9.3 一元一次不等式及其应用培优讲义2023-2024学年人教版七年级数学下册 含答案

第三节 一元一次不等式及其应用
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
一元一次不等式及其应用 了解一元一次不等式的解的意义，会把解集在数轴上表示出来 ★
会解简单的一元一次不等式，会根据条件求整数解 ★★
会从实际问题中抽象出不等关系，会用一元一次不等式解决实际问题 ★★★
二、核心纲要
1.一元一次不等式的解法步骤
(1)去分母：在不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数；
注：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号.
(2)去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号.
(3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的一边，不含未知数的项移到不等式的另一边；
注：①移项要变号；②不要丢项.
(4)合并同类项：把不等式化成 (或 的形式；
注：字母及其指数不变.
(5)系数化为1：在不等式的两边都除以未知数的系数( ，得到不等式的解 (或
注：①不要把分子、分母位置颠倒；②当 时，系数化1要变号.
2.一元一次不等式的实际应用
(1)审：审清已知、未知及关键字词和语句；
(2)找：找出题目中的不等关系；
(3)设：设适当的未知数；
(4)列:列不等式;
(5)解:解不等式;
(6)答：检验是否符合题意，作答.
3.一元一次不等式的综合应用
(1)一元一次不等式的特殊解；
(2)一元一次不等式与方程；
*(3)含字母系数的不等式.
对于不等式ax>b,
①若a>0,则.
②若a<0,则
③若a=0，b<0，则不等式的解集是任意实数；
若a=0,b≥0,则不等式无解.
*(4)含有绝对值的不等式的解法(
的解集是
的解集是 或.
注：可利用数轴来确定在一定条件下的特殊解.
4.数学思想
(1)数形结合;
(2)分类讨论.
本节重点讲解：一个解法，一个应用(一元一次不等式的应用)，两个思想.
三、全能突破
基础演练
1.不等式-x--5<0的解集在数轴上表示正确的是( )
2.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图9-3-1所示，则a的取值是( )
A.0 B.—3
C. -2 D.—1
3.已知二元一次方程2x+y=8,当y<0时,x的取值范围是( )
A. x>4 B. x<4 C. x>-4 D. x<-4
4.已知x=m+15,y=5-2m,若m>-3,则x与y的关系为( )
A. x=y B. x>y C. x5.不等式2x-3≤4x+5的负整数解为 .
6.若点P(3a-2,2b-3)在第二象限,则a,b的取值范围是 .
7.若不等式2x-1≤13中的最大值是m,不等式-3x-1≤-7中的最小值为n,则不等式nx+mn8.解下列不等式：
(1)5x—12≤2(4x—3)
(2)解不等式
(3)解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解.
能力提升
9.已知 中，y为负数，则m的取值范围是( )
A. m>9 B. m<9 C. m>-9 D. m<-9
10.如果关于x的方程 的解不是负数，那么a与b的关系是( )
C. 5a=3b D.5a>3b
11.若a>1,则 的大小关系为( )
A. P>N>M B. M>N>P C. M>P>N D. N>P>M
12.若m>7,试用m表示出不等式(7-m)x>1-m的解集 .
13.(1)已知x(2)已知x>a的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 .
14.已知不等式3x--a≤0的正整数解只有1,2,3,4,那么a的取值范围是 .
15.若关于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程 的解，则a的取值范围为 .
16.已知不等式 (x为未知数)的解都是不等式 的解，求a的取值范围.
17.解关于x的不等式:ax+2≤x-a(a≠1).
18.解不等式:(1)|x|<2 (2)|2x-1|≥3.
19.(浙江温州)某校社会实践小组开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图9-3-2 所示).根据信息，解答下列问题.
(1)求这份快餐中所含脂肪质量；
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值.
20.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
甲 乙
价格/(万元/台) 7 5
每台日产量/个 100 60
(1)按该公司要求可以有几种购买方案
(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案
中考链接
21.(广东)已知不等式 (m是常数)的解集是. 求m.
22.(湖北襄阳)我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错(或不答)一题记-5分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 道题.
23.(2011·广州)某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，
方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；
方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.
(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算
巅峰突破
24.设a,b是常数,不等式 的解集为 ,则关于x 的不等式bx-a>0的解集是( )
25.已知 求|x-1|-|x+3|的最大值和最小值.
26.某仓库有50件同一规格的某种集装箱，准备委托运输公司送到码头，运输公司有每次可装运1件、2件、3件这种集装箱的三种型号的货车，这三种型号的货车每次收费分别为120元、160元、180元，现要求安排20辆货车刚好一次装运完这些集装箱.问这三种型号的货车各需多少辆 有多少种安排方式 哪些安排方式所需的运费最少 最少运费是多少
基础演练
1. B;2. D;3. A
4. B
【提示】x-y=m+15--(5-2m)=3m+10,∵m>-3,∴3m>--9.
