2023-2024学年广东省佛山市南海中学高二（下）第一次段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市南海中学高二（下）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对函数，求导正确的是( )
A. B.
C. D.
2.记等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的实轴长为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5.已知函数的图象如图所示其中是函数的导函数，下面四个图象中，的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图是函数的大致图象，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知数列的前项和为，且，若首项为的数列满足，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.数列满足，前项和为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示则对于任意，，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知数列满足：为正整数，，若，则可能的取值有( )
A. B. C. D.
11.如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为则下列命题正确的是( )
A. B.
C. D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则满足的实数的取值范围是______．
13.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为天，那么感染人数由个初始感染者增加到人大约需要的天数为______初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染
14.已知函数，若，且，则的最小值是______，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
令，证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，．
若，求函数在上的最大值和最小值；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
设数列的前项和为，已知．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值；
若的图象恒在直线的下方．
求实数的取值范围；
证明：对任意正整数，都有．
19.本小题分
现有甲、乙两名蓝球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为．
为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜：若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜：其它情况认定为平局，获胜者此局得分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．
投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设为第次投篮由甲完成的概率．
求第次投篮由甲完成的概率；
请表示第次投篮由甲完成的概率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
直接利用基本初等函数的导函数与导数的运算法则求解．
本题考查导数的运算，熟记基本初等函数的导函数与导数的运算法则是关键，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
，
则．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知椭圆方程，
则其焦点坐标为，，
又双曲线的实轴长为，
设双曲线的方程为，其中，，
则，，
则双曲线的渐近线方程为，
即双曲线的渐近线方程为．
故选：．
由椭圆的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：依题意知，圆锥的轴截面是正，内切圆即为圆锥内最大的球的截面，
则球心在线段上，，
所以球的半径为，球的表面积为，
圆锥的侧面积为，
所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为，即为：．
故选：．
根据题意知，圆锥的轴截面是正，内切圆即为圆锥内最大的球的截面，由此求出球的半径和表面积，再计算圆锥的侧面积，求出球的表面积与圆锥的侧面积之比即可．
本题考查了空间几何体的表面积计算问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由图象看出，，和时；，和时；
时，；，或时，；
在上单调递减，在，上单调递增；
的大致图象应是．
故选：．
通过观察函数的图象即可判断的符号以及对应的的所在区间，从而判断出函数的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可．
考查观察图象的能力，对于积的不等式，或的求解，函数导数符号和函数单调性的关系．
6.【答案】
【解析】解：由图象知的根为，，，．
．
的两个根为和，．
．
，为的两根，，，
．
故选：．
由图象知的根为，，，求出函数解析式，，为导函数的两根，可结合根与系数的关系求解．
本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，
当时，，符合，
所以数列的通项公式为．
，，
即，
，
，又，
累加法可得，
即，
设数列的前项和为，
则．
故选：．
已知数列的前项和为，做差法计算数列的通项公式，代入，累加法求出数列的通项公式，裂项相消即可求出数列的前项和．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由，
可得，，，
由前项和为，可得，
即有，
即，解得．
故选：．
由数列的分组求和，结合数列的递推式，解方程可得所求值．
本题考查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，，所以原函数为减函数，所以选项正确；
又由导函数的图像可知，在上单调递增，根据单调递增函数的定义可知，，所以选项错误；
并且递减的速度是先快后慢，所以的图象如下图所示，
因为，，由图可知，选项C正确，
根据导函数如图所示，，，，选项错误．
故选：．
根据导函数的图象在轴下方，即，原函数为减函数，利用递减的速度是先快后慢，可得函数的图象，再结合函数图象得出正确答案．
本题考查了导函数的应用问题，由导函数的图象推出原函数应具备的性质，利用数形结合是解题的关键，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
必为偶数，，解得．
当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．
．
当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得．
当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．
当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．
当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得．
当时，当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．
综上可得，，．
故选：．
，可得必为偶数，因此，解得当为偶数时，，解得；当为奇数时，，解得，舍去．依此类推即可得出．
本题考查分段数列的求值、分类讨论的思想方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，第个图形的的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形，得第个图形，
则原来每条边变为条，即，而，
因此，故A正确；
对于，第个图形在第个图形外增加个边长为的正三角形，第个图形在第个图形外增加个边长为的正三角形，
而所有正三角形都相似则，故B正确；
对于，由作法知，，而，
则，所以，故C错误；
对于，由选项AC知，，
所以数列的前项和为，故D正确．
故选：．
根据给定的图形作法，探讨，，，各自的变化规律，计算判断即得．
本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的性质，以及前项和公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，该函数的定义域为，
，故函数为奇函数，
因为对任意的恒成立，
所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，每一轮传染，新增感染者数依次排成一列得等比数列，
感染者增加到人需要轮传染，则，解得，
所以感染人数由个初始感染者增加到人大约需要的天数为天．
故答案为：．
根据给定条件，利用等比数列前项和公式列式计算即得．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由求导得，
令，解得，
故与直线平行的直线切曲线，的切点，
由，解得，
因此，
函数的图象在点处的切线的方程为，
直线交轴于点，交轴于点，
所以切线与坐标轴所围三角形面积为．
故答案为：，．
根据给定条件，求出与直线平行的直线切曲线，的切点，再求出即可得最小值，然后求出切线方程即可求出面积．
本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】证明：，
故数列是公比为的等比数列；
解：由有，，
可得，
则．
【解析】由，由此可得，即可完成证明；
先求解出的通项公式，由此可求的通项公式，采用分组求和的方法求解出．
本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：当时，，则，
令，得或，
由于，所以当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，．
综上，函数在上的最大值为，最小值为．
因为，，
所以，，
当，即时，，在单调递增，
当，即时，令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增．
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减．
【解析】求导，利用导数研究函数在的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解；
对函数求导，根据未知数的不同范围，分别求出函数单调性．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
两式相减可得，
整理得，
所以，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
解：由题意得，
所以，
，
减可得，
所以，
所以．
【解析】利用，的关系，以及等差数列的定义、通项公式可得所求；
利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题主要考查数列的和与项的递推关系，以及错位相减求和方法的应用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，，
曲线在处的切线与直线垂直，
，解得，
故，，
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，无极小值．
函数的图象恒在直线的下方等价于在上恒成立，即恒成立．
设，则，
令，得．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，
实数的取值范围是．
由可知，当时，，即对恒成立．
令，则，
，
故命题得证．
【解析】求导得，易知，解出的值即可得和的解析式，再比较与的大小关系即可得的单调性，从而求得极值．
原问题等价于在上恒成立，参变分离后，有；构造函数，通过导数判断函数的单调性，并求出最大值即可得解；
由可知，当时，，即对恒成立，令，则，然后结合等差数列的前项和公式即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题和不等式的证明，根据参变分离法，将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，以及放缩法的灵活运用是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
19.【答案】解：由题意可得，甲每次投篮不命中的概率为，乙每次投篮不命中的概率为，
在一局比赛中，甲得分的概率为，乙得分的概率为，甲、乙均不得分的概率为，
可得甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的比分为：或：，
当比分是：时，甲获胜的概率为，
当比分是：时，甲获胜的概率为，
所以甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率为；
由题意知：，，，
，
可得当时，，
所以，又，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
故．
【解析】根据独立重复实验，按比分分情况讨论可得答案；
综合应用概率和数列的知识即可解决．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了等比数列的应用，属于中档题．
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