北师大版八年级上册2.7 二次根式（一） 教学设计

2.7二次根式（一）
一、教学内容解析
《二次根式（一）》在数与代数中的地位如下图所示：
《二次根式（一）》是北师大版八年级上册第二章《实数》第七节《二次根式》第一课时的内容，从数系的扩充，以及实数的运算在初中阶段后继学习一元二次方程、二次函数中的作用等方面来看，数系扩充是源于生活的需要，数系扩充后，不仅需要定义相关概念，还需要对已有的运算法则进行推导和验证.从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的，同时实数的运算为初中阶段后继学习一元二次方程、二次函数奠定了基础.
本节课给出了二次根式的概念和最简二次根式的概念，还推导出二次根式的性质，为实数中后继学习的相关运算打基础.为此，确定本节课的重点是：将二次根式化为最简二次根式.
二、教学目标
本小节分为三个课时.第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力.
为此，确定本节课教学目标是：
1.通过“明晰概念”和“应用新知”让学生了解二次根式和最简二次根式的概念，发展抽象概括能力.
2.通过“探索性质”、“应用新知”和“课堂小结”让学生掌握二次根式的性质，体会类比的学习方法和从特殊到一般的数学思想.
3.通过“应用新知”和“课堂小结”让学生能将二次根式（根号下仅限于数）化简为最简二次根式，发展运算能力.
三、学生学情分析
七年级上学期学习第二章《有理数及其运算》时，学生经历了数系的第一次扩充，已经积累了一些数系扩充的学习经验，感受到数系扩充是源于实际生活的需要，本章再次引领学生经历数系扩充的过程，感受数系扩充的必要性，学生比较容易理解.七年级上学期，已掌握了有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，经历了数与代数的抽象、运算与建模等过程，有一定的数感、符号意识，初步形成运算能力，有一定的形象思维与抽象思维,初步体会到转化、归纳等思想.七年级下学期学习第一章《整式的乘除》时，学生经历了从特殊到一般的过程，进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，能有条理地表达自己思考的过程，对算理的理解和运算能力有一定的提高，数感、符号意识也逐步增强.本学期又学习了算术平方根、平方根、立方根，认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算提供了知识基础和方法基础，教学目标1和教学目标2比较容易达成.对于教学目标3，将二次根式化简对学生来讲毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度.因此，确定本节课的难点是：将二次根式化为最简二次根式.
四、教学重难点
了解二次根式和最简二次根式的概念，发展抽象概括能力.掌握二次根式的性质，体会类比的学习方法和从特殊到一般的数学思想.
五、教学过程
【第一环节】明晰概念
观察下列代数式： ，这些式子，都含有什么运算？
介绍二次根式的概念：一般地，形如的式子叫做二次根式.
追问：为什么这个中的？
设计意图：开门见山，直接提出二次根式的概念，是含有开方运算的式子。通过追问，让学生明白，只有非负数才能进行开二次方运算（偶次方运算）.
【第二环节】探究性质
活动1 探究二次根式的性质1
（1）请计算下列各式，并通过观察提出你的猜想.
＝ ， ＝ ；
＝ ，＝ ；
（2）估计下列每一组的各式是否相等，并用计算器计算：
与；与.
（3）请在按照以上的格式，任意写出两组式子，在小组内用计算器进行验证.
（4）请用含有字母的等式表示你的猜想，并用文字语言叙述你的猜想.
追问：为什么这个等式后面需要写上“，”这个条件？不写可以吗？
活动2 探究二次根式的性质2
（1）计算下列各式，并通过观察提出你的猜想.
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ．
（2）估计下列每一组的各式是否相等，并用计算器计算：
与； 与
（3）请再按照以上的格式，任意写出两组式子，在小组内用计算器进行验证.
（4）请用含有字母的等式表示你的猜想，并用文字语言叙述你的猜想.
追问：这个等式后面还是写上“，”这个条件吗？
继续追问：为什么要求，而不是呢？
设计意图：通过对两个非负数先进行乘除运算、再进行开算术平方运算，和对两个非负数先进行开算术平方运算、再进行乘除运算，对两种运算顺序不同的结果进行验证，从特殊（完全平方数），到不是完全平方数的非负数的验证.学生在老师的带领下完成对活动1的探究，然后自己独立完成活动2的探究，让学生能在老师的帮助下，逐渐学会自主学习.
把北师版教材上的这个探究过程分成两个活动完成，一方面是基于我们学校学生的实际，另一方面，也是为了让学生先模仿探究过程，从师生共做，到独立完成，实现培养学生的学习能力.同时活动2是类比活动1进行探究的，用到了类比的学习方法.两个活动都是从特例出发，观察结果，引发猜想，再举例验证，归纳出一般的结论，在这个环节中，渗透了特殊到一般的数学思想，体会数学语言的相互转化，感受数学探究的一般过程.
