18.1.2平行四边形的判定 课件（共5课时，共86张PPT）
文档属性
| 名称 | 18.1.2平行四边形的判定 课件（共5课时，共86张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-24 22:16:16 | ||
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文档简介
(共86张PPT)
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
知识回顾
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
学习目标
平行四边形的性质有哪些？
A
B
C
D
对边相等
对角线互相平分
对角相等
O
课堂导入
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
这是平行四边形的判定方法1（定义法），除此之外，还有什么判定方法呢？
知识点：平行四边形的判定
新知探究
性质：如果一个四边形是平行四边形，
那么它的两组对边相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对边分别相等，
那么这个四边形是平行四边形.
这个逆命题是真命题吗？
例 已知四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AB=CD，AD=CB，AC=CA,
A
B
C
D
1
4
2
3
∴ AB//CD ， AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴△ABC≌△CDA,
∴∠1=∠3，∠2=∠4,
A
B
C
D
数学语言：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定方法2：
将两个含有30°角的直角三角板按如图所示摆放，则四边形ABCD是平行四边形，请说明理由.
A
B
C
D
30
30
解：∵ ∠ADB=∠CBD=30 ,
∴ AD//BC.
∵ ∠ABD=∠CDB=90 ,
∴ AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知探究
跟踪训练
平行四边形的判定
判定方法1
判定方法2
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
课堂小结
1.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
拓展提升
要判定该四边形是平行四边形，已知AD=BC ，可证AB=CD，根据已知条件，通过证明△ABC≌△CDA可得.
证明：∵BC⊥AC , AD⊥AC ,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴ AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
A
B
C
D
∴ ∠ACB=∠CAD=90°.
又∵ BC=AD , AC=CA,
2.如图，在三角形ABC中， AB=AC，点D是BC上任意一点，DE平行AC交AB于点E， DF平行AB交AC于点F.
求证：DE+DF=AC.
A
B
C
D
E
F
易证DE=AF ，需证DF=CF，
根据等角对等边可得.
证明：∵DE//AC ，DF//AB ,
∴四边形AEDF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DF//AB ，∴∠B=∠FDC ,
∴ DE+DF=AF+CF=AC.
∴DE=AF .
∴∠C=∠FDC，∴DF=CF,
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
A
B
C
D
平行四边形的判定方法1（定义法）：
数学语言：
知识回顾
∵ AB//CD，AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定方法2：
数学语言：
A
B
C
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵ AB=CD，AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.探索并证明平行四边形的判定方法.
2.能熟练运用平行四边形的判定方法去计算和证明.
学习目标
请写出平行四边形对角相等的逆命题.
性质：如果一个四边形是平行四边形，
那么它的两组对角相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对角分别相等，
那么这个四边形是平行四边形.
课堂导入
这个逆命题是真命题吗？
例 已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴2∠A+2∠B=360 ，
即∠A+∠B=180 .
∴AD//BC,
同理可得 AB//CD,
知识点：平行四边形的判定
新知探究
平行四边形的判定方法1
A
B
C
D
数学语言：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们可以得到平行四边形的判定方法3：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.请在下列空格处填写一个与角有关的条件.
在四边形ABCD中，若∠A=∠C，
请添加一个条件
，
使得四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
跟踪训练
新知探究
你会证明吗？
（或∠A+∠B=180 ，或∠B+∠C=180 ）
∠B=∠D
2. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A. ∠A+∠B=180 ,∠C+∠D=180
B. ∠A=∠B=∠C=∠D=90
C. ∠A=∠C，∠B=∠D
D. ∠A+∠B=180 ,∠B+∠C=180
A
A
B
C
D
平行四边形的判定方法3
平行四边形的判定方法3
平行四边形的判定方法1
平行四边形的判定
判定
方法3
数学
语言
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结
1.四边形ABCD中， ∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比如下，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A. 1：2：3：4 B. 2：3：2：3
C. 2：2：3：3 D. 1：2：3：3
B
拓展提升
依据平行四边形的判定方法3：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2.如图，E是 ABCD 的边 AD 延长线上一点，连接BE,CE,BD,BE 交 CD 于点 F. 添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）.
