2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一（下）诊断数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年山东省淄博实验中学、齐盛高级中学高一（下）诊断数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.要得到函数的图象，只需将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
7.用数学的眼光观察世界，神奇的彩虹角约为如图，眼睛与彩虹之间可以抽象为一个圆锥，设是眼睛与彩虹中心的连线，是眼睛与彩虹最高点的连线，则称为彩虹角若平面为水平面，为彩虹面与水平面的交线，为的中点，米，米，则彩虹的长度约为参考数据：，( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列四个结论中正确的是( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A.
B. 若，为单位向量，则
C. 若、，则
D. 对于两个非零向量，，若，则
10.已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则的取值范围是
D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为
11.函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是( )
A. B. 的一个周期是
C. 是偶函数 D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则在方向上的投影向量为______．
13.已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为______．
14.已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，设、、的对边分别为、、，
若且，求面积的最大值
为锐角三角形，且，若，，求的取值范围．
16.本小题分
在中，，，点在边上，且．
若，求；
若，求的周长．
17.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．
求证：；
若的平分线交于，且，求线段的长度的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若，求的最值及取最值时的值；
若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中．
若，求的对称中心；
若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在，且上恰好有个零点，求的最小值；
已知函数，在第问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，
则，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，
解得，
设与的夹角为，，
所以，所以．
故选：．
由题得，再由平面向量的数量积与夹角公式计算即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意：
，
故要得到函数的图象，
只需将的图象向左平移个单位，
故选：．
根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变换的性质即可判定．
本题考查的知识点：函数图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，则，
因为，所以，，
则．
故选：．
利用三角函数的倍角公式，结合正切函数的和差公式，逆用正余弦的和差公式即可得解．
本题考查两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意，函数，
令，即，
，且，，
又函数在上恰有两个零点，
所以，
解得．
故选：．
由二倍角公式和辅助角公式化简，利用已知的范围，求出的范围，根据函数恰有两个零点列不等式，解出的取值范围．
本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：的面积，
，
，
则，
，
，
，，
．
故选：．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理，
可得：，
连接，则在中，，
连接，，，则在中，
，
故，，
则彩虹的长度约为：
．
故选：．
先求出圆锥的母线长，再求出圆锥的底面半径，连接，，，进而在中求，最后利用弧长公式求得彩虹长度．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：对：由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，，则，故，
所以或，即或舍去，
所以，故A错误；
对：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
对：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
对：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误．
故选：．
对：借助正弦定理与两角差的正弦公式计算即可得；对：借助锐角三角形及三角形内角的关系计算即可得；对：借助正弦定理将边的比例化成正弦值的比例后借助角与角间的关系化简即可得；对：借助三角函数间的关系与基本不等式计算即可得．
本题考查三角形的正弦定理、三角函数的恒等变换和基本不等式、正弦函数和余弦函数的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A，根据相反向量，知，
故A正确；
选项B，由，为单位向量，
即，
而，方向不一定相同，
故B错误；
选项C，规定零向量与任意向量共线，
即当时，
则，且均成立，
而，为任意向量，它们不一定共线，
故C错误；
选项D，由，
得，
则，
整理得，
又已知，是两个非零向量，
故．
故D正确．
故选：．
项，由相反向量与加法运算几何意义可得；项，单位向量，的方向不一定相同；项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；项，两边平方展开化简可得．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算，属中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及余弦定理的应用、三角形面积公式，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
项，用余弦定理统一成边形式化简判断出的真假；项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得选项的真假；项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断的真假；项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出的真假．
【解答】
解：选项A，因为，
由正弦定理可得：，
所以有，
整理可得，
所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，
所以，
由正弦函数在单调递增，
则，故B正确；
选项C，如图，
若有两解，则，
所以，则的取值范围是，故C正确；
选项D，的平分线交于点，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，
即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】解：函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
由题意可得，即，
故，故，，由于，故，，
故，
对于，，A正确；
对于，，
即的一个周期是，B正确；
对于，，
不妨取，此时，此时函数不是偶函数，
即不是偶函数，C错误；
对于，当时，，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，D正确．
故选：．
根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得，，即可得，由此将代入可判断；根据周期性定义可判断；求出的表达式结合偶函数定义判断；结合的范围，确定，结合余弦函数单调性，判断．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
在方向上的投影向量为．
故答案为：．
根据投影向量的计算公式即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，因为与所成的角为锐角，故且不共线同向．
若，即，解可得．
若共线，则，解可得，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，由向量数量积的性质可得且不共线同向，由此可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查向量数量积的运算和性质，涉及向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为对任意的，，当时，恒成立
所以对任意的，，当时，恒成立，
．
不妨设，则问题转化成在单调递减，
所以其中，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
将问题转化为对任意的，，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．
15.【答案】解：，
，
，
，
即，
．
．
．
，
．
当且仅当时取等号．
的面积最大值为．
，，
，，．
．
为锐角三角形，
，，．
，，
．
．
．
的取值范围是．
【解析】利用正弦定理可将已知条件化成，再用余弦定理得出，利用余弦定理和基本不等式可得出，带入面积公式即可就出最大值．
展开得，然后利用为锐角三角形，且判断的范围．
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，向量运算及三角函数，属于中档题．
16.【答案】解：如图，已知，，
所以，则．
在中，根据余弦定理，，
所以．
在中，，，，
由余弦定理，
所以，解得，所以，
在中，由正弦定理，
所以，，
由，，，在中，由，得，
故，
所以，
所以
设，则，从而，
故AC．
在中，由余弦定理得，
因为，所以，解得
所以故周长为．
【解析】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于中档题．
依题意可得，则，，即，
在中，由余弦定理得，，在中，由正弦定理可得，，，
即可得．
设，则，从而，，在中，由余弦定理得即可得周长．
17.【答案】解：证明：因为，
所以由余弦定理可得，即，
所以由正弦定理可得，
所以在中，或，
又因为，
所以，
所以；
在中，由正弦定理可得，，
即，
所以，
因为是锐角三角形，且，
所以
解得，可得，
所以，
所以线段长度的取值范围是．
【解析】由题意利用余弦定理，二倍角公式，正弦定理化简已知等式可得，在中，可得或，结合，即可证明；
在中，由正弦定理，二倍角的正弦公式可得，由题意可得可求，利用余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，正弦定理以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
18.【答案】解：
，
故函数的最小正周期为；
由知，
因为，
所以，
令，则，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即时，函数有最大值，最大值为，
当，即，函数有最小值，最小值为，
综上，的最小值为，此时；最大值为，此时；
因为函数在内有且只有一个零点，
所以在只有一个实根，
，即，
即函数在的图象在与直线只有一个交点，
当时，，
画出在上的图象，如下：
结合函数图象可知：函数在区间的图象与直线只有一个交点时，
，即．
【解析】根据三角恒等变换得到，从而根据求出最小正周期；
时，，整体法求出函数的最值及对应的；
转化为在的图象在与直线只有一个交点，画出在上的图象，数形结合进行求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
19.【答案】解：函数，
若，
则与是相邻的最小值点和最大值点，
的最小正周期为，
即，解得，
得，
令，
解得，此时，
的对称中心为；
由题意可得，
又是的一个零点，
，
，
，
或，
解得或，
又，得，
，
函数最小正周期，
令，即，
解得或，
若在上恰好有个零点，
则，
要使最小，则，恰好为的零点，
的最小值为；
由知，，
设在上的值域为，在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，
，
当，，，则，
当，，，则，
由，可得，
又，解得，
实数的取值范围为．
【解析】利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；
由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则，恰好为的零点，由此求的最小值；
根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象及性质，属于中档题．
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