，，故B错误；
C、，则，故C正确；
D、由选项AB知，，即B，C相互不独立，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件，利用古典概率计算即可判断ABC；利用相互独立事件的定义即可判断D.
7．（2024高二下·绵阳月考）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列满足 （1），
所以，当时， （2），
（1）（2）两式作差可得，
故，当，，符合，故.
故答案为：D.
【分析】由题意写出，当时，，两式作差整理求解即可.
8．（2024高二下·绵阳月考）已知各项都不为零的无穷数列满足：，若为数列中的最小项，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：因为各项都不为零的无穷数列满足，所以，即，
故数列是公差为1的等差数列，则，
又因为是数列中的最小项，所以，所以，且，解得.
故答案为：A.
【分析】原式变形可得，推出数列为等差数列，公差为1，得，结合为数列中的最小项，得到，解不等式即可求得的取值范围.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2024高二下·绵阳月考）已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项为4 B．
C． D．数列的公比为
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、设等差数列的公差为，由，可得，即，不能确定的值，故A错误；
B、由A选项可知，即，故B正确；
C、设等比数列的公比为，由，求得，则，故C正确；
D、由C选项可知：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据等差数列、等比数列的基本量运算求解判断即可.
10．（2024高二下·绵阳月考）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则（ ）
A．
B．这组数据的众数和中位数均为4
C．这组数据的方差为3.8
D．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、因为数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，
所以，解得，故A正确；
B、将数据从小到大排列可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，可得数据的众数为4，中位数为，故B错误；
C、，故C正确；
D、若将这组数据每一个都加上0.3，则平均数变为，
，则所有新数据的方差不变，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据数据的平均数求得原始数据，再利用众数、中位数，方差的公式，逐项计算判断即可.
11．（2024高二下·绵阳月考）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．为的最大值
C．存在正整数，使得 D．不存在正整数，使得
【答案】B,C
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：A、设等差数列公差为d，因为，所以，
解得，又因为，所以，即，所以，
所以，，所以，，故数列为递减数列，故A错误；
B、因为，，，故为的最大值，故B正确；
C、，故，故C正确；
D、假设，则，即，
又由，得，即，所以，解得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】设等差数列公差为d，由得到，再由判断正负即可判断AB；利用等差数列的求和公式与性质即可判断CD.
12．（2024高二下·绵阳月考）某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．积分为2分时的概率最大
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、表示积分为1，即罚点球一次且没罚进，故，故A正确；
B、表示积分为2，即罚点球一次且罚进或罚点球两次且都没罚进，，
当时，积分为，表示上一次积分为这次没罚进或上一次积分为这次罚进，
则有，故B正确；
C、由B 可知：当时，由得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，
由累加法可得，和也满足，故，故C错误；
D、为奇数时，；为偶数时，且单调递减，所以积分为2分时的概率最大，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由积分为1的情况计算即可判断A；由的递推关系验证即可判断B；由递推公式求通项验证即可判断C；由通项公式判断最值验证即可判断D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．（2024高二下·绵阳月考）斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为 ．
【答案】21
【知识点】斐波那契数列
【解析】【解答】解：由斐波那契数列的前7项1，1，2，3，5，8，13可知：数列的前两项都是，从第三项起，每一项都是前两项的和，
故第项为.
故答案为：.
【分析】观察斐波那契数列的前面的项，总结出规律求解即可.
14．（2024高二下·绵阳月考）如图所示，电路元件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为 ．
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由图可知：电路能正常工作的条件是：元件必须正常工作，元件、至少有一个正常工作，
故电路能正常工作的概率为.
故答案为：.
【分析】电路能正常工作的条件是：元件必须正常工作，元件，至少有一个正常工作，由此求解即可.
15．（2024高二下·绵阳月考）已知数列满足(n∈N*)，且，则 .
【答案】100
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列满足，所以，即，所以，
所以数列是以2为公比的等比数列，又因为，
所以.
故答案为：100.
【分析】根据已知条件结合对数函数的运算，可得数列是以2为公比的等比数列，再根据等比数列的形式以及对数函数的运算求值即可.
16．（2024高二下·绵阳月考）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
【答案】1
【知识点】基本不等式；数列的概念及简单表示法；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21，
由题意可知：，，，，，
叠加可得：，整理得，
当，，满足，所以，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，又因为，所以等号取不到，所以的最小值为1，当时取最小值.
故答案为：.
【分析】由题意先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再利用基本不等式求最小值即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高二下·绵阳月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.
【答案】（1）解：因为每组小矩形的面积之和为1，所以，
则
（2）解：成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84．
（3）解：由图根据分层抽样，在内选取2人，记为，在[90，100]内选取4人，记为a，b，c，d．
从这6人中选取2人的所有选取方法：
AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，
2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法：
Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共8种．
故从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率为．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1列式求解即可；
（2）根据频率分布直方图，结合第75百分位数的计算公式求解即可；
（3）根据分层抽样确定每层的人数，再结合古典概型的概率计算公式求解即可.
18．（2024高二下·绵阳月考）已知等比数列的首项，公比，数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列前项和为，求使的所有正整数的值的和．
【答案】（1）解：因为等比数列的首项，公比，
所以
所以，
所以，
所以是首项为4，公差为-2的等差数列；
（2）解：由（1）可得，所以，
令，解得
又，所以，
所以，
故所有正整数的值的和为36．
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，由等比数列的通项公式求出，再由对数函数运算化简求得，最后利用等差数列定义证明即可；
（2）由等差数列求和公式求和后解不等式即可得到满足条件的n，求和即可.
19．（2024高二下·绵阳月考）某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.
（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
【答案】（1）解：依题意记甲队总得分为1分为事件，甲队总得分为2分为事件，则，
所以甲队总得分为1分的概率为分的概率为；
（2）解：依题意甲队总得分为0分的概率为，
得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为；
乙队总得分为0分的概率为，得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为；
则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算即可；
（2）先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算即可；
20．（2024高二下·绵阳月考）已知等差数列的前项和为，，其中、、成等比数列.等比数列的前项和为，且().
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）解：依题意，设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，又，
即，整理可得，解得，
故，
当时，，
则公比，则.
（2）解：由（1）得，
故，
则，
两式相减得
，故
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等比中项的性质和等差数列的基本量法求出等差数列的通项；利用等比数列的基本量法求出等比数列的通项即可；
（2）由（1）得，利用错位相减法求和即可.
21．（2024高二下·绵阳月考）已知数列，若，且.
（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明：因为数列满足，所以，
又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以
（2）证明：因为，且结合（1）得，所以，
，
，所以数列是递增数列，，所以，
又因为，所以，
所以
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义结合递推关系式证明即可；再根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式即可；
（2）由，结合（1）得，则，根据裂项相消法求解数列的前项和为，再根据的单调性求最值即可证明.
22．（2024高二下·绵阳月考）数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足(，).
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
【答案】（1）解：因为Sn=2an-2，
当时，，
两式相减，得，即，
又时，，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故．
（2）解：①当时，得时，得时，得，则由，得．
而当时，由得．
由，故当时，数列为等差数列．
②由题意知，则当时，，不合题意，舍去；
当时，，所以成立；
当时，若，则，不合题意，舍去；
从而必是数列中的某一项，
又所以
即，所以
因为为奇数，而为偶数，所以上式无解．
即当时，
综上所述，满足题意的正整数仅有．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，推出，再求得，得到数列为等比数列，即可求解；
（2）①根据题意，求得的值，结合，解得，即可求解；
② 根据题意，得到必是数列中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值即可.
1 / 1
