17.2 勾股定理的逆定理 课件(共63张PPT) 人教版数学八年级下册

(共63张PPT)
第17章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方.
A
C
B
a
b
c
条件：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c.
结论：
知识回顾
1.掌握勾股定理的逆定理概念.
2.熟练运用勾股定理的逆定理去判定直角三角形.
学习目标
如果已知三角形的三边长为a，b，c并且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是否是直角三角形？
条件：三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2.
结论：该三角形是直角三角形.
课堂导入
结论能成立吗
据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
知识点：勾股定理的逆定理
新知探究
这个方法真的可以得到一个直角三角形吗？
画一画 1.如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，并且满足，那么围成的三角形是直角三角形吗？
2.如果围成的三角形的三边长分别为2.5，6，6.5，并且满足2.52+62=6.52，那么围成的三角形是直角三角形吗？
我发现他们都是直角三角形！
由以上的例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
如图，已知△ABC的三边长a,b,c,且满足.
求证：△ ABC是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
分析：我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果和这个直角三角形全等，那么△ABC就是一个直角三角形.
a
b
证明：作Rt△，=b，= a，则有
.
因为，所以，
则= c.
A
C
B
a
b
c
因为在△
，.
所以△≌△（SSS）
因此，即△是直角三角形.
a
b
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
利用边的关系判定直角三角形的步骤
1.找：找出三角形三边中的最长边；
2.算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；
3.判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
注意：（1）只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边.
（2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明.
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
区别
联系 在Rt中，∠C=90 .
勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”.
在△中，
勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形” ，即由“数”到“形”.
1.判断下列边长能否构成直角三角形.
（1）8，15，17； （2）13，14，15.
解：（1）因为.
所以
满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形.
跟踪训练
新知探究
解：（2）因为.
所以
不满足勾股定理的逆定理，不构成直角三角形.
（2）13，14，15.
2.三角形的三边长满足试判断该三角形是否为直角三角形.
解：因为
所以
所以该三角形是直角三角形.
注意：只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形.
勾股定理的逆定理
逆定理
如何判断
直角三角形
如果三角形的三边长a、 b 、 c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
①找最长边
②算两短边的平方和与长边的平方
③判断等量关系
课堂小结
1.的三边长a，b ，c 满足，则△ 是（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
易错警示：本题容易从，得到 ，即的错误结论，从而错选D项.
解：因为，所以
，
即
所以
.
因此是等腰三角形或直角三角形.
两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数等于0.
2.的三边长a，b ，c 满足a： b ： c = 3： 4 ： 5，试判断三角形的形状.
解：设△的三边长a ,b ,c 分别为3k,4k,5k（k>0），
因为，
所以△是直角三角形，且是直角 .
3.中，内角A，B，C所对的边分别为a， b ，c .若 是直角三角形.
证明：因为，所以=
所以
所以△
第17章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a， b ， c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
知识回顾
利用边的关系判定直角三角形的步骤
1.找：找出三角形三边中的最长边；
2.算：计算其他两边长的平方和与最长边长的平方；
3.判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.
1.理解互逆命题、互逆定理的概念和关系.
2.能准确表述出一个命题的逆命题并判断真假.
学习目标
1.两直线平行，同位角相等.
2.同位角相等，两直线平行.
说出下列命题的题设和结论.
题设
结论
题设
请说出你的发现！
结论
课堂导入
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b ，斜边长为 c ，那么.
命题2 如果三角形的三边长a，b，c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？
知识点：互逆命题和互逆定理
新知探究
互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题.
命题1和命题2的题设和结论正好相反.
互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另外一个定理的逆定理.
（1）命题有真有假，而定理都是真命题；
（2）每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理；
（3）原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
原命题
逆命题
定理
逆定理
推出
推出
证明
（1）有些命题不容易确定题设和结论，可以先写成“如果……那么……”的形式，再确定题设和结论.
（2）判断一个命题是假命题，只需要能够举出一个反例即可.
写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
跟踪训练
新知探究
成立.
不成立，如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角.
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（4）若a>0，b>0，则a+b>0.
与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
若a+b>0 ，则a>0，b>0.
成立.
不成立，如-1+2>0，-1<0，2>0.
勾股定理的逆定理
互逆定理
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题.
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
课堂小结
互逆命题
1.在直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例.
