9.1.2 不等式的性质 培优讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册（含解析）

第二节 不等式的性质
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不等式的性质 理解不等式的基本性质 ★
会利用两个不等式的性质比较两个实数的大小
二、核心纲要
1.不等式基本性质
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变.
如果 那么
如果 那么
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
如果 ,并且c>0,那么ac >bc(或
如果a0,那么ac (3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 ,并且c<0,那么ac 如果a bc(或
(4)如果a>b,那么b(5)如果a>b,b>c,那么a>c.
注：(1)在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向.
(2)在不等式两边不能乘以0，因为乘以0后不等式将变为等式，以不等式 为例，在不等式 两边都乘同一个数a时，有下面三种情形：
①如果a>0,那么3a>2a;
②如果a=0时,那么3a=2a;
③如果a<0时,那么3a<2a.
2.不等式的其它性质
由不等式的基本性质可以得到如下结论：
(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d(可加性)
(2)若a>b>0,c>d>0,则ac>bd>0(可乘性)
(3)若a>b>0,则
本节重点讲解：不等式的性质.
三、全能突破
基础演练
1.(1) 如果a>b,则2a>a+b,是根据 ;
(2) 如果a>b,则3a>3b,是根据 ;
(3) 如果a>b,则--a<--b,是根据 ;
(4) 如果a>1,则 是根据 ；
(5) 如果a<--1,则. ,是根据 .
2.利用不等式的基本性质，用“<”或“>”号填空.
(1)若a(2)若a>b,则-4a —4b;
(3)若 则x -4;
(4)若a>b,c>0,则ac bc ;
(5)若x<0,y>0,z<0,则(x--y)z 0.
3.判断题，正确的打“ ”，错误的打“×”
(1)a>b,得a+m>b+m( )
(2)由2a>3,得 a> ( )
(3)2是不等式x+3>4的解( )
(4)由 得
(5)如果a>b,c<0,则(
(6)如果a(7)3≥3( )
4.阅读下面解题过程，再解题.
已知a>b,试比较-2009a+1与-2009b+1的大小.
解:∵a>b,①
∴—2009a>—2009b,②
∴--2009a+1>-2009b+1. ③
问：(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么
(3)请写出正确的解题过程.
能力提升
5.设“ ”“△”“□”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图9-2-1所示,那么“ ”“△”“□”质量从大到小的顺序排列为( )
A.□○△ B.□△○ C.△○□ D.△□○
6.下列各式一定成立的是( )
A.7a>5a B. a>-a C. a+7>a-4
7.若-a>a,则a必为( )
A.负整数 B.正整数 C.负数 D.正数
8.已知a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么下列判断正确的是( )
A.1-b>-b>1+a>a B.1+a>a>1-b>-b
C.1-b>1+a>-b>a D.1+a>1-b>a>-b
9.对于命题“a,b是有理数,若a>b,则( ，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列四种说法:①a,b是有理数,若a>b>0,则 ;②a,b是有理数,若a>b,且a+b>0,则( b ;③a,b是有理数,若ab ;④a,b是有理数,若aA.1 B.2 C.3 D.4
10.比较下列各对代数式的值的大小：
(1)已知x(2)已知2—3x>2—3y,则x y.
11.若a<0,--112.已知正数a、b、c满足 则 的取值范围为 .
13.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x(1)5x>4x+8 (2)x+2<-1
(4)10-x>0
(6)3x+5<0
14.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
(2)-4x≥x+5.
15.已知a16.将 这四个数用“<”连接.
17.设a>0>b>c,且a+b+c=-1,若 试比较M、N、P的大小.
18.通过计算比较下列各组数中两个数的大小：
1 2 ;2 3 ;3 2 ;2 5 ;5 6 ,…
由以上结果可以猜想n"+ 与((n+1)"|的大小关系是 .
根据以上猜想，你能判断20032004 与2004 |的大小吗
19.试比较a与 的大小.
中考链接
20.(2011·深圳)已知a,b,c均为实数,若a>b,c≠0.下列结论不一定正确的是( )
A. a+c>b+c B. c-a21.(2011·杭州)若a+b=-2,且a≥2b,则( )
有最小值 有最大值1
C. a/b有最大值2 D. a/b 有最小值
巅峰突破
22. If a23.已知a,b,c,d都是正实数,且 给出下列4 个不等式： 其中正确的是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
基础演练
1.(1)不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；
(2)不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；
(4)不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；
(5)不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变.
2. (1)<;(2)<;(3)<;(4)>;(5)>.
3. (1) ;(2) ;(3) ;(4)×;(5) ;(6)×;(7)
4. (1)②;
(2)错误地运用了不等式的基本性质，不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
(3)∵a>b,∴-2009a<-2009b,∴-2009a+1<-2009b+1.
能力提升
5. B;6. C; 7. C;8. C
9. D
【提示】①a、b是有理数,若a>b>0,即|a|>|b|则 定成立；
②a,b是有理数,若a>b,且a+b>0,则a,b都是正数，或a，b异号，且|a|>|b|，不论哪种情况都有|a|>|b|,则(
③a,b是有理数,若a|b|，则
④a,b是有理数,若a|b|，因而有
故真命题的个数是4个.
10. (1)<;(2)<.
【提示】(1)先在不等式x(2)先在不等式2-3x>2-3y同时减去2,再同时除以-3，不等号改变方向，应填“<”号.
【提示】显然 ab 是正数, a,ab 都是负数；因为-1故应填
12. 9【提示】∵正数 a、b、c 满足
所以
有 得到 所以
两式相加：
即
又
即
即 913. (1)x>8;(2)x<-3;(3)x< ;(4)x<10;(5)x>10;(6)x<- .
14. (1)不等式的两边同时乘以3得,x<6.在数轴上表示为：
(2)不等式的两边同时减去x得,-5x≥5,两边同时除以-5得,x≤-1.
在数轴上表示为：
15.应分以下情况进行讨论：
(1)当a,b同号,即ab>0时,不等式a(2)当a,b异号,即ab<0时,不等式a又∵
17. ∵a+b+c=-1,
∴b+c=-1-a,
同理可得
又∵a>0>b>c,
即M18. <;<;>;>;>
当n≤2时
当n>2时,
∵2003>2,
19. 当0当a=±1时,
当a>1时,
当--1当a<--1时,
∴综上所述,当0当a>1或--1当a=±1时,
中考链接
20. D
【点评】本题主要考察了不等式的3个基本性质.
21. C
【提示】由不等式的性质得 两边同时除以b，得
巅峰突破
22. D
【提示】本题从正面很难作答，由于此题是选择题，故可利用特殊值法进行解答.
设a=--2，b=--1，分别代入四个选项当中即可.
23. D
【提示】可用特殊值法.