2023-2024学年北京市海淀实验中学高一（下）学科展示数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年北京市海淀实验中学高一（下）学科展示数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.在中，为钝角，则点( )
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
5.( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，、、、分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，若，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
9.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数是的图象上一点，若在的图象上存在不同的两点，，使得成立，其中是坐标原点，则这样的点( )
A. 有且仅有个 B. 有且仅有个 C. 有且仅有个 D. 可以有无数个
二、填空题：本题共5小题，共18分。
11.已知向量，，则 ______．
12.已知，则 ______．
13.在中，点满足，若，则 ______．
14.时间经过时，时针转了______度，等于______弧度；若时针长度是厘米，则时针时转出的扇形面积是______平方厘米．
15.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，弦长为米的弧田按照上述方法计算弧田的矢为______米；面积为______平方米．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算求值：
；
．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的定义域；
Ⅱ若，且，求的值．
18.本小题分
已知点，，，是线段的中点．
Ⅰ求点和的坐标；
Ⅱ若是轴上一点，且满足，求点的坐标．
19.本小题分
已知角是第三象限角，且．
化简；
若，求的值；
若，求的值．
20.本小题分
若定义域的函数满足：
，，，，，则称函数满足性质．
Ⅰ判断函数与是否满足性质，若满足，求出的值；
Ⅱ若函数满足性质，判断是否存在实数，使得对任意，都有，并说明理由；
Ⅲ若函数满足性质，且对任意的，都有，求函数的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：角的终边经过点，
，
故选：．
利用任意角的三角函数的定义求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，则，
即，
故选：．
根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．
本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．
3.【答案】
【解析】解：因为：，
故选：．
根据向量的减法的运算法则进行求解即可．
本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．
4.【答案】
【解析】解：中，为钝角，所以为锐角，
所以，，
所以点在第二象限内．
故选：．
根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．
本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用诱导公式进行化简所给的式子，属于基础题．
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值．
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
；
，，，
设，
则，
即，
解得，；
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：若在段，正弦大于余弦，不成立；
若在段，正切最大，余弦最小，则不成立；
若在段，正切最大，正弦最小，成立；
若在段，余弦为正值，正弦和正切为负值，不成立．
所在的圆弧最有可能的是．
故选：．
根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．
本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，在中，，
所以，整理可得，
解得，或舍去，
所以．
故选：．
利用同角三角函数的基本关系求得和的值，可得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，．
化为：，，或，，
““是“，“的必要不充分条件．
故选：．
，可得，即可判断出结论．
本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，则，所以为的中点，
因为函数关于点成中心对称，
所以当的坐标为时，取关于点对称的点，符合题意，
，在两侧时，中点也要在函数上，只能是，
，在同侧时，相当于，，所在的直线与在一侧有个交点，不可能成立，
故满足条件的只有一个，
故选：．
先由已知可得为，的中点，然后根据函数的对称性即可做出判断．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据向量的坐标运算求出的坐标即可．
本题考查了向量的坐标运算，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
对已知等式分子分母同时除以，即可求出的值．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：在中，点满足，若，
如图，可知，
所以，，
则．
故答案为：．
利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解，即可．
本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：时针一小时转过，所以时间经过时针转了，即，
又时针长度是厘米，则时针时转出的扇形面积平方厘米．
故答案为：；；．
根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得．
本题主要考查了弧度制的定义，考查了扇形的面积公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，过作于，的延长线交于．
则，，所以，，
所以，，
所以，
则弧田面积是．
故答案为：；．
如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
16.【答案】解：
；
．
【解析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，化简计算，即可得出答案．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ由题意可知，
，
的定义域为．
Ⅱ，
，
，
又，，
．
【解析】Ⅰ由即可求出的定义域．
Ⅱ先化简函数的解析式，再代入，得到，在根据同角三角函数间的基本关系和角的范围求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ，，，是线段的中点，
，
；
Ⅱ设，则，，
，解得：，
点的坐标是．
【解析】Ⅰ根据向量的运算性质计算即可；Ⅱ根据向量的线性运算计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题．
19.【答案】解：．
，，
是第三象限角，
，
．
，
，
．
【解析】利用诱导公式进行化简，即可；
先利用诱导公式可得的值，再由同角三角函数的平方关系求得的值后，得解；
由，以及诱导公式，可得解．
本题主要考查诱导公式的应用，还涉及同角三角函数的关系式、角在各象限的符号，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：Ⅰ函数为增函数，满足性质，
对于，由，有，
所以，，
所以函数满足性质
函数显然不满足，所以不满足性质．
Ⅱ存在，理由如下：
由，．
可得，
即，
令，得．
Ⅲ依题意，对任意的，都有，所以，
因为函数满足性质，
由可得，在区间上有，
又因为，所以，可得任意，，
又因为对任意的，都有，
所以任意的，，
递推可得任意的，，有，
函数，因为，所以，
由及，可得，
所以当时，，
当时，，所以，
即时，，
所以当时，，
当时，，当时，，需要排除，
此时随的增大而减小，所以，，
所以求值域，只需取，得，，
当时，，，
此时随的增大而减小，所以，，
只需取，得，．
综上，函数的值域为．
【解析】Ⅰ利用定义分别判断即可求解得结论；
Ⅱ由计算可得，即，令即可求得的值；
Ⅲ根据已知可得任意的，，递推可得任意的，，有，由，可得，分，两种情况分别求出的值域即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．
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