16.1二次根式 课件(共53张PPT) 人教版数学八年级下册

(共53张PPT)
第16章 二次根式
16.1 二次根式（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根 ， 0的算术平方根是0.
知识回顾
2.如果x2=9，那么x= .
4.如果x2=-5，那么实数x .
5.如果x2=a(a≥0)，那么x= .
1.13的平方根是 ，13的算术平方根是 .
知识回顾
3.如果x2=0，那么x= .
±
±3
无解
0
±
正数有两个平方根，它们互为相反数,
0的平方根是0,
负数没有平方根.
1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.
2.利用二次根式的概念解决具体问题.
学习目标
圆形喷泉的面积为 70πm , 那么它的半径是多少？
这个式子有什么特点呢？
圆的面积公式是 S=πr ,所以半径 r =.
课堂导入
思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么共同特点：
（1）面积为 3 的正方形的边长为 ，面积为 S 的正方形的边长为 .
（2）一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m.
新知探究
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s），与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有 h 的式子表
示 t，那么 t 为 .
新知探究
上述问题的结果为 , ,，这些式子表示什么含义呢？观察这些式子的被开方数和根指数，你能试着归纳它们的共同特点吗？
4个式子分别表示3,S,65, 的算术平方根.
共同特点是被开方数为非负数，根指数为2.
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“ ”称为二次根号.

二次根号
被开方数
读作:根号a
知识点1：二次根式的定义
新知探究
a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等
实为“”，通常将根指数2省略不写
下列式子中，哪些是二次根式？
，（m≤0）， ， （m,n异号），
，， ，，， .
跟踪训练
新知探究
的根指数不是2，不是二次根式
题中被开方数m-5,mn,-5是负数，不是二次根式
二次根式的双重非负性
(1)被开方数 a 必须为大于或等于 0的非负数.
(2) （a≥0）既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果. 实际上就是非负数 a 的算术平方根，由于算术平方根的结果为非负数,故
思考 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有
意义？呢？
解：由 x2≥0 可知，x 可以为任意实数.
由 x3≥0 可知，x≥0.
知识点2：二次根式有意义的条件
新知探究
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即被开方数a≥0 .
例1 当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由 x-2≥0 得，x≥2.
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
被开方数为非负数
变式：当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由 x+3≥0 且 x-2≠0 ，得x≥-3且x≠2.
∴ x≥-3且x≠2时， 在实数范围内有意义.
分母不能为0
更多同类练习见《教材帮》数学RJ八下16.1节新知课
（2）由 ≥0 且 3-a≠0 得，a<3.
∴当 a<3 时， 在实数范围内有意义.
当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） （2） . （3） .
解：（1）由 a-1≥0 得，a≥1.
∴当 a≥1时， 在实数范围内有意义.
跟踪训练
新知探究
被开方数为非负数
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义.
随堂练习
1. 下列式子中一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
C
2. 使得式子有意义的 x 的取值范围是（ ）.
A. x≥4 B. x>4 C. x≤4 D. x<4
D
被开方数
二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数，中a≥0
课堂小结
注意隐含条件：分式的分母不能为0.
1.当 a 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） （2） . （3） .
解：（1）由题意可知 2+a≥0,
7-a≥0.
所以当-2≤a≤7时，+在实数范围内有意义.
拓展提升
注意：观察题目的形式，要同时满足两个根号中的式子为非负数，才能使得其在实数范围内有意义.
解：（2）由题意可知： ≥0
a+4≠0
所以当 a>-4 时，在实数范围内有意义.
注意：观察题目的形式，要注意分式的分母不能为0.
解：（3）由题意可得无论 a 为何值，a2≥0，则a2+5≥0.
所以当 a 取任意值时， 在实数范围内有意义.
注意：观察题目的形式，无论 a 为何值，a2 都是非负数.所以 a2+5 也为非负数.
2.已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且满足，求此三角形的周长.
解：由题意，得3a-6≥0，2-a≥0，解得a≥2，a≤2，∴a=2，∴b=4.
∵2+2=4，∴2 , 2 , 4不能组成三角形,
∴此三角形的周长为2+4+4=10 .
3.使代数式有意义的整数 x 有（ ）.
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
B
解：由题意得，x+3>0 且 4-3x≥0，解得 -34. 若，则的值为 .
，
，
，
第16章 二次根式
16.1 二次根式（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
（1）什么叫二次根式？如何表示？
（2）二次根式有意义的条件是什么？
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中“”称为二次根号.
被开方数（式子）为非负数，（≥0）.
知识回顾
当 x 为何值时， 在实数范围内有意义？
判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号里面的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式中分母不为0这个条件.
解：由题意，可知 x+3≥0 ，x-2≠0.解得 x≥-3且x≠2.