A.∠ABD=∠DCE B.DF=CF
C.∠AEB=∠BCD D.∠AEC=∠CBD
A
C
D
B
E
F
A.∠ABD=∠DCE 正确
∵四边形ABCD是平行四边形,
A
C
D
B
E
F
∴ AB//DC，AD//BC,
∴ DE//BC，∠ABD=∠CDB.
∵∠ABD=∠DCE ,∴∠CDB=∠DCE,
∴ BD//CE，
∴四边形BCED是平行四边形.
B.DF=CF 正确
∵DE//BC，∴∠DEF=∠CBF.
又∵∠DFE=∠CFB，DF=CF,
∴ △DEF≌△CBF,
∴ EF=BF，
∵DF=CF，
A
C
D
B
E
F
∴四边形BCED是平行四边形.
C.∠AEB=∠BCD 错误
∵ AE//BC,
∴ ∠AEB=∠CBF.
∵∠AEB=∠BCD,∴∠CBF=∠BCD,
∴ 不能判定四边形BCED是平行四边形.
∴ CF=BF，同理EF=DF,
A
C
D
B
E
F
∵ AE//BC，
∴ ∠DEC+∠BCE= ∠EDB+∠DBC=180 .
∵∠AEC=∠CBD ,∴∠BCE=∠BDE,
∴ 四边形BCED是平行四边形.
D. ∠AEC=∠CBD 正确
A
C
D
B
E
F
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第3课时）
初中数学人教版八年级下册
A
B
C
D
判定方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形？
判定方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定方法3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.探索并证明平行四边形的判定方法.
2.能熟练运用平行四边形的判定方法去计算和证明.
学习目标
思考 如图，将两根木条的中心重叠在一起，用小钢钉固定住，然后用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形. 猜一猜，这个四边形是平行四边形吗？你能证明吗？
课堂导入
条件中有相等的边和对顶角，容易得到全等三角形，进而可证明四边形的对边平行，对边相等，或对角相等，因此证明方法较多.
例1 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
知识点：平行四边形的判定
新知探究
证明：∵ OA=OC，∠AOD=∠COB，OB=OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ △AOD ≌△COB，
∴ AD//BC，
A
B
C
D
O
还有其他方法吗？
同理可得 AB//DC，
∴ ∠OAD=∠OCB ，
两组对边分别平行
证明：∵ OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ △AOB≌△COD,
同理可得 AD=BC,
A
B
C
D
O
∴ AB=CD,
两组对边分别相等
∠BAD=∠DCB，
∠ABC=∠CDA.
请你试试用两组对角分别相等来证明.
A
B
C
D
O
数学语言：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定方法4：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC , OB=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
例2 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F是 AC上的两点，并且 AE=CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO， BO=DO.
∵ AE=CF,
∴ AO-AE=CO-CF， 即EO=FO.
又 BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
如图，线段AB，CD相交于点O，E,F分别是AB上的四等分点，G,H分别是CD上的四等分点，则图中的点可以构成________个平行四边形．
A
B
C
O
D
4
跟踪训练
新知探究
E
F
G
H
平行四边形的判定
判定方法4
数学语言
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结
D
A
B
C
如图所示，AC是 ABCD的一条对角线，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，
求证：四边形BMDN是平行四边形.
O
M
N
拓展提升
证明：连接BD交AC于点O，
D
A
B
C
M
N
O
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
又∵ ∠DON =∠BOM，OD=OB，
∴∠ OND =∠OMB = 90°.
∴△DON≌△BOM，∴ON=OM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第4课时）
初中数学人教版八年级下册
平行四边形的判定方法4
数学语言:
∵ OA=OC ， OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
O
知识回顾
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1.探索并证明平行四边形的判定方法.
2.能熟练运用平行四边形的判定方法去计算和证明.
学习目标
思考 取两根长度相等的木棍，将它们平行放置，再用两根木棍将其固定，得到的四边形是平行四边形吗？
课堂导入
你能证明这个猜想吗？
猜想:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
知识点：平行四边形的判定
新知探究
思路1:条件中已有AB//CD,只需证明AD//BC即可；
思路2:条件中已有AB=CD,只需证明AD=BC即可.
证明：连接AC,
∵ AB//CD,∴∠1=∠2.
又 AB=CD，AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=CD,BC=AD,
A
B
C
D
1
2
∴ BC=AD.
