广西南宁市青秀区第十四中2023-2024学年九年级下学期数学开学考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024九下·青秀开学考）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家，若收入300元记作+300元．则支出125元记作（ ）
A．+125元 B．-125元 C．-300元 D．+300元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： ∵收入300元记作+300元，
∴支出125元记作-125元.
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．（2024九下·青秀开学考）中华文明，源远流长：中华汉字，离意深广．下列四个选项中，是暂对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、"振"既不是中心对称图形也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、"兴"既不是中心对称图形也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、"中"是轴对称图形，此选项符合题意；
B、"华"既不是中心对称图形也不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．（2024九下·青秀开学考）据拫道，2024年元旦假期国内旅游出游135000000人次．数字135000000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：135000000=1.35×109.
故答案为：D.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．（2024九下·青秀开学考）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、球的三视图都是圆，此选项符合题意；
B、长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，此选项不符合题意；
C、圆柱体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的概念分别判断即可求解.
5．（2024九下·青秀开学考）如图，数轴上表示的是一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵在表示-1的点处是实心点，且表示解集的方向向右，在表示2的点处是空心点，且表示解集的方向向左，
∴这个不等式组的解集为-1≤x＜2.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的信息可求解.
6．（2024九下·青秀开学考）某学校开设了社团课程，小明从感兴起的“茶艺”、“烘溶”、“篮球”、“舞蹈”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烘焙”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：小明从感兴起的“茶艺”、“烘溶”、“篮球”、“舞蹈”4门课程中随机选择一门学习，共有4种等可能结果，其中小明恰好 选中“烘焙”的概率为：.
故答案为：C.
【分析】由题意根据概率公式计算即可求解.
7．（2024九下·青秀开学考）如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=120°，∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°.
故答案为：A.
【分析】由邻补角定义可求得∠3的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得∠2的度数.
8．（2024九下·青秀开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、∵m2与m不是同类型项，
∴原式=m2-m≠m；此选项不符合题意；
B、原式=10m6；此选项符合题意；
C、∵m2与m不是同类项，
∴原式=4m2+3m≠7m3；此选项不符合题意；
D、原式=16m8≠16m6，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知m2和m不是同类项，所以不能合并；
B、根据合并同类项法则可得原式=10m6；
C、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知m2和m不是同类项，所以不能合并；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可得原式=16m8.
9．（2024九下·青秀开学考）正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点的模坐标为2，当，时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为2，
∴y=，即A（2，1），
把点A的坐标代入y1=k1x得：
1=2k，解得：k=，
∴y1=x，
解方程组得：，
∴A（2，1），B（-2，-1），
∵y1＜y2，
∴x的范围为：0＜x＜2或x＜-2.
故答案为：0＜x＜2或x＜-2.
【分析】由题意把点A的横坐标代入反比例函数的解析式可求得点A的纵坐标，把点A的坐标代入一次函数的解析式求出k1的值，将两个函数解析式联立解方程组可求得点b的坐标，然后根据y1＜y2可知符合不等式的x的值就是直线低于双曲线的x的值.
10．（2024九下·青秀开学考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题；“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何 ”译文：今有醇酒（优质酒)1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒)1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗。行酒y斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设能买醇酒x斗，行酒y斗，由题意可得：
.
故答案为：D.
【分析】设能买醇酒x斗，行酒y斗，根据题中的相等关系“醇酒的斗数+行酒的斗数=总斗数2，x斗醇酒的费用+y斗行酒的费用=30”即可求解.
11．（2024九下·青秀开学考）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线叹上．周长为4，若，财的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵AA =2OA，
∴，
∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵△ABC的周长为4，
∴△A B C 的周长=3×4=12.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的性质可得，结合已知的△ABC的周长即可求解.
12．（2024九下·青秀开学考）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx交于M、N两点，
∴kx=ax2+bx+c有两个不相等的根，
即ax2+(b-k)x+c=0两个不相等的根且都大于0，
∴函数y=ax2+(b-k)x+c与x轴两个交点都在x轴的正半轴.
故答案为：C.
【分析】根据“抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx交于M、N两点”可得方程kx=ax2+bx+c有两个不相等的根，于是可知函数y=ax2+(b-k)x+c与x轴两个交点都在x轴的正半轴，结合各选项即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024九下·青秀开学考）若分式有道义，则头数的叹值范围是 .
【答案】x≠3.
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，解得：x≠3.
