2023-2024学年上海市长征中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年上海市长征中学高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角满足且，则角是第象限角．( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.若，则的值是( )
A. B. C. D.
3.在中，如果满足，则一定是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知角，则角的终边落在第______象限．
6.已知角的终边经过点，则 ______．
7.设一扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为______．
8.若，则的值为______．
9.已知，，则满足条件的 ______用反三角记号表示
10.已知，，则 ______．
11.如图，四边形中，，，且在的正东方向上，在的南偏东方向上，在的北偏东方向上，则 ______．
12.如图，矩形由两个正方形拼成，则的正切值为______．
13.已知，则 ．
14.方程的解集为______．
15.在三角形中，已知，，，则三角形面积 ______．
16.已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，求的值．
18.本小题分
已知角是第三象限角，，求下列各式的值：
，；
19.本小题分
已知、为锐角，，．
求的值；
求角．
20.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且，．
求；
求周长的取值范围．
21.本小题分
如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．
求的值；
已知，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，根据三角函数的定义，，
，
，．
在第四象限．
故选：．
利用三角函数的定义，可确定，，进而可知在第四象限．
本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故答案为：．
由同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
则由正弦定理得，
可得，
可得，
因为，，可得，
则，
则为等腰三角形．
故选：．
利用正弦定理化边为角整理可得，即可得出结论
本题考查了正弦定理以及两角差的正弦公式在解三角形中的应用，考查学生的推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，考查了方程思想，属于中档题．
由已知结合任意角的三角函数的定义求得，整理可得：，解方程即可得解．
【解答】
解：由题意可得：，，
，，
可得：，
，
可得：，
整理可得：，
解得：，或舍去，
．
故选：．
5.【答案】三
【解析】解：，
故角的终边落在第三象限．
故答案为：三．
根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
本题主要考查象限角的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，
，
则，
故答案为：
根据三角函数的定义进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的求解，根据三角函数的定义是解决本题的关键．比较基础．
7.【答案】
【解析】解：设该扇形的半径为，
弧长为，圆心角为，
则，
故，
扇形的周长为，
则，解得，
故该扇形的面积为．
故答案为：．
根据扇形弧长公式可求得半径，代入扇形面积公式即可求得结果．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以两边平方，可得，
则．
故答案为：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故答案为：．
根据反三角函数求解即可．
本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，
平方得，
，
得，
即，即．
故答案为：．
将条件进行平方，然后将平方后的两式对应相加，即可得到的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：延长交与，因为且在的正东方向上，在的南偏东方向上，在的北偏东方向上，
所以三角形是正三角形，，，所以，，，所以，
，
所以．
故答案为：．
延长交与，求出三角形的边长与角，利用余弦定理转化求解即可．
本题考查三角形的解法，方位角的应用，余弦定理的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为矩形由两个正方形拼成，设正方形的边长为，
则在中，，，
所以．
故答案为：
有已知矩形由两个正方形拼成，设正方形的边长为，由图可知：，利用两角和的正切公式即可求得．
此题考查了识图，还考查了两角和的正切展开式及学生的计算能力．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用诱导公式对三角化简求值的应用，属于基础试题．
结合已知及诱导公式可得，即可求解．
【解答】
解：因为，
则，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以或或，
解得或或．
故解集为．
故答案为：．
根据辅助角公式和余弦型函数的图象及性质即可求解．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：，，，由正弦定理得，
，
，
．
故答案为：．
先利用正弦定理求出，再利用求出，最后通过三角形的面积公式求解即可．
本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，
则，即，
，，，
则角为钝角或角为钝角，
若角是钝角，
则，即，
故，
若角是钝角，
则，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为且，
则，
所以，
则，
则．
【解析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
18.【答案】解：由，知，，则，
又因为，
所以，即，
由在第三象限知，，
所以，．
．
【解析】由的值，可得，两边平方可得，结合同角三角函数基本关系式可求的值，结合范围，利用诱导公式即可得解．
利用同角三角函数基本关系式即可化简求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：因为，为锐角，
所以，则，
因为，
所以．
因为为锐角，，
所以，
所以，
因为为锐角，
所以．
【解析】由，为锐角，则，利用同角的三角函数关系求解即可；
先求得，再由求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：在中，，即，解得，
而，
所以；
在中，由余弦定理得：，
当且仅当时取“”，即有，
因此，当时，，而，即，，
所以周长的取值范围是．
【解析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式求出即可求解作答．
利用余弦定理，均值不等式求解作答．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：由三角函数定义得，，
原式．
由，得，，
，，
，，
．
【解析】由三角函数的定义首先求得，的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
由题意可得，然后利用诱导公式求出，分别求出，的值，然后再利用两角和的正切公式即可得解．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
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