两组对边分别相等
证明：连接AC,
∵ AB//CD ,∴∠1=∠2.
又 AB=CD，AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD//BC .又∵ AB//CD,
A
B
C
D
1
2
∴ ∠ACB=∠CAD,
两组对边分别平行
A
B
C
D
∵ AB//CD，AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定方法5：
数学语言：
例2 如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD，即EB//FD,
又∵E，F分别是AB,CD的中点,
∴ EB=FD,
∴四边形EBFD是平行四边形.
平行四边形的判定方法5
不一定是，如等腰梯形，
其中AD//BC，AB=CD.
A
B
C
D
思考 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明.
1.下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.两组对边相等.
B.两组对边平行.
C.一组对边平行且相等.
D.一组对边平行，另外一组对边相等.
D
跟踪训练
新知探究
可能是梯形
2. 如图，已知□ABCD中，E,F分别是BC,AD上的点，AF=CE. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC， AD//BD.
∵ AF=CE,
∴ DF=AD-AF，BE=BC-CE,
∴ DF=BE.又DF//BE,
∴四边形DEBF是平行四边形.
一组对边平行且相等
平行四边形的判定
判定方法5
数学语言
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结
1.如图，已知BE//DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
证明： ∵ BE//DF,
∴ ∠AFD=∠CEB
又 ∠ADF=∠CBE， AF=CE，
∴△ADF≌△CBE，∴DF=BE.
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.
A
D
E
B
F
C
又 BE//DF，
拓展提升
2.如图，在平行四边形ABCD中，E, F分别为边AD, BC的中点，对角线 AC 分别交BE , DF于点G, H.
求证：AG=CH.
A
B
C
D
E
F
G
H
可先证四边形BFDE是平行四边形
再证△AEG≌△CFH得到AG=CH .
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADF=∠CFH， ∠EAG=∠FCH.
∵E，F分别为边AD，BC的中点，
∴
∴DE//BF， DE=BF，
A
B
C
D
E
F
G
H
∴ BE//DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠AEG=∠ADF.
∵∠AEG=∠CFH， AE=CF， ∠EAG=∠FCH，
∴ △AEG≌△CFH，
∴ AG=CH.
∴∠AEG=∠CFH.
∵∠ADF=∠CFH，
A
B
C
D
E
F
G
H
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第5课时）
初中数学人教版八年级下册
三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段.
知识回顾
三角形三条中线的交点，称为重心.
1.掌握三角形中位线的定义和三角形中位线的定理.
2.能熟练运用三角形中位线的定理.
学习目标
如图，在△ABC中，点D，E 分别为AB，AC 边上的中点，连接DE，则DE即为△ABC 的一条中位线.
A
B
C
D
E
知识点1：三角形中位线的定义
新知探究
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .
三条中位线
中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.
思考1 一个三角形有几条中位线？
思考2 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段；
思考3 如图，DE是三角形ABC的中位线，观测一下DE与BC之间有什么关系？
A
B
C
D
E
DE//BC，
你能对它进行证明吗？
知识点2：三角形中位线的定理
新知探究
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，
并且等于第三边的一半．
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE//BC，且DE=BC.
A
B
C
D
E
将DE延长一倍后，将证明DE=BC转化为证明延长后的线段与BC相等，又E是AC中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用其性质进行证明。
证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∴ BD=CF，BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
又
∴ DE//BC，且DE=BC.
∴AD=CF，AD//CF，
∴BC=DF，BC//DF.
方法一
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=EF，连接FC.
∵ 点E是△ABC的边AC的中点,
A
B
C
D
E
F
∵ AE=CE ，∠AED=∠CEF，DE=EF,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠ADE=∠CFE, AD=CF，
方法二
∴AD//CF,
∴AE=CE.
∵ 点D是△ABC的边AB的中点,
∴ BD=CF，BD//CF,
∴四边形BCFD是平行四边形,
∴DF=BC，DF//BC.
∵ DE=EF,
∴DE//BC，且DE=BC.
A
B
C
D
E
F
∴AD=BD.
∵ 在△ABC中，DE是中位线,
A
B
C
D
E
∴ DE//BC.
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；
每个小三角形的周长都是原三角形周长的
每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
1.如图，在△ABC中，DE是中位线.
(1)若∠AED=60 ， ∠A=50 ，则∠C= , ∠B= .
