2024年九年级下册数学期中考试试卷（含答案）

2024年九年级下册数学期中考试试卷
时间:100分钟 满分:120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.下面四个图形中，是中心对称图形的是( )
2.一元二次方程x2的根为( )
A.x= B.x1=，x2＝0 C.x1＝x2 = D.x1=，x2= --
3.下列事件属于随机事件的是( )
A.常压下，温度降到0℃以下，自来水会结冰 B.随意打开一本书，书的页码是奇数
C.任意一个五边形的外角和等于540° D.如果a＝b，那么a2＝b2
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高，AB＝4，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是( )
A.点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B.点D在圆C内，点A，B均在圆C外
C.点A,B,D均在圆C外 D.点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上
5.已知抛物线y＝ax2+bx与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为-2b，则抛物线的对称轴为直线( )
A.x＝2 B.x＝4 C.x＝-4 D.x＝-2
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，若∠BCD＝100°，则∠BAD的度数为( )
A.70° B.75° C.80° D.85°
7.已知a，b是方程x2+6x-2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为( )
A.-4 B.-9 C.0 D.9
8.如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE＝1，AD＝5，∠ADC＝ 30°，则BC的长为( )
A.4 B.3 C.4 D.5
9.如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A′OB′，若，则点A的对应点A′的坐标为( )
A.（-1，1） B.（-1，） C.（-1，2） D.（-1，）
10.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴分别交于
A（-，0）， B（，0）两点，与y轴正半轴交于点C，下列判断:① abc＜0;② 4ac-b2＞0
③ c-a＜0;④ 2a+b＝0;⑤ 若（-，y1），（3，y2）是抛物线上的两个点，则y1 y2.其中正确的是( )
A.② ③ B.① ② ④ C.③ ④ ⑤ D.① ④ ⑤
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11.某工厂为了能给市面上提供充足的篮球，第一个季度至第三个季度生产篮球由63200个增加到91008个，若设该工厂平均每季度生产篮球的增长率为x，则可列方程为_____.
12.如图，有四张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“速度滑冰”、“冰球”、“单板滑雪”、 ‘冰壶“四种不同的图案，现将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，则该卡片的正面图案恰好是“冰壶”的概率是____.
13.二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx＝m有实数根，则m的值可以为.（写出一个值即可）
如图，在等边△ABC中，AC＝4，点D为AC边的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，AA′是点A的旋转路径，连接CC′，则图中阴影部分的面积为______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是.
三、解答题（共8小题，共75分.解答应写出过程）
16.（8分）（1）用配方法解方程:x2;
（2）用适当的方法解方程:x（2x-1）＝4x-2.
17.（9分）关于x的一元二次方程（m-2）x2-3x-1＝0有实数根.
（1）求m的取值范围;
（2）对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根.
18.（9分）如图，平面直角坐标系xOy在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A，B，C的坐标分别是A（-1，-2），B（-3，-1），C（-2，2）.
（1）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′，画出△A′B′C′并写出点A′的坐标;
（2）在（1）的基础上，求线段AB在旋转过程中扫过的面积.
19.（9分）某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，截止2021年底，注册人数已达216.39万人.某社区工作人员为调查本社区居民对于“国家反诈中心APP”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷共设置10个问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为A:非常了解（80-100分）、B:比较了解（60-80分）、
C:基本了解（40-60分）、D:不太了解（0-40分）四个等级并绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据上图提供的信息解答下列问题:
（1）扇形统计图中，A等级对应的人数所占百分比为，补全条形统计图;
（2）若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈中心APP”非常了解的人数;
（3）为更好地开展“国家反诈中心APP”宣传推广工作，社区准备招募2名宣讲人员，现有问卷结果等级为A的4人报名，其中3人为一组居民，1人为二组居民，若从中随机选取2人，求选取的2人不是同一组居民的概率.
20.（9分）如图，△ABC内接⊙O，点A为BC的中点，D为BC边上一点，∠DAC＝∠ACE，AE是⊙O的切线，，连接CF.
（1）求证:CE＝CF;
（2）当点A到弦BC的距离为1时，求AE的值.
21.（10分）近年来，国潮IP联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，故官“这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”.某外贸公司经市场调研，整理出某爆款IP联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表:
售价(元/件) 日销售量(件)
x+120 2000-20x
已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元.
（1）求w（元）与x（元）之间的函数关系式;
（2）在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？
（3）求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？
22.（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0），B（-3，0），C（0，3）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD面积的最大值;
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
23.（11分）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型:它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”.如图① ，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝CB，点D，E分别在AC,BC边上,CD＝CE,连接DE,AE,BD,M是AE的中点,连接CM.
（1）观察猜想
请直接写出CM与BD的数量关系和位置关系;
（2）类比探究
将图① 中△DCE绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程;若不成立，请说明理由;
（3）解决问题
若AC＝4，CD＝2，将图① 中的△DCE绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出CM的最大值与最小值.
答案
1.B2.B3.B 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9. B 10. D
11.63200（1+x）2
12.