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
14．（2018·商河模拟）分解因式：
【答案】(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式=(x+y)(x-y)，故答案为：(x+y)(x-y).
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可。
15．（2024九下·青秀开学考）小红应聘小记者，进行了两项测试，测试成绩分别是：采访写作90分、计算机输入70分，若将采访写作和计算机输入两项成绩按3：2的比例来计算平均成绩，则小红的平均成绩是 分.
【答案】82
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小红的平均成绩为：（90×3+70×2）÷5=82（分）.
故答案为：82.
【分析】根据加权平均数的计算公式即可求解.
16．（2024九下·青秀开学考）如图，我校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离BC为30米，且距地面高度AB为2.5米，则气球顶部都离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，）.
【答案】17.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=30米，CD=AB=2.5米，
∵∠EAD=26.566°，
而tan∠EAD=，
∴ED=30×0.5=15，
∴EC=ED+CD=15+2.5=17.5（米）
故答案为：17.5.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，CD=AB，在Rt△AED中，由锐角三角函数tan∠EAD=可求得ED的值，然后EC=ED+CD可求解.
17．（2024九下·青秀开学考）如图，直径AB=6的半圆，绕B点逆时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：S阴影=S半圆A B+S扇形A BA-S半圆AB
∵直径AB=6的半圆，绕B点逆时针旋转30°，此时点A到了点A'，
∴S半圆A B=S半圆AB
∴S阴影=S扇形A BA=.
故答案为：3π.
【分析】根据旋转的性质可得S半圆A B=S半圆AB，由阴影部分面积的构成S阴影=S半圆A B+S扇形A BA-S半圆AB=S扇形A BA可求解.
18．（2024九下·青秀开学考）如图，在□ABCD中，，点在AD的延长线上，且，过点作直线分别交边CD，AB于点M，N．若直线将□ABCD的面积平分，则线段CM的长为 .
【答案】3.2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图：
连接AC交l于点O，
∵直线l将平行四边形ABCD的面积平分，AC为平行四边形ABCD的对角线，
∴O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠NAO=∠MCO，，
又∵∠AON=∠COM，
∴△AON≌△COM（ASA）
∴AN=CM，
∴，
∵ED=2，AD=6，AB=4，
∴，解得：CM=3.2.
故答案为：3.2.
【分析】连接AC交l于点O，由直线l将平行四边形ABCD的面积平分可知O为AC的中点，根据平行四边形的性质用角边角易证△AON≌△COM，于是AN=CM，于是可得关于CM的方程，解方程可求解.
三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19．（2024九下·青秀开学考）计算：.
【答案】解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解.
20．（2019九上·南昌期中）解方程： .
【答案】解： ∴ 或 ∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解.
21．（2024九下·青秀开学考）下面是小明同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮他补充完整.
命题：三角形的三个内角的和等于．
已知：如图1．．
求证：．
证明：如图2．延长BA到，以AC为边，在其右侧尺规作，
∵∠CAE=∠C.
∴……
【答案】解：如图，∠CAE即为所求作.
完善的证明过程如下：
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质和平角等于180度可求解.
22．（2024九下·青秀开学考）为落实立德树人的根本任务，着力培养学生的核心素养．某中学选取了A“广西药用植物园”，B.“广西民族傅物馆”，C.“广西科技馆”，D.“南宁园博园”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查统计(每名学生只能选择一个研学基地)，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图所示).
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请你求出本次调查抽取学生的总人数，并将上面的条形统计图补充完整；
（2）若该校共有650名学生，请你估计选择研学基地A的学生人数；
（3）学校想从选择研学基地B的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地B的学生中恰有一名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率.
【答案】（1）解：16÷40%=40（人）
答：在本次调查中，一共抽取的学生总人数为40人
补全的条形统计图如图所示.
（2）解：（人)
答：估计选择研学基地A的学生人数是130人．
（3）解：
由图可知，从选择研学基地B的学生中选取两名学生的结果共有12种，并且每种结果出现的可能性相等，其中所选2人都是男生的结果有6种，
所选2人都是男生的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）观察条形图和扇形图可知C组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次调查抽取学生的总人数；然后根据样本容量等于各小组频数之和可求得D组的频数，于是条形图可补充完整；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知从选择研学基地B的学生中选取两名学生的结果共有12种，并且每种结果出现的可能性相等，其中所选2人都是男生的结果有6种，然后由概率公式计算即可求解.
