8.4 三元一次方程组 培优讲义2023-2024学年人教版七年级数学下册 含答案

第四节 三元一次方程组
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
三元一次方程组 了解三元一次方程组的相关概念 ★
能选择适当的方法解三元一次方程组 ★★
能用三元一次方程组解决实际问题 ★★
二、核心纲要
1.三元一次方程
(1)三元一次方程的概念
含有三个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的方程叫三元一次方程.
注：判定一个方程是三元一次方程必须同时满足三个条件
①方程两边的代数式都是整式——整式方程；
②含有三个未知数——“三元”；
③含有未知数的项的次数为1——“一次”.
(2)三元一次方程的一般形式
三元一次方程的一般形式为:ax+by+cz+d=0(a≠0,b≠0,c≠0)
(3)三元一次方程的解
使三元一次方程左、右两边的值相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解.
一般情况下，一个三元一次方程有无数个解.
2.三元一次方程组
(1)三元一次方程组的概念
由几个一次方程组成并且含有三个未知数的方程，叫三元一次方程组.
注：三元一次方程组不一定由三个三元一次方程合在一起：方程可以超过三个，有的方程可以只有一个未知数.如 也是三元一次方程组.
(2)三元一次方程组的解
三元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程.
3.三元一次方程组的解法
与二元一次方程组的解法相似，用代入消元法或者加减消元法.
本节重点讲解：一个形式，四个概念(三元一次方程、三元一次方程的解、三元一次方程组、三元一次方程组的解).
三、全能突破
基础演练
1.三元一次方程组 的解是( )
2.由方程x+t=5,y-2t=4组成的方程组可得x,y的关系式是( )
A. x+y=9 B.2x+y=7 C.2x+y=14 D. x+y=3
3.若3x+5y+6z=5,4x+2y+z=2,则x+y+z的值等于( )
A.9 B.1 C.-9 D.不能求出
4.运用加减法解方程组 运算量较小的方法是( )
A.先消去x，再解 B.先消去 z,再解
C.先消去y，再解 D.三个方程相加得8x-2y+4z=11再解
5.方程组 的解是( )
6.如果 其中xyz≠0,那么x:y:z=( )
A.1:2:3 B.2:3:4 C.2:3:1 D.3:2:1
7.三个二元一次方程2x+5y-6=0,3x-2y-9=0,y=kx--9有公共解的条件是k=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
能力提升
8.若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么a+b+c+d的最大值是( )
A.-1 B.-5 C.0 D.1
9.若a,b,c为三角形的三边长,此三角形周长为18cm,且a+b=2c,b=2a;则a= cm,b= cm,c= cm.
10.解方程组:
11.若 求 的值.
12.解方程组:
13.已知,x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21,求x,y,z的值.
14.解方程组
15.已知方程组 的解是方程 的解，求k的值.
16.解方程组:
17.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机.已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.
(1)若商场同时购进两种不同型号的电视机50台，共付9万元，请探究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号电视机的方案中，哪种能使获利最大
(3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案.
18.A、B、C、D、E五人参加抢答比赛，每题都有人回答，答对一题得1分，答错一题得-1分，比赛结束五人得分总和为60分，其中：A，B两人总分与C，D，E三人总分相等；B，C总分是其余三人总分的 C，D两人总分是其余三人总分的 ；D，E两人总分是其余三人总分的 ,那么此次比赛A,B,C,D，E 五人各得多少分
19.某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工.若干天后的零时，甲完成任务；几天后的18时，乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米、240米、180米，问这段路面有多长
中考链接
20.(台湾)若a:b:c=2:3:7,且a-b+3=c—2b,则c值为何 ( )
A.7 B.63
21.(烟台)利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图8-4-1(a)方式放置，再交换两木块的位置，按图8-4-1(b)方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是( ) cm
A.73 B.74
C.75 D.76
巅峰突破
22.甲、乙、丙三个容器各装有一定量的相同浓度的盐水，首先将甲的 倒入乙后，再将乙的 倒入丙，最后将丙的 倒入甲，结果各容器中的盐水量都是 千克，那么原来甲、乙、丙中的水量分别是多少千克
23.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本 10本、圆珠笔 1支共需8.4元.现购买铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需多少元
24.某次数学竞赛前60名获奖.原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人.调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分.如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分
基础演练
1. C; 2. C
3. B
【提示】3x+5y+6z+4x+2y+z=7,则7(x+y+z)=7,∴x+y+z=1
4. C;5. D; 6. C; 7. B
能力提升
8. B
【提示】∵a+b=c,∴a=c-b,
又∵b+c=d,c+d=a,
∴c=-2b,a=-3b,d=-b,
∴a+b+c+d=-5b,
∵b是正整数，其最小值为1，
∴a+b+c+d=-5b的最大值是-5
9. 4,8,6.