A
B
C
D
E
(2)若DE=3， 则BC= .
60
70
6
跟踪训练
新知探究
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
2. 如图，已知 D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 上的中点，求证：四边形 DECF 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
证明： ∵ D，E ，F分别是边 AB，BC，AC 上的中点，
∴ DE，DF是△ABC的中位线，
∴
∴四边形 DECF 是平行四边形.
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
课堂小结
1.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ）.
A.15 B.18 C.21 D.24
A
C
D
B
O
E
拓展提升
A
∴OE是△DBC的中位线，△DOE的周长是△DBC周长的一半.
∵四边形ABCD是平行四边形,
解析：∵点O是 ABCD 对角线的交点，E是CD的中点,
∴ △DBC的周长为 BC+CD+BD=18+12=30,
∴ △DOE的周长为15.
且 ABCD的周长为36，
A
C
D
B
O
E
∴BC+CD=18,
2. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E，F ，G ，H分别是AB ，BD ，CD ，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. 12
B. 14
C. 24
D. 21
A
技巧点拨：在有公共边的三角形中运用中位线定理实现等线段转化
本题中△ABD和△ACD有公共边AD，△ABC和△BCD有公共边BC，此时运用中位线定理可将四边形EFGH的周长转化为线段AD和BC的和，从而将待求结论和已知条件联系起来，实现题设条件的有效转化.
∴.
解：BD⊥CD，BD=4，CD=3,
E，F ， G ， H分别是AB，BD，CD，AC的中点,
∴
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=AD+BC.
AD=7，BC=5 ,
∴四边形EFGH的周长为12.
3.如图，在四边形ABCD中，E ，F ，G ，H分别是边AB ，BC ，CD ，DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
D
E
F
G
H
对角线——多边形的分割器
先由中点联想到连接四边形的一条对角线，再利用三角形的中位线定理解答.
证明：连接AC，
∴EF//AC，且EF=AC.
∴四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
D
E
F
G
H
∴HG//AC，且HG=AC,
且EF=HG,
Thank you!
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
知识回顾
两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
1.探索并证明平行四边形的判定定理.
2.能熟练运用平行四边形的判定定理去计算和证明.
学习目标
平行四边形的性质有哪些？
A
B
C
D
对边相等
对角线互相平分
对角相等
O
课堂导入
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
这是平行四边形的判定方法1（定义法），除此之外，还有什么判定方法呢？
知识点：平行四边形的判定
新知探究
性质：如果一个四边形是平行四边形，
那么它的两组对边相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对边分别相等，
那么这个四边形是平行四边形.
这个逆命题是真命题吗？
例 已知四边形ABCD，AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AB=CD，AD=CB，AC=CA,
A
B
C
D
1
4
2
3
∴ AB//CD ， AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴△ABC≌△CDA,
∴∠1=∠3，∠2=∠4,
A
B
C
D
数学语言：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定方法2：
将两个含有30°角的直角三角板按如图所示摆放，则四边形ABCD是平行四边形，请说明理由.
A
B
C
D
30
30
解：∵ ∠ADB=∠CBD=30 ,
∴ AD//BC.
∵ ∠ABD=∠CDB=90 ,
∴ AB//CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知探究
跟踪训练
平行四边形的判定
判定方法1
判定方法2
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
课堂小结
1.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
拓展提升
要判定该四边形是平行四边形，已知AD=BC ，可证AB=CD，根据已知条件，通过证明△ABC≌△CDA可得.
证明：∵BC⊥AC , AD⊥AC ,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴ AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵
A
B
C
D
∴ ∠ACB=∠CAD=90°.
又∵ BC=AD , AC=CA,
2.如图，在三角形ABC中， AB=AC，点D是BC上任意一点，DE平行AC交AB于点E， DF平行AB交AC于点F.
求证：DE+DF=AC.
A
B
C
D
E
F
易证DE=AF ，需证DF=CF，
根据等角对等边可得.
证明：∵DE//AC ，DF//AB ,
∴四边形AEDF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DF//AB ，∴∠B=∠FDC ,
∴ DE+DF=AF+CF=AC.
∴DE=AF .
