难点详解鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题练习试题（含解析）

鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A． B． C． D．
2、中，，均为锐角，且有，则是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
3、若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
4、已知三个全等的三角形纸片如图摆放，则的大小为（ ）
A．90° B．120° C．135° D．180°
5、如图，在ABC中，∠C=90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
6、如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7、已知的周长是16，且，又，D为垂足，若的周长是12，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8、下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角
B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限
C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等
D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形
9、如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，还不能证明△ABE≌△ACD的是（　　）
A．AD＝AE B．BD＝CE C．∠B＝∠C D．BE＝CD
10、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD等于（　　）
A．36° B．46° C．54° D．72°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，平面直角坐标系内有一点A（2，－2），点O是原点，点P是x轴上一动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为_______．
2、在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是BC、AC上的高，∠ABE＝50°，则∠EBC＝___度；
3、如图，在△ABC中，∠BAC＝BCA＝44°，M为△ABC内一点；且∠MCA＝30°，∠MAC＝16°，则∠BMC的度数为 ___．
4、如图，在△ABC中，BC＝8，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于_____．
5、如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm．则AC=____ cm．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、问题发现：
如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．
拓展探究：
如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．
2、如图，平面直角坐标系xOy中，：交x轴于A，交y轴于B．另一直线：交x轴于C，交y轴于D，交于E．已知≌．
(1)求解析式．
(2)P，Q分别在线段AB和CD上，且，当轴时，P、Q两点的坐标．
3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，并交于点H．
(1)若DC＝2，则AD＝　 　；
(2)∠AHB的度数．
4、△ABC如图所示
(1)用尺规作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，过点D作DE//AB，交BC于点E．求证：BE＝DE．
5、如图，在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．
(1)作出ABC关于y轴的对称图形；
(2)写出点的坐标；
(3)若坐标轴上存在一点E，使EBC是以BC边为底边的等腰三角形，直接写出点E的坐标．
(4)在y轴上找一点P，使PA＋PC的长最短．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据垂线段最短解答即可．
【详解】
解：∵线段AP是BC边上在的高线，
∴根据垂线段最短得：PA≤AQ，PA≤AR，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形的高、中线和角平分线、垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解答的关键．
2、B
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴=0，=0，
∴tanB＝，，
则∠B＝60°，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质、等边三角形的判定，正确记忆相关数据是解题关键．
3、C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，当腰长为6cm时，当腰长为3cm时，再结合三角形的三边关系可得答案.
【详解】
解：等腰三角形边长分别为6cm和3cm，
当腰长为6cm时，则三边分别为：6，6，3，符合三角形的三边关系，
所以该等腰三角形的周长为（cm），
当腰长为3cm时，则三边分别为：6，3，3，不符合三角形的三边关系，舍去，
故选C
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义与三角形的三边关系，掌握“利用等腰三角形的腰进行分类讨论”是解本题的关键.
4、D
【解析】
【分析】
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6=180°，
又∵∠5+∠7+∠8=180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
如图，根据画图过程可得直线ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】
解：如图，由画图过程得：直线ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD=2，
故选：D．
【点睛】
本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，能得到直线ED是线段AB的垂直平分线是解答的关键．
6、B
【解析】
【分析】
连接AF,得到∠AFC=90°，再证AE=EF,可得EF=AE=EC，即可求出EF的长.
【详解】
解：如图：连接AF,
∵AB=AD, F是BD的中点,
∴AF⊥BD,
∵EF=EC,
∴∠EFC=∠C,
∵在Rt△AFC中，∠AFC=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°,∠FAC+∠C=90°,
∴∠AFE=∠FAC,
∴AE=EF,
∵AC＝8,
∴EF=AE=EC=AC=4.
故选B.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质.解题的关键是正确的添加辅助线.