∴3m+10>1>0.
∴x>y.
5. -1,-2,-3,-4.
【提示】解不等式2x-1≤13,解得:x≤7,则m=7;
解不等式-3x-1≤-7,解得:x≥2,则n=2;
则不等式nx+mn解得：
8. (1)去括号,得5x-12≤8x-6,
移项,得5x-8x≤-6+12,
合并同类项,得-3x≤6.
系数化为1,得x≥-2.
(2)去分母,得x-2-2(x-1)<2,
去括号,得x-2-2x+2<2,
移项、合并同类项，得-x<2，
系数化1,得x>-2.
(3)去分母,得 4(2x--1)--2(10x+1)≥15x-60.
去括号,得8x-4-20x-2≥15x-60,
移项、合并同类项,得-27x≥-54,
系数化为1，得x≤2.在数轴上表示解集如图所示：
∴非负整数解为:0,1,2.
能力提升
9. A
10. B
【提示】解方程 得 x =
∵解不是负数,∴x≥0. (
∴5a≥3b.即
11. C【提示】方法一:取a=2,则 ,由此知M>P>N,应选C.
方法二:由a>1知a-1>0.
又
∴M>P>N,应选C.
方法二主要应用了作差法.
【提示】∵m>7,∴7-m<0.∴x< =m.(注意变号)
13. (1)314. 12≤a<15.
【提示】解不等式得： ∴12≤a<15.
【提示】因为方程3(x+4)=2a+5的解为x= 方程 的解为
由题意，得
解得
即
x>-1.则6+a≥-1,∴a≥-7.
17. 原不等式变形为:(a-1)x≤-a-2
(1)当a-1>0时,即.
(2)当a-1<0时,即(
注：一定要对a-1的符号进行分类讨论.
18. (1)-2(2)原不等式变形为:2x--1≥3或2x--1≤|--3,解得:x≥2或x≤-1.
19. (1)400×5%=20.
(2)设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x+4x+20+400×40%=400,
∴x=44,
∴4x=176.
(3)解法一：设所含矿物质的质量为 y克，则所含碳水化合物的质量为(380-5y)克，
∴4y+(380-5y)≤400×85%,
∴y≥40.
∴380-5y≤180.
∴所含碳水化合物质量的最大值为180 克.
解法二：设所含矿物质的质量为n克，则n≥(1-85%-5%)×400,
∴n≥40,
∴4n≥160,
∴400×85%-4n≤180.
∴所含碳水化合物质量的最大值为180 克.
答：这份快餐中所含脂肪质量为 20克.所含蛋白质的质量为176克.所含碳水化合物质量的最大值为180克.
20.(1)设购买甲种机器x台，则购买乙种机器(6-x)台,则
7x+5(6-x)≤34
解得x≤2.
又x≥0,
∴0≤x≤2.
∵x是整数,
∴整数x=0,1,2.
∴有三种购买方案：
方案一：购买甲种机器0台，乙种机器6台；
方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；
方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台.
(2)列表如下:
日生产量/个 总购买资金/万元
方案一 360 30
方案二 400 32
方案三 440 34
由于方案一的日生产量小于 380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二.
中考链接
21.解不等式得:
∵原不等式的解集是x<3，
∴m=-1.
22. 14.
23. (1)120×0.95=114(元)
所以实际应支付114 元.
(2)设购买商品的价格为x元，由题意得：
0.8x+168<0.95x,
解得:x>1120.
所以当购买商品的价格超过1120 元时，采用方案一更合算.
巅峰突破
24. C
【提示】原不等式变形得：
∴a<0.
解原不等式得： 即b=-5a.
25.解不等式得:
令x+3 = 0,求得x =-3,所以零点值:x =-3.
①当x≤-3时,x+3≤0.
∴原式=1-x+x+3=4.
②当 时,x+3>0.
∴原式=1-x-x--3=-2x-2.
∴当 时，原式的最小值是
综上所述，原式的最大值是4，最小值是
26.设需要装运1件、2件、3件集装箱的货车分别为x辆、y辆、z辆,
依题意得 则
因为 y≥0,所以,0≤x≤5,
故x 只能取0、1、2、3、4、5
共有
这六种安排方式.
设总运费为ω元，则
ω=120x+160y+180z
=120x+160(10-2x)+180(10+x)
=3400-20x
当x=5时，总运费最低，最低运费为w=3400-20×5=3300(元).
答略.