23．（2024九下·青秀开学考）如图，AB是的直径，点C，D是上的点，AC分别与BD，OD相交于点E，P．且．
（1）求证：：
（2）若，求的直径．
【答案】（1）证明：是的直径，
（2）解：，
在Rt中，，
的直径为10.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，由垂径定理的推论可得OF⊥AC，于是根据平行线的判定可求解；
（2）由垂径定理可得AF=AC，在Rt△AFO中，用勾股定理可得关于AO的方程，解方程即可求得半径AO的值，然后根据圆的直径=2AO可求解.
24．（2024九下·青秀开学考）在平面直角坐标系中．二次函数图象的表达式为，其中．
（1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式．
（2）若和为此二次函数图枲上两个不同点．当时，，求的值．
（3）已知，若点（1．）在此二次函数图象上，且当时随的增大而减小，求的范围．
【答案】（1）解：将（1，6），代入，
得：，
∴a=1
∴
这个二次函数的表达式为：，
（2）解：，
这两个点关于轴对称，
（3）解：点（1，t）在二次函数图象上，
，且当时随的增大而减小，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意将点（1，6）和a-b=-2代入二次函数的解析式可求得a的值，把a的值代入a-b=-2可求得b的值，则二次函数的解析式可求解；
（2）根据y1=y2可知两个点关于x轴对称，根据轴对称的性质可得关于a的方程，解方程可求解；
（3）由题意把点（1，t）代入二次函数的解析式可将t用含a的代数式表示出来，然后根据题意"a＞0，且当时随的增大而减小"可得关于a的不等式，解之可求解.
25．（2024九下·青秀开学考）综合与实践
【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化.
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数x 1 2 3 4 5
杯子的总数y 1 3 6 10 15 …
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2、小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发．将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式.
（1）【解决问题】
直接写出与的关系式；
（2）现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层怀了的个数；
（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层提放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数
【答案】（1）解：由题意得：
y=(x+1)x=.
故答案为：
（2）解：当时，，
解得：(舍去)，，
答：第一层杯子的个数为7个；
（3）解：，
，
；
，
，
在Rt中，，
第一层摆放杯子的总长度不超过，设第一层杯子的个数为个，则，解得：取最大值为9，
即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9，杯子的总数为(个)，最大高度为：.
【知识点】勾股定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式；
（2）由题意将y=28代入（1）中的解析式可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
（3）①由题意根据弧长公式L=可求出弧AB的长，根据弧AB是底面圆周长可求出底面圆MA的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OND∽△OMA，于是可得比例式，在Rt△OAM中，用勾股定理可求得OM的值，于是代入比例式可求出ON的值，然后由线段的构成MN=OM-ON求出MN的值，设第一层杯子的个数为个，再由第一层摆放杯子的总长度不超过可得关于x的不等式，解之可求出x的值，把x的值代入（1）中的解析式计算即可求解.
26．（2024九下·青秀开学考）
【问题情境】如图，在中，，点在边BC上，将线段DB绕点顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使.连接AF.
（1）【尝试探究】
如图1，当a=60°时，易知AF-BE；如图2，当a=45°时，则AF与BE的数量关系为 ；
（2）如图3，请判断∠EBC与的数量关系，并说明理由：
（3）【拓展应用】
如图4，当且点B，E，F三点共线时.若，请求出CF的长.
【答案】（1）
（2）解：理由加下。
如图1，过点作于点，过点作于点，
（3）解：如图2，过点作于点，过点作，交BF的延长线于点.
由(2)得，，
线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
设，则，
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当α=45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠FCE=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF.
故答案为：BE=AF.
【分析】（1）由题意易得△ABC和△FEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，由“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△ACF∽△BCE，从而可得比例式求解；
（2）∠EBC=∠FAC，理由：过点作于点，过点作于点，根据锐角三角函数定义cosα=，结合等腰直角三角形的性质可得2cosα=，由“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△ACF∽△BCE，于是根据相似三角形的对应角相等可求解；
（3）过点作于点，过点作，交BF的延长线于点，由（2）可得△ACF∽△BCE，2cosα=，结合已知易得，根据旋转的性质可得BM=EM，设，则，由线段的构成EH=BH-BE可将EH用含x的代数式表示出来，则EF=FC也可用含x的代数式表示出来，结合表示的结论可得EF=FC=BE求解.