当x≥-3且x≠2时， 在实数范围内有意义.
1.了解并掌握二次根式的性质.
2.利用二次根式的性质解决具体问题.
学习目标
思考：二次根式 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 的取值范围是什么？
当 a>0 的时候 表示 a 的算术平方根，则 >0；
当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 =0.
当a≥0时，是非负数，即 ≥0.
课堂导入
性质1 0（a≥0） 二次根式的双重非负性.
表示 （a≥0），二次根式的被开方数非负
≥0，二次根式的值非负
知识点1：二次根式的性质
新知探究
目前已经学习过的非负数有以下3种形式：
a2 , ∣a∣, .
性质2 2=a（a≥0）.
文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数
本身.
公式逆用：若a≥0，则 a= () .
性质3 -a（a<0），
a（a≥0）
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
= =
例1 计算：
（1） ( )2 . （2） ( )2 .
解：（1）原式=1.5 .
（2）原式=22×=4×5=20.
（1）利用二次根式的性质2 : 2=a（a≥0）.
（2）同时利用二次根式的性质2和(ab)2=a2b2.
例2 化简：
（1） . （2）.
解：（1）原式= = 4.
（2）原式=5.
利用二次根式的性质3： = =
-a（a<0）
a（a≥0）
1.计算：（1） )2 . （2）(2.
解：（1）原式 = .
（2）原式 = 22× =4×3=12.
跟踪训练
新知探究
2.计算：（1） . （2） )2 .
解：（1）原式= = 3.
（2）原式=（-3）2× =9×=3.
熟练掌握二次根式的性质2和性质3.
定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
知识点2：代数式
新知探究
注意：（1）代数式中不能含有“=” “>” “<” “≥” “≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式；
代数式的书写规定：
（1）数与字母相乘或字母与字母相乘,通常将乘号写作“ · ”或者省略不写.如a×b通常写作a·b或ab.
（2）数与字母相乘时，通常把数写在前面.
（3）数字因数是 1 或 -1 时，“1”常省略不写.
如-1×a通常写作-a.
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数化成假分数. 如3×a通常写作a.
（5）除法运算通常用分数线.如3通常写作.
（6）在实际问题中，若有单位且代数式是几个式子的和或差时，要将代数式用括号括起来. 如温度由2℃上升t℃后是（2+t）℃.
（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.
（2）公式法：根据数学相关的公式（面积或体积等）列出代数式.
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
列代数式的常用方法：
1.列代数式：一个三角形的面积为 S，底边长为 a，则底边上的高为多少？
解：∵三角形的面积= ×底×高，
∴这个三角形底边上的高为
跟踪训练
新知探究
2.用代数式表示：
（1）面积为 S 的圆的半径；
解：设圆的半径为 r，则S=πr ，则 r =±.
又∵圆的半径不能为负数，∴r =.
更多同类练习见《教材帮》数学RJ八下16.1节方法帮
（2）面积为 S 且两条邻边的比为 3：2 的长方形的长和宽.
解：设长方形的长为 3x，则宽为 2x.
∴S=3x×2x，则x =±
∴长和宽分别为
1.下列式子中正确的是（ ）.
A. ( )2=2
B. ( )2=4
C. =5
D. =3
B
随堂练习
( )2=(-1) 2 × ( )2 =2
= =5
= =
解：（1）-(-) = - .
2.计算：（1） -(-) . （2）.
（2） = |3-π| = π-3.
注意 π 与3的大小比较
二次
根式
性质
二次根式的双重非负性
代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
（a≥0）
课堂小结
解：根据数轴显示，a 的取值范围是 21.实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 化简后的结果是多少？
∴ a-2>0，a-5<0.
0 2 a 5
拓展提升
∴原式= |a-2|+|a-5|= a-2+5-a =3.
2.已知 与∣a-b+3∣互为相反数，求(a+b)2020的值.
解：∵ 与∣a-b+3∣互为相反数，
∴ +∣a-b+3∣=0.
又∵ ≥0，∣a-b+3∣≥0.
∴ (a+b)2020 =（-2+1）2020=1.
∴ a+2b=0, 解得 a=-2,
a-b+3=0, b=1,
3.化简：
由题意可得：2x-3≥0，即2x≥3，所以1-2x<0.
所以原式=2x-1-2x+3=2.
解：原式==
易错警示：题目中隐含条件中的2x-3≥0，利用x的范围来判断绝对值的正负号.
4.（2020·四川中考）实数、在数轴上的位置如图所示，化简 +-的结果是( )．
解析：由数轴可知，-2< <-1,1< <2
A.-2 B.0 C.-2 D.2b
∴ +1<0, -1>0, -<0.
a
3
1
2
0
-1
-2
b
∴ +-
=||+||-||
= + +
=-2.
故选A.
Thank you!