8.1 二元一次方程 (组)的相关概念培优讲义2023-2024学年人教版七年级数学下册（含答案）

第一节 二元一次方程 (组)的相关概念
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
二 元 一 次 方 程(组) 了解二元一次方程(组)的有关概念
能根据具体问题列出二元一次方程(组)
二、核心纲要
1.二元一次方程
(1)二元一次方程的概念
含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1 的整式方程叫做二元一次方程.
注：判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件
①方程两边的代数式都是整式——整式方程；
②含有两个未知数——“二元”；
③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”.
(2)二元一次方程的一般形式
二元一次方程的一般形式为:ax+by+c=0(a≠0,b≠0).
(3)二元一次方程的解
使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.
2.二元一次方程组
(1)二元一次方程组的概念
由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.
注：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一个未知数.如 也是二元一次方程组.
(2)二元一次方程组的解
二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.
本节重点讲解：一个形式，四个概念.
基础演练
1.下列方程是二元一次方程的是( )
A.2x+y=1
C.3x-5y=2z D.2x+3xy=5
2.在(1)(x=2,(2)(x=3,<3){x=-1,<3){x=1,<4}{x=-1}各组数中,是方程2x-y=5的解是( )
A.(2)(3) B.(1)(3)
C.(3)(4) D.(1)(2)(4)
3.方程3x+y=10的正整数解有( )
A.1组 B.3组
C.4组 D.无数组
4.二元一次方程组 的解是( )
5.请你写出一个解为 的二元一次方程为： .
6.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
7.已知二元一次方程2x--y=--3,当 时,y= .
8.已知 与 都是x+y=a(a≠0)的解,则c的值为 .
能力提升
9.若 是关于x,y的二元一次方程,且mn<0,0A. 43 B.2 C.4 D. -2
10.方程组 的解为 则被遮盖的两个数分别为( )
A.5,1 B.2,3 C.3,5 D.1,4
11.若x=a,y=b是方程2x+y=0的一个解,且a≠0,则ab的符号是( )
A.正号 B.负号
C.可能是正号，也可能是负号 D.即不是正号，也不是负号
12.若二元一次方程3x-2y=1有正整数解，则x的值为( )
A.偶数 B.奇数
C.偶数或奇数 D.0
13.方程组 的一个解是( )
14.若二元一次方程组 的解中y=0,则a:b= .
15.已知方程3x+y=12有很多解，请你随意写出互为相反数的一组解 .
16.已知x—5y=—5,则5—x+5y的值是 .
17.若 是关于a，b的二元一次方程ax+ay--b=7的一个解，则代数式( 的值是 .
18.已知二元一次方程 用含y的代数式表示x,则x= ;当y=-2时,x = .
19.已知方程 是关于x 、y的二元一次方程，求m、n的值.
20.若 是关于x，y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解，求a的值.
21.小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组 中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的运算结果是 你能由此求出原来的方程组吗
中考链接
22.(益阳)二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )
23.(凉山州)下列方程组中是二元一次方程组的是( )
巅峰突破
24.若|a+b+1|与( 互为相反数，则a与b的大小关系是( )
A. a>b B. a=b C. a25.已知对任意有理数a、b,关于x、y的二元一次方程(a-b)x-(a+b)y=a+b有一组公共解,求这个方程的公共解.
基础演练
1. A;2. D;3. B;4. C
5. x+y=-1(答案不唯一);6. A;7. 4;8. 0能力提升
9. A
【提示】根据二元一次方程的定义，x和y的次数必须都为1，
所以4-3|m|=1,且3|n|=1,
解得
又∵mn<0,010. A;11. B
【提示】∵x=a,y=b是方程2x+y=0的一个解,∴2a+b=0,
即b=-2a.
又a≠0,
∴a,b异号.
12. B;13. C
14. -3:4
16. 10
17. 24
【提示】把a=1,b=-2代入ax+ay-b=7得x+y=5,∴原式=24.
19. 根据题意可得:m--2≠0,n--1 = 1,|m--1|=1,所以n=2,m=0.
是关于x、y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解,
∴将 代入二元一次方程3x-y+a=0得到3-2+a=0,解得a=-1.
21.设第一个方程中y的系数为a，第二个方程中 x 的 系 数 为 b.则 原 方 程 组 可 写 成 将 代入二元一次方程组 解得
∴原方程组为
中考链接
22. B;23. D
巅峰突破
24. C
【提示】a+b=a-b,则b=0,a=-1
25.原方程可变形为
ax-bx-ay-by-a-b=0
∴a(x-y-1)-b(x+y+1)=0
即a(x-y-1)=b(x+y+1)
∵对于任意有理数a、b，方程有公共解.
解得
∴原方程的公共解为