1 / 1广西南宁市青秀区第十四中2023-2024学年九年级下学期数学开学考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024九下·青秀开学考）中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家，若收入300元记作+300元．则支出125元记作（ ）
A．+125元 B．-125元 C．-300元 D．+300元
2．（2024九下·青秀开学考）中华文明，源远流长：中华汉字，离意深广．下列四个选项中，是暂对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·青秀开学考）据拫道，2024年元旦假期国内旅游出游135000000人次．数字135000000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·青秀开学考）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·青秀开学考）如图，数轴上表示的是一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·青秀开学考）某学校开设了社团课程，小明从感兴起的“茶艺”、“烘溶”、“篮球”、“舞蹈”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烘焙”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·青秀开学考）如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·青秀开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九下·青秀开学考）正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点的模坐标为2，当，时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．（2024九下·青秀开学考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题；“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何 ”译文：今有醇酒（优质酒)1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒)1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗。行酒y斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024九下·青秀开学考）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线叹上．周长为4，若，财的周长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
12．（2024九下·青秀开学考）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024九下·青秀开学考）若分式有道义，则头数的叹值范围是 .
14．（2018·商河模拟）分解因式：
15．（2024九下·青秀开学考）小红应聘小记者，进行了两项测试，测试成绩分别是：采访写作90分、计算机输入70分，若将采访写作和计算机输入两项成绩按3：2的比例来计算平均成绩，则小红的平均成绩是 分.
16．（2024九下·青秀开学考）如图，我校数学兴趣小组在处用仪器测得一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离BC为30米，且距地面高度AB为2.5米，则气球顶部都离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，）.
17．（2024九下·青秀开学考）如图，直径AB=6的半圆，绕B点逆时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是 .
18．（2024九下·青秀开学考）如图，在□ABCD中，，点在AD的延长线上，且，过点作直线分别交边CD，AB于点M，N．若直线将□ABCD的面积平分，则线段CM的长为 .
三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19．（2024九下·青秀开学考）计算：.
20．（2019九上·南昌期中）解方程： .
21．（2024九下·青秀开学考）下面是小明同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮他补充完整.
命题：三角形的三个内角的和等于．
已知：如图1．．
求证：．
证明：如图2．延长BA到，以AC为边，在其右侧尺规作，
∵∠CAE=∠C.
∴……
22．（2024九下·青秀开学考）为落实立德树人的根本任务，着力培养学生的核心素养．某中学选取了A“广西药用植物园”，B.“广西民族傅物馆”，C.“广西科技馆”，D.“南宁园博园”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查统计(每名学生只能选择一个研学基地)，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图(如图所示).
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请你求出本次调查抽取学生的总人数，并将上面的条形统计图补充完整；
（2）若该校共有650名学生，请你估计选择研学基地A的学生人数；
（3）学校想从选择研学基地B的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地B的学生中恰有一名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率.
23．（2024九下·青秀开学考）如图，AB是的直径，点C，D是上的点，AC分别与BD，OD相交于点E，P．且．
（1）求证：：
（2）若，求的直径．
24．（2024九下·青秀开学考）在平面直角坐标系中．二次函数图象的表达式为，其中．
（1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式．
（2）若和为此二次函数图枲上两个不同点．当时，，求的值．
（3）已知，若点（1．）在此二次函数图象上，且当时随的增大而减小，求的范围．
25．（2024九下·青秀开学考）综合与实践
【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化.
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数x 1 2 3 4 5
杯子的总数y 1 3 6 10 15 …
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2、小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分；为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发．将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式.
（1）【解决问题】
直接写出与的关系式；
（2）现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层怀了的个数；
（3）杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，所对的圆心角．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层提放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数
26．（2024九下·青秀开学考）
【问题情境】如图，在中，，点在边BC上，将线段DB绕点顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使.连接AF.
（1）【尝试探究】
如图1，当a=60°时，易知AF-BE；如图2，当a=45°时，则AF与BE的数量关系为 ；
（2）如图3，请判断∠EBC与的数量关系，并说明理由：
（3）【拓展应用】
如图4，当且点B，E，F三点共线时.若，请求出CF的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： ∵收入300元记作+300元，
∴支出125元记作-125元.
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、"振"既不是中心对称图形也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
B、"兴"既不是中心对称图形也不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、"中"是轴对称图形，此选项符合题意；
B、"华"既不是中心对称图形也不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：135000000=1.35×109.
故答案为：D.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、球的三视图都是圆，此选项符合题意；
B、长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，此选项不符合题意；
C、圆柱体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的概念分别判断即可求解.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵在表示-1的点处是实心点，且表示解集的方向向右，在表示2的点处是空心点，且表示解集的方向向左，
∴这个不等式组的解集为-1≤x＜2.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上的信息可求解.