7、D
【解析】
【分析】
根据三线合一推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长．
【详解】
解：∵AB=AC，且AD⊥BC，
∴BD=DC=BC，
∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16，
∴AB+BD=8，
∴AB+BD+AD=8+AD=12，
解得AD=4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求．
8、D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质、平面直角坐标系特点、全等三角形的判定和等边三角形的判定判断即可．
【详解】
解：A、三角形的外角大于该三角形任意一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；
B、如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P不一定在第二象限，可能在第四象限，原命题是假命题；
C、如果两个直角三角形，有两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，要熟练掌握，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9、D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：A.∵在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
B.∵AB＝AC，BD＝CE，
∴AD＝AE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
C.∵在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；
D、根据AB＝AC，BE＝CD和∠A＝∠A不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
10、A
【解析】
【分析】
根据等边对等角，以及∠A的度数求出三角形两个底角的度数，进而求出∠ABD的度数．
【详解】
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠ABC－∠DBC=72°－36°=36°
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
二、填空题
1、（，0）或（4，0）或（－2，0）或（2，0）
【解析】
【分析】
根据题意分类讨论，①OA为等腰三角形底边，②OA为等腰三角形一条腰，根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】
解：设，
A（2，－2）
如图：①OA为等腰三角形底边，
即
解得
符合条件的动点P有一个，即（2，0）；
②OA为等腰三角形一条腰，
当时，
即
解得
当时，
解得或（舍去）
符合符合条件的动点P有三个即（－2，0），（2，0），（4，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（，0）或（4，0）或（－2，0）或（2，0）．
故答案为：（，0）或（4，0）或（－2，0）或（2，0）．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，根据等腰三角形的性质求解．
2、20
【解析】
【分析】
先由直角三角形的两锐角互余求得∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC，即可求得∠EBC．
【详解】
解：∵BE分别是AC上的高，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=50°，
∴∠BAC=90°-∠ABE=40°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠BAC）=70°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-50°=20°，
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解决问题的关键．
3、150°
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D，延长CM交BD于O，连接AO，求出∠BAO=∠MAO，计算∠ABO=∠AMO=46°，证明△ABO≌△AMO，得到OB=OM，求出∠OMB的度数即可得到∠BMC
【详解】
解：过B作BD⊥AC于D，延长CM交BD于O，连接AO，
∴∠OAC=∠MCA=30°，∠BAO=44°-30°=14°，∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°，
∴∠BAO=∠MAO，
∵∠BAC＝BCA＝44°，
∴∠ABC=92°，AB=BC，
∵BD⊥AC，
∴，
∵∠AMO=∠MAC+∠ACM=46°，
∴∠ABO=∠AMO，
又∵AO=AO，
∴△ABO≌△AMO，
∴OB=OM，
∴，
∴∠BMC=180°-∠OMB=150°，
故答案为：150°
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．
4、8
【解析】
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴DA=DB，EA=EC，
则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，
故答案为8．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
5、10
【解析】
【分析】
求出DF的长，根据全等三角形的性质得出AC＝DF，即可得出答案．
【详解】
解：∵△DEF周长是32cm，DE＝9cm，EF＝13cm，
∴DF＝32cm 9cm 13cm＝10cm，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF＝10cm，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．
三、解答题
1、问题发现：∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE，理由见解析；拓展探究：∠BEC＝90°，BF＝CE＋AF，理由见解析
【解析】
【分析】
问题发现：证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由点B，D，E在同一直线上，可得∠BEC＝60°；
拓展探究：方法同上，证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由点A，D，E在同一直线上，可得∠ADB＝∠AEC＝135°，进而可得∠DAE＝90°，由AD＝AE，AF⊥DE，可得AF＝DF＝EF，即可得出BF＝BD＋DF＝CE＋AF．
【详解】
问题发现：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180－60＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120－60＝60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．
拓展探究：
∵△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180－45＝135°，
∴∠AEC＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝135－45＝90°；
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，AF⊥DE，
∴AF＝DF＝EF，
∴DE＝DF＋EF＝2AF，
∴BF＝BD＋DF＝CE＋AF．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
2、 (1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）由的解析式求出与轴的交点的坐标，根据全等条件求出两点坐标，将点坐标代入解析式中求出的值，回代入解析式即可；
（2）当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N，可得，，，；设P点坐标为，代入求得P点坐标，轴，有相同的纵坐标，进而求解点坐标即可．
(1)
解：的坐标分别为
将坐标代入得
解得
∴的坐标分别为
∵
∴
∴，
将两点坐标代入解析式得
解得
∴的解析式为：．
(2)
解：如图当轴时，连接PQ，交y轴于点H，过Q作轴于点M，过P作轴于点N
在和中
∵
∴
∴，
∴
设P点坐标为，代入的解析式中得
解得
∴点坐标为
把代入中得
解得
∴点坐标为
∴两点的坐标分别为，．
【点睛】
本题考查了三角形全等，一次函数解析式，平行直线点坐标的特点等知识．解题的关键在于正确的求值．
3、 (1)4
(2)135°
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的定义分别求出∠DAB、∠EBA，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【小题1】
解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，DC=2，
∴AD=2CD=2×2=4，
故答案为：4；
【小题2】
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
则∠ABC=30°，
∵AD、BE分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠DAB=∠CAB=30°，∠EBA=∠ABC=15°，
∴∠AHB=180°-∠DAB-∠EBA=180°-30°-15°=135°．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
4、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图，作∠ABC的平分线即可；
（2）利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，再根据平行线的性质得到∠EDB＝∠ABD，则∠EDB＝∠EBD，从而得到结论．
(1)
解：如图，BD为所作；
(2)
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DEAB，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．
【点睛】
本题考查了作图 基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
5、 (1)作图见解析
(2)
(3)或
(4)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）分别确定关于轴的对称点 再顺次连接即可；
（2）根据图1的位置可得其坐标；
（3）根据网格图的特点画的垂直平分线，则垂直平分线与坐标轴的交点符合要求；
（4）由（1）得：关于轴对称，所以连接交轴于 可得是符合要求的点.
(1)
解：如图1，是所求作的三角形，
(2)
解：由图1可得：
(3)
解：如图1，为等腰三角形，且为底边，
根据网格图的特点画的垂直平分线交坐标轴于
则
(4)
解：如图2，由（1）得：关于轴对称，
所以连接交轴于
则
此时最短，所以即为所求作的点.
【点睛】
本题考查的是轴对称的作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，利用轴对称的性质确定线段和的最小值，熟练的应用轴对称的性质是解本题的关键.