【第三环节】应用新知
1. 化简：（1）； （2）； （3）.
解：
（1）
（2）
（3）
教师活动：引导学生一步一步完成，并且追问每一步的算理.当三个小题完成后，引导学生观察，这三个式子的运算过程，并追问：
追问：对二次根式的化简，我们需要做些什么？
对（1）式的化简，把平方因数开出来了；（2）平方因数开出来了，不是平方因数的数直接放在根号内；（3）被开方数中不含有分母.化简二次根式化简到什么程度呢？
最简二次根式的概念：
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
设计意图：学习完二次根式的性质后，自然就是运用二次根式的性质进行化简.虽然现在学生还没有最简二次根式的概念，但根据刚学的二次根式的性质，可以先分别开方，再进行乘除运算，题目中的一些数是完全平方数，因此可能会有学生能自主进行化简.在学生已有的化简经验（分数的化简—约分）基础上，在教师指导下，让学生一起经历化简这个过程，那到底要化到什么程度呢？就是要化到最简二次根式，从而顺其自然地引出最简二次根式的概念.小结二次根式化简时的要求：①根号里不含有开得尽方的因数或因式；②根号里必须是整数；③分母必须是整数，并结合例题分析如何判断一个二次根式是不是最简二次根式.接下来的环节让学生判断是否是最简二次根式，并对不是最简二次根式的化成最简二次根式，这是学习概念的基本环节，就是对概念的辨析.
2. 例题：下列二次根式中，最简二次根式的有哪些？并把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5） （6）
设计意图：判断是不是最简二次根式，判断的依据就是最简二次根式的定义，老师分析的时候，一定要结合定义进行分析.判断并化简后，教师引导学生反思化简活动过程，学生可能会说：（2）小问我立马就发现被开方数45可以写成3乘以3乘以5.其实可以用小学所学的短除法，先分解因数，只要是两个相同的因数就可以开算术平方.（5）小问的分母是7，不含有根号,被开方数14是整数，不是分数，且不含开得尽方的因数，所以是最简二次根式。如果学生表达不清楚，教师可以通过追问的方式，比如：“遇到稍大一点的数，一下发现不了是否含有平方因数时怎么办呢”，“化简二次根式的要求有哪些”.希望学生体会到：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面.从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．从而积累解决相关问题的经验，提升学生对二次根式化简的理解水平.通过此环节，突破本节课的重难点.
3.小游戏“我是小老师”： 两人为一组，每人写一个二次根式，让对方先判断是否是最简二次根式，若不是，再化简，最后交换批改.
设计意图：教师巡视，及时指导，引导学生充分分享交流，进一步提升学生对二次根式化简的理解水平，激发学生对数学学习的兴趣.
【第四环节】课堂小结
学生回顾本节课所学，先独立思考，接着组内分享，最后再全班交流.教师引导学生对知识的获取过程进行小结，比如：①“我们如何总结出二次根式的两条性质的呢？”---先从特殊数字出发，观察计算结果，引发猜想，举例验证，总结归纳.这个过程让我们体会到观察、归纳等数学方法，有特例推广到一般结论，让我们还体会到从特殊到一般的数学思想.同时性质2的推导方法类比了性质2的推导方法，让我们体会到类比的学习方法.②“化简二次根式时你有哪些经验与体会？”—化简其实就是将根号里一部分因数移到了根号外面.根号里含平方因数时，可以利用短除法分解质因数；根号里有分母时，分母仍可以利用短除法分解，利用分数的性质将分子与分母同时乘以最小的一个整数进行化简.③“化简后的结果有何要求？如何检查？”----一定要化到最简，对照这三点进行检查：①根号里不含有开得尽方的因数或因式；②根号里必须是整数；③分母必须是整数.
设计意图：课堂小结不仅仅是知识的小结，还应有获取知识过程方法的小结.教师引导学生从以上三个方面归纳小结，提炼升华，不仅使知识更加系统化，也培养了学生概括能力、语言表达能力，使每个学生都体验到成功的喜悦，同时也养成良好的反思习惯.最后教师提出几个反思性问题，让学生解决问题的经验得到提升.
【第五环节】分层作业
【必做题】教材第43页习题2.9第1.2.3题.
【选做题】教材第43页习题2.9第4题.
设计意图：关注学生对运算法则的理解，让绝大部分学生能依据算理正确地计算，让不同层次的学生都能掌握相应难度的数学知识.
六、板书设计
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