6．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：小明从感兴起的“茶艺”、“烘溶”、“篮球”、“舞蹈”4门课程中随机选择一门学习，共有4种等可能结果，其中小明恰好 选中“烘焙”的概率为：.
故答案为：C.
【分析】由题意根据概率公式计算即可求解.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=120°，∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-120°=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=60°.
故答案为：A.
【分析】由邻补角定义可求得∠3的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得∠2的度数.
8．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、∵m2与m不是同类型项，
∴原式=m2-m≠m；此选项不符合题意；
B、原式=10m6；此选项符合题意；
C、∵m2与m不是同类项，
∴原式=4m2+3m≠7m3；此选项不符合题意；
D、原式=16m8≠16m6，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知m2和m不是同类项，所以不能合并；
B、根据合并同类项法则可得原式=10m6；
C、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知m2和m不是同类项，所以不能合并；
D、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可得原式=16m8.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为2，
∴y=，即A（2，1），
把点A的坐标代入y1=k1x得：
1=2k，解得：k=，
∴y1=x，
解方程组得：，
∴A（2，1），B（-2，-1），
∵y1＜y2，
∴x的范围为：0＜x＜2或x＜-2.
故答案为：0＜x＜2或x＜-2.
【分析】由题意把点A的横坐标代入反比例函数的解析式可求得点A的纵坐标，把点A的坐标代入一次函数的解析式求出k1的值，将两个函数解析式联立解方程组可求得点b的坐标，然后根据y1＜y2可知符合不等式的x的值就是直线低于双曲线的x的值.
10．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设能买醇酒x斗，行酒y斗，由题意可得：
.
故答案为：D.
【分析】设能买醇酒x斗，行酒y斗，根据题中的相等关系“醇酒的斗数+行酒的斗数=总斗数2，x斗醇酒的费用+y斗行酒的费用=30”即可求解.
11．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵AA =2OA，
∴，
∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∵△ABC的周长为4，
∴△A B C 的周长=3×4=12.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的性质可得，结合已知的△ABC的周长即可求解.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx交于M、N两点，
∴kx=ax2+bx+c有两个不相等的根，
即ax2+(b-k)x+c=0两个不相等的根且都大于0，
∴函数y=ax2+(b-k)x+c与x轴两个交点都在x轴的正半轴.
故答案为：C.
【分析】根据“抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx交于M、N两点”可得方程kx=ax2+bx+c有两个不相等的根，于是可知函数y=ax2+(b-k)x+c与x轴两个交点都在x轴的正半轴，结合各选项即可求解.
13．【答案】x≠3.
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，解得：x≠3.
故答案为：x≠3.
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
14．【答案】(x+y)(x-y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】原式=(x+y)(x-y)，故答案为：(x+y)(x-y).
【分析】直接利用平方差公式因式分解即可。
15．【答案】82
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小红的平均成绩为：（90×3+70×2）÷5=82（分）.
故答案为：82.
【分析】根据加权平均数的计算公式即可求解.
16．【答案】17.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可得四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=30米，CD=AB=2.5米，
∵∠EAD=26.566°，
而tan∠EAD=，
∴ED=30×0.5=15，
∴EC=ED+CD=15+2.5=17.5（米）
故答案为：17.5.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，CD=AB，在Rt△AED中，由锐角三角函数tan∠EAD=可求得ED的值，然后EC=ED+CD可求解.
17．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：S阴影=S半圆A B+S扇形A BA-S半圆AB
∵直径AB=6的半圆，绕B点逆时针旋转30°，此时点A到了点A'，
∴S半圆A B=S半圆AB
∴S阴影=S扇形A BA=.
故答案为：3π.
【分析】根据旋转的性质可得S半圆A B=S半圆AB，由阴影部分面积的构成S阴影=S半圆A B+S扇形A BA-S半圆AB=S扇形A BA可求解.
18．【答案】3.2
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图：
连接AC交l于点O，
∵直线l将平行四边形ABCD的面积平分，AC为平行四边形ABCD的对角线，
∴O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠NAO=∠MCO，，
又∵∠AON=∠COM，
∴△AON≌△COM（ASA）
∴AN=CM，
∴，
∵ED=2，AD=6，AB=4，
∴，解得：CM=3.2.
故答案为：3.2.