-2
π+2
15.1
16.解:（1）移项，得x2，
配方，得x2，即（x-1）2，
解得x-1＝±，
则x1，x2; （4分）
（2）移项，得x（2x-1）-4x+2＝0，整理，得x（2x-1）-2（2x-1）＝0，分解因式，得（2x-1）（x-2）＝0，可得2x-1＝0或x-2＝0，
解得x1，x2＝2.………（8分）
17.解:（1）∵a＝m-2，b＝-3，c＝-1，
∴b2-4ac＝（-3）2-4（m-2）×（-1）＝4m+1，
∵关于x的一元二次方程（m-2）x2-3x-1＝0有实数根，
∴b2-4ab≥0，即4m+1≥0，解得m≥，
∵m-2≠0，即m≠2，
∴m的取值范围为m≥且m≠2;…（5分）
当m＝6时，原方程为4x2-3x-1＝0，
因式分解得，（x-1）（4x+1）＝0，即x-1＝0或4x+1＝0，
解得x1＝1，x2（答案不唯一）…（9分）
18.解:（1）如解图，△A′B′C′即为△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到的图形，点A′的坐标为（2，-1）;……………（4分）
（2）线段AB在旋转过程中扫过的面积为S（出BBOB2+ S（△AOB）-S（阴影AOA2-S（△AOB）＝S（阴影BDB）-S（用形AON）2＝ 90π（10π）2））…（9分）
19.解:（1）30%，补全条形统计图如解图;…
[解法提示]由题图知，C等级的人数为10人，所占百分比为20%，则抽取的总人数为10÷ 20%＝50（人），则A等级对应的人数所占的百分比为%＝30%，B等级的人数为50- 15-10-4＝21（人）.
（2）（人），答:估计对于“国家反诈中心APP”非常了解的人数为2400人;……………（5分）
（3）分别记一组的3人为a、b、c，二组的1人为d，列表如下:
a b c d
a (a,b) (a,c) (a,d)
b (b,a) (b,c) (b,d)
c (c,a) (c,b) (c,d)
d (d,a)[(d,b)[(d,c)
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2人不是同一组居民的结果有6种，
∴P（选取的2人不是同一组居民）
20.（1）证明:如解图，连接OA交BC于点M， ∵A为BC的中点，
∴OA⊥BC,AB＝AC,
∵AE与⊙O相切，
∴AE⊥OA,
∴AE∥BC,∠EAC＝∠ACB＝∠ABD.又∵BD＝AF,
∴△ABD≌△CAF（SAS）, ∴AD＝CF,
∵∠DAC＝∠ACE,
∴CE∥AD,
∴四边形ADCE为平行四边形， ∴AD＝CE,
∴CE＝CF; （5分）
（2）解:如解图，∵， ∴AB＝AC＝2,
∴BM＝CM.
∵点A到弦BC的距离为1，即AM＝1，
在Rt△ABM中，AB2-AM2）22-12） ，
∴，
∴|，由（1）可知四边形ADCE为平行四边形，
∴………（9分）
21.解:（1）由题意得w＝（x+120-80）（2000-20x）
＝-20x2+1200x+80000;………（3分）
（2）∵当x＝8时，m＝-20x2+1200x+80000＝-20×82+1200×8+80000＝88320＞80000，
∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到
80000元;
（3）∵w＝-20x2+1200x+80000＝-20（x-30）2+98000，
∵-20＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝30时，w取得最大值为98000，
∴该卫衣售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元.……（10分）
22.解:（1）将点A，B，C的坐标分别代入抛物线的解析式得，
∴抛物线的解析式为y＝-x2-2x+3;…（2分）
（2）如解图① ，连接BD，DC，BC，过点D作DF ⊥x轴于点F，交直线BC于点E，
易得过点B，C的直线解析式为y＝x+3，设D（m，-m2-2m+3），E（m，m+3），
则DE＝-m2-2m+3-（m+3）＝-m2-3m，
∴S（△BCD）DE·|xc-x8|×（-m2-3m）× （）， ∵，
∴当时，△BCD的面积最大，最大值为（5分）
第22题解图
（3）如解图② ，由题可知抛物线的对称轴为直线x＝-1，设P（-1，t）， ∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（-1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝ （-1）2+（t-3）2＝t2-6t+10，
① 若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即18+4+ t2＝t2-6t+10，解得t＝-2;
② 若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，即18+ t2-6t+10＝4+t2，解得l＝4;
③ 若点P为直角顶点，则PR2+PC2＝BC2，即4+t2+ t2-6+10＝18，解得t1，b2;
综上所述，点P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）.…（10分）
23.解:（1）BD＝2CM，CM⊥BD;……（2分） [解法提示]∵AC＝CB,CE＝CD,∠ACE＝∠BCD ＝90°,∴△ACE≌△BCD（SAS）,∴BD＝AE. ∵M是AE的中点,∴AE＝2CM,∴BD＝2CM.又∵AM＝CM,∠CAE＝∠DBC,∴∠CAE＝∠ACM ＝∠DBC.∵∠ACM+∠BCM＝90°,∴∠DBC+ ∠BCM＝90°,∴CM⊥BD.
（2）（1）中的结论仍然成立;……（3分）证明过程如下:如解图① ，延长AC至点F，使AC＝CF,连接EF.
∵∠ACE+∠ACD＝90°,∠ACE+∠BCE＝90°, ∴∠ACD＝∠BCE,
∴∠ECF＝∠DCB.
由CF＝AC＝CB,CE＝CD,∠ECF＝∠DCB,得△ECF≌△DCB（SAS）, ∴EF＝DB.
∵M是AE的中点,AC＝CF,
∴CM为△AEF的中位线,EF＝2CM,
∴BD＝2CM.……………………（6分）又∵∠DBC＝∠F,CM∥EF, ∴∠ACM＝∠F＝∠DBC. ∵∠ACM+∠BCM＝90°， ∴∠DBC+∠BCM＝90°，∴CM⊥BD;……………………………
（3）CM的最大值为3，最小值为1.
[解法提示]如解图② 和解图③ ，利用（1）（2）的结论可知，因此当BD取最大值或最小值时，CM也取相应的最大值或最小值.当B，C，D三点共线时，BD可取最大值或最小值.
BD的最大值为BC+CD＝4+2＝6，CM的最大值为3;BD的最小值为BC-CD＝4-2＝2，CM的最小值为1.
第23题解图