10.由①得:x+2(2x+3y-4z)=12④,将③代入④可得x=2,
将其代入②、③得：
解得：
11. 由 解得 代入
=-13
12. 由①、②可得:x:y:z = 15:10:8, 故设15k,y=10k,z= 8k,得x=30,y=20,z = 16
解得
13.因为x:y:z=1:2:7,所以:y=2x,z=7x
将x,y,z代入方程2x--y+3z=21,得:21x=21,所以:x=1
所以:y=2x=2,z=7x=7.
14. ①+②+③整理得
④--③得 同理可得
∴原方程的解为
15.解方程组得 代入方程得7k--1+15=21,解得k=1.
16. ①+②+③得:
-x--y-z=2a+2b+2c④,
④+①得 ④+②得y = ④+③得
17.(1)应分三种情形讨论：
①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，列 方 程 组 解 得
②同理求得若同时购进甲、丙电视机分别为35台和15台;
③不可能同时购进乙、丙两种电视机(方程组无正整数解).
(2)通过直接计算，上述两种方案的利润分别为8750元和 9000元，应选第二种方案.也可进行估算，在三种机型中，乙的利润率最低，甲、丙相同，易选择方案二.
(3)设购进甲、乙、丙三种电视机分别为x台、y台 和 z 台, 可 列 方 程 组 分别解出 y 和z得
根据题意，分别得到符合题意的整数解为：
18. 设A得x分,B得y分,C得z分,D得a分，E得b分，根据题意得：
解得
答:此次比赛A得28分,B得2分,C得18分,D得-3分,E得15分.
19.乙队最后一天完成 (米),丙队最后一天完成 (米)，设甲队a天完成，过b天后的18时乙队完成，自乙队完成的当天零时起，再过c天后的8时丙队完成，(a 、b、c均为正整数),则300a=240(a+b)+180=180(a+b+c)+60,5a =4(a+b)+3=3(a+b+c)+1,即 解得 又300(4b+3)≤3500,即( 又 因为c是整数,故b= 2,进而可得a = 11,b=2,c=5,马路的长为300×11= 3300(米).
答:路面长3300米.
中考链接
20. C
【提示】设a=2x,b=3x,c=7x,
∵a-b+3=c-2b,
∴2x-3x+3=7x--6x,
解得
21. C
【提示】设桌子的高度为 hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：
h--y+x=80,
由第二个图形可知桌子的高度为：
h--x+y=70,
两个方程相加得：
(h-y+x)+(h-x+y)=150,
解得:h=75cm.
巅峰突破
22.设原来甲、乙、丙容器中盐水的量分别为x，y，z千克，可列出方程组
解得
答：甲容器 千克，乙容器 千克，丙容器 千克.
23.设铅笔、练习本、圆珠笔的单价分别为a、b、c,由题意得
变形得
①×3-②×2得a+b+c=2.1.
答:共花费2.1元.
24.设调整后一等奖、二等奖、三等奖平均分数各为x，y，z分，由题意得
化简得
于是x-y=5.
答：调整后一等奖比二等奖平均分数多5分.