【分析】连接AC交l于点O，由直线l将平行四边形ABCD的面积平分可知O为AC的中点，根据平行四边形的性质用角边角易证△AON≌△COM，于是AN=CM，于是可得关于CM的方程，解方程可求解.
19．【答案】解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则“先乘方，再乘除，后加减，若有括号先计算括号里面的”计算即可求解.
20．【答案】解： ∴ 或 ∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解.
21．【答案】解：如图，∠CAE即为所求作.
完善的证明过程如下：
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质和平角等于180度可求解.
22．【答案】（1）解：16÷40%=40（人）
答：在本次调查中，一共抽取的学生总人数为40人
补全的条形统计图如图所示.
（2）解：（人)
答：估计选择研学基地A的学生人数是130人．
（3）解：
由图可知，从选择研学基地B的学生中选取两名学生的结果共有12种，并且每种结果出现的可能性相等，其中所选2人都是男生的结果有6种，
所选2人都是男生的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）观察条形图和扇形图可知C组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次调查抽取学生的总人数；然后根据样本容量等于各小组频数之和可求得D组的频数，于是条形图可补充完整；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知从选择研学基地B的学生中选取两名学生的结果共有12种，并且每种结果出现的可能性相等，其中所选2人都是男生的结果有6种，然后由概率公式计算即可求解.
23．【答案】（1）证明：是的直径，
（2）解：，
在Rt中，，
的直径为10.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，由垂径定理的推论可得OF⊥AC，于是根据平行线的判定可求解；
（2）由垂径定理可得AF=AC，在Rt△AFO中，用勾股定理可得关于AO的方程，解方程即可求得半径AO的值，然后根据圆的直径=2AO可求解.
24．【答案】（1）解：将（1，6），代入，
得：，
∴a=1
∴
这个二次函数的表达式为：，
（2）解：，
这两个点关于轴对称，
（3）解：点（1，t）在二次函数图象上，
，且当时随的增大而减小，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意将点（1，6）和a-b=-2代入二次函数的解析式可求得a的值，把a的值代入a-b=-2可求得b的值，则二次函数的解析式可求解；
（2）根据y1=y2可知两个点关于x轴对称，根据轴对称的性质可得关于a的方程，解方程可求解；
（3）由题意把点（1，t）代入二次函数的解析式可将t用含a的代数式表示出来，然后根据题意"a＞0，且当时随的增大而减小"可得关于a的不等式，解之可求解.
25．【答案】（1）解：由题意得：
y=(x+1)x=.
故答案为：
（2）解：当时，，
解得：(舍去)，，
答：第一层杯子的个数为7个；
（3）解：，
，
；
，
，
在Rt中，，
第一层摆放杯子的总长度不超过，设第一层杯子的个数为个，则，解得：取最大值为9，
即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9，杯子的总数为(个)，最大高度为：.
【知识点】勾股定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式；
（2）由题意将y=28代入（1）中的解析式可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
（3）①由题意根据弧长公式L=可求出弧AB的长，根据弧AB是底面圆周长可求出底面圆MA的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△OND∽△OMA，于是可得比例式，在Rt△OAM中，用勾股定理可求得OM的值，于是代入比例式可求出ON的值，然后由线段的构成MN=OM-ON求出MN的值，设第一层杯子的个数为个，再由第一层摆放杯子的总长度不超过可得关于x的不等式，解之可求出x的值，把x的值代入（1）中的解析式计算即可求解.
26．【答案】（1）
（2）解：理由加下。
如图1，过点作于点，过点作于点，
（3）解：如图2，过点作于点，过点作，交BF的延长线于点.
由(2)得，，
线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
设，则，
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）当α=45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠FCE=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF.
故答案为：BE=AF.
【分析】（1）由题意易得△ABC和△FEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，由“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△ACF∽△BCE，从而可得比例式求解；
（2）∠EBC=∠FAC，理由：过点作于点，过点作于点，根据锐角三角函数定义cosα=，结合等腰直角三角形的性质可得2cosα=，由“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△ACF∽△BCE，于是根据相似三角形的对应角相等可求解；
（3）过点作于点，过点作，交BF的延长线于点，由（2）可得△ACF∽△BCE，2cosα=，结合已知易得，根据旋转的性质可得BM=EM，设，则，由线段的构成EH=BH-BE可将EH用含x的代数式表示出来，则EF=FC也可用含x的代数式表示出来，结合表示的结论可得EF=FC=BE求解.
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