第六章 实 数培优讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册 含答案

第六章 实 数
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
无理数 了解无理数的概念 ★
能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围 ★★
平方根、算术平方根 了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根 ★
会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根 ★★
立方根 了解立方根的概念，会用根号表示实数的立方根 ★
会用立方运算的方法，求某些数的立方根 ★★
实数 了解实数的概念 ★
会进行简单的实数运算 ★★
二、核心纲要
1.算术平方根
(1)定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a ，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
(2)表示：a的算术平方根用符号表示为 读作“根号a”，a 叫做被开方数.
规定：0的算术平方根是0.
注：算术平方根具有双重非负性，即
2.平方根
(1)定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，也就是说，若 则x叫做a的平方根.
(2)表示：一个非负数a的平方根用符号表示为“± ”.
(3)性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
3.开平方是指求一个非负数的平方根的运算
注：开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.
4.平方根的相关结论
(1)当被开方数扩大(或缩小)n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n倍(
(2)平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
(3)若一个非负数a介于另外两个非负数a 、a 之间，它的算术平方根介于 之间，即当 时，则 利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围.
5.立方根
(1)定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若 则x叫做a的立方根.
(2)表示：一个数a 的立方根用符号表示为“ 其中“3”叫做根指数，不能省略., 读作“三次根号a”.
(3)性质：正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根为0.
6.开立方是指求一个数的立方根的运算
注：开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根.
7.立方根的相关结论
(1)当被开方数扩大(或缩小)n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n(n≥0)倍.
(3)若一个数a介于另外两个数a 、a 之间，它的立方根介于 和 之间，即当 时，则 利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围.
8.实数
(1)无理数：无限不循环小数叫做无理数.
(2)有理数和无理数统称为实数.
(3)实数的分类
(4)实数与数轴上的点是一一对应的.
本节重点讲解：一个对应(实数与数轴上的点一一对应)，两种表示，两个运算，四个概念(平方根、算术平方根、立方根和实数).
三、全能突破
基础演练
1.下列说法正确的是( )
A.2是-4的算术平方根 B.若--a有平方根，则a一定是负数
C. a 的算术平方根是a D.16的平方根是±4
2.下列各式中，正确的是( )
3.若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的算术平方根是( )
4.有下列说法：
(1)无理数是开方开不尽的数； (2)无理数是无限不循环小数；
(3)带根号的数是无理数； (4)实数包括正实数和负实数；
(5)实数和数轴上的点是一一对应的.
其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(1)0的算术平方根是 ,- \sqrt {5}是 的一个平方根， 的平方根是 .
(2)若某一正数的平方根是2a-1和-a+2，则这个数是 .
的绝对值的相反数是 .
7.比较大小:(
8.当x为何值时，下列各式有意义.
9.已知2a--1的平方根为±3,2a+b--1的立方根为2,求a+2b的平方根.
10.(1)计算
(2)求下列各式中的x.
能力提升
11.如果a是任意实数，下列各式中有意义的是( )
A.√a
12.(1)如图，在数轴上表示实数. 的点可能是( )
A.点M B.点 N C.点 P D.点 Q
(2)数轴上表示 1、 的对应点分别为 A、B，点 B 关于点 A 的对称点为C，则点 C 所表示的数是( )
13.如右图所示，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为( )
14.代数式 的最大值为 ，此时a 与b的关系是 .
15.已知 则 若 ，则x的值为
16.某位老师在讲“实数”时，画了一个图(如右图所示)，即“以数轴上的单位长度为边作一个正方形，所得正方形的对角线长为 ，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴的正方向于点A”，则点 A所表示的数为 ，这种研究和解决问题的方法，体现了 的数学思想方法.
17.请先观察下列等式： 则第7个等式为 ,第n(n≥1)个等式为 .
18.代数式 的最小值是 .
19.已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图，化简：
20.已知 求 的立方根的相反数.
21.已知a、b满足 求 的值.
22.已知, 的小数部分为a， 其中b是整数，0中考链接
23.(益阳)在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U 为( )
24.(天津)比较2, , 的大小，正确的是( )
25.(广东)对于实数a、b,给出以下三个判断:
①若|a|=|b|,则
②若|a|<|b|,则a③若a=-b,则( .其中正确的判断的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
巅峰突破
26.下面有三个结论：
①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；
②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；
③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.
其中正确的有( )个
A.0 B.1 C.2 D.3
27.若 则A的算术平方根是 .
28.设a是整数，则使 为最小正有理数的a 的值为 .
基础演练
1. D;2. C;3. A;4. B
5. (1)0;5;± ;(2)9.
7. (1)=;(2)>.
8. (1)当x--1≥0,即x≥1时, 有意义.
(2)当 且x≠0，即x为不等于0的任意实数时， 有意义.
(3)当1-x≥0,即x≤1时,. 有意义.
(4)当 即x = 3时, 有意义.
9. 由题意可得:2a-1=9,2a+b--1=8,
∴a=5,b=-1.
∴a+2b=5-2 = 3.
∴a+2b的平方根为:
10.(1)①-1;②4.
或
②x-1=±2 ∴x=3或x=-1.
或
能力提升
11. D
12. (1)C
【提示】∵12.25<14<16,
∴在数轴上表示实数 的点可能是点 P.
(2)C
13. A
14. -5;a=-b.
15. 0.2284;5217.
16. ，数形结合.
【提示】要使 取得最小值，只需x最小且使代数式有意义，
需满足 解得:x≥2.
所以当x =2时，代数式 的最小值为：
19.由图可知:
a--b>0,c<0,b+c<0,-b>0.
∴原式=a-b-c+b+c+b-(b-a)=2a.
20.由题意得: 则
∴x=2.
的立方根的相反数是
∴a+1=0,2-b=0,c- =0.
∴a=-1,b=2,c= .
∴原式=
∴原式
中考链接
23. C
【提示】电压非负.
24. C;25. C
巅峰突破
26. D
【提示】如: 满足①,②, , 满足③.
【提示】 所以A的算术平方根是
28. 221
【提示】要使 最小，则1989a必须是完全平方数，而
所以最小正有理数a的值为221.