解：不一定全等.如图，△ABC和△DEF中，
AB=DE， AC=EF.
A
B
C
E
D
F
拓展提升
2.请判断下列说法的正误.
（1）每个定理都有逆定理. （ ）
（2）每个命题都有逆命题. （ ）
（3）假命题没有逆命题. （ ）
（4）真命题的逆命题是真命题. （ ）
×
√
×
×
（1）如果∠A+∠B=90 ，则这两个角互为余角.
逆命题：如果两个角∠A，∠B互为余角，那么∠A+∠B=90 . 成立.
（2）如果同旁内角互补，则两直线平行.
逆命题：如果两直线平行，那么同旁内角互补. 成立.
3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
（3）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立. 例如（-2）2=4，22=4，但是-2≠2.
（4）如果两个角是直角，那么它们相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
不成立.
第17章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理（第3课时）
初中数学人教版八年级下册
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
Rt△ABC ，a，b为直角边，c为斜边.
A
C
B
a
b
c
知识回顾
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b , c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC的三边a，b，c满足
是直角三角形
A
C
B
a
b
c
1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.
3.学会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决.
学习目标
思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
船只在航行的时候需要确定方向和位置.
课堂导入
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16n mile，“海天”号每小时航行 12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距
30n mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
知识点1：勾股定理逆定理的应用
新知探究
通过题目已知条件可以得出：
1.PR 的长度 2. PQ 的长度
3.∠1 的度数 4. RQ 的长度
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， RQ=30.
因为，即
所以∠RPQ=90 .
由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1=45 .因此∠2=45 ，即“海天”号沿西北方向航行.
为何是45°呢？
1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
跟踪训练
新知探究
分析：根据图示的距离，可以判断出以 A，B，C 三地位置构成的三角形是直角三角形.
解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，
因为
.
所以 .
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 ，
所以 C 地在 B 地的正北方向 .
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， ∠B=90 .求四边形ABCD的面积.
C
B
A
D
分析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜边 AC. 根据 AC，CD，AD 的长度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.
解：因为∠B90 ，所以△ABC是直角三角形.
在△ACD中，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90 .
根据勾股定理,得 所以AC=5.
所以S四边形ABCD S ABC +S ACD =
+30=36.
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
知识点2：勾股数
新知探究
勾股数必须是正整数，例如0.3，0.4，0.5和1虽然满足， 但它们都不是勾股数.
判断一组数是否为勾股数的步骤
1.看：看是不是三个正整数；
2.找：找最大数；
3.算：计算最大数的平方与两个较小的数的平方和；
4.判：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数.
（1）常见的勾股数有：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25； ④6,8,10； ⑤8,15,17； ⑥9,12,15.
（2）勾股数有无数组.
（3）一组勾股数中的各数都乘以相同的正整数可以得到一组新的勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数）也是一组勾股数.
1.判断下列各组数是不是勾股数.
（1）8,12,16；（2）12,16,20；（3）0.9,1.2,1.5
解：（1）因为.
所以不是一组勾股数.
（2）因为.
所以
（3）不是正整数，所以不是一组勾股数.
跟踪训练
新知探究
2.给出下列数组：①5、12、13；②2、3、4；③2.5、6、6.5；④21、20、29.其中勾股数的组数是（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析： ①因为所以
②因为所以
③因为所以不
④因为所以
C
勾股定理逆定理的应用
实际应用
勾股数
实际问题构建成数学模型，利用逆定理去求解.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
课堂小结
1.如图所示，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以 30 海里/时的速度向北偏东 35 的方向航行，乙船以 40 海里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100 海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
北
A
B
C
35
拓展提升
解：由题意得：AC=30×2=60（海里）， AB=40×2=80（海里）.
因为
因为 C 岛在港口 A 的北偏东 ，所以 B 岛在港口 A 的南偏东 方向.
即乙船航行的方向是南偏东 .
所以
2.某探险队的 A 组从驻地 O 点出发，以 12km/h 的速度前进，同时 B 组也从驻地 O 点出发，以 9km/h 的速度向另一方向前进. 2h 后同时停下来，如图所示，这时 A，B 两组相距 30km. 此时，A，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
O
B
A
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24（ km ），
B组行了9×2=18（km）.
又因为A，B两组相距30 km，且满足
所以A，B两组行进的方向成直角.
Thank you!