∴∠C=∠FDC，∴DF=CF,
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
A
B
C
D
平行四边形的判定方法1（定义法）：
数学语言：
知识回顾
∵ AB//CD，AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定方法2：
数学语言：
A
B
C
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵ AB=CD，AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.探索并证明平行四边形的判定方法.
2.能熟练运用平行四边形的判定方法去计算和证明.
学习目标
请写出平行四边形对角相等的逆命题.
性质：如果一个四边形是平行四边形，
那么它的两组对角相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对角分别相等，
那么这个四边形是平行四边形.
课堂导入
这个逆命题是真命题吗？
例 已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴2∠A+2∠B=360 ，
即∠A+∠B=180 .
∴AD//BC,
同理可得 AB//CD,
知识点：平行四边形的判定
新知探究
平行四边形的判定方法1
A
B
C
D
数学语言：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们可以得到平行四边形的判定方法3：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1.请在下列空格处填写一个与角有关的条件.
在四边形ABCD中，若∠A=∠C，
请添加一个条件
，
使得四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
跟踪训练
新知探究
你会证明吗？
（或∠A+∠B=180 ，或∠B+∠C=180 ）
∠B=∠D
2. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A. ∠A+∠B=180 ,∠C+∠D=180
B. ∠A=∠B=∠C=∠D=90
C. ∠A=∠C，∠B=∠D
D. ∠A+∠B=180 ,∠B+∠C=180
A
A
B
C
D
平行四边形的判定方法3
平行四边形的判定方法3
平行四边形的判定方法1
平行四边形的判定
判定
方法3
数学
语言
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结
1.四边形ABCD中， ∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比如下，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A. 1：2：3：4 B. 2：3：2：3
C. 2：2：3：3 D. 1：2：3：3
B
拓展提升
依据平行四边形的判定方法3：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2.如图，E是 ABCD 的边 AD 延长线上一点，连接BE,CE,BD,BE 交 CD 于点 F. 添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）.
A.∠ABD=∠DCE B.DF=CF
C.∠AEB=∠BCD D.∠AEC=∠CBD
A
C
D
B
E
F
A.∠ABD=∠DCE 正确
∵四边形ABCD是平行四边形,
A
C
D
B
E
F
∴ AB//DC，AD//BC,
∴ DE//BC，∠ABD=∠CDB.
∵∠ABD=∠DCE ,∴∠CDB=∠DCE,
∴ BD//CE，
∴四边形BCED是平行四边形.
B.DF=CF 正确
∵DE//BC，∴∠DEF=∠CBF.
又∵∠DFE=∠CFB，DF=CF,
∴ △DEF≌△CBF,
∴ EF=BF，
∵DF=CF，
A
C
D
B
E
F
∴四边形BCED是平行四边形.
C.∠AEB=∠BCD 错误
∵ AE//BC,
∴ ∠AEB=∠CBF.
∵∠AEB=∠BCD,∴∠CBF=∠BCD,
∴ 不能判定四边形BCED是平行四边形.
∴ CF=BF，同理EF=DF,
A
C
D
B
E
F
∵ AE//BC，
∴ ∠DEC+∠BCE= ∠EDB+∠DBC=180 .
∵∠AEC=∠CBD ,∴∠BCE=∠BDE,
∴ 四边形BCED是平行四边形.
D. ∠AEC=∠CBD 正确
A
C
D
B
E
F
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第3课时）
初中数学人教版八年级下册
A
B
C
D
判定方法1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形？
判定方法2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定方法3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.探索并证明平行四边形的判定方法.
2.能熟练运用平行四边形的判定方法去计算和证明.
学习目标
思考 如图，将两根木条的中心重叠在一起，用小钢钉固定住，然后用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形. 猜一猜，这个四边形是平行四边形吗？你能证明吗？
课堂导入
条件中有相等的边和对顶角，容易得到全等三角形，进而可证明四边形的对边平行，对边相等，或对角相等，因此证明方法较多.
例1 如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
O
知识点：平行四边形的判定
新知探究
证明：∵ OA=OC，∠AOD=∠COB，OB=OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ △AOD ≌△COB，
∴ AD//BC，
A
B
C
D
O
还有其他方法吗？
同理可得 AB//DC，
∴ ∠OAD=∠OCB ，
两组对边分别平行
证明：∵ OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ △AOB≌△COD,
同理可得 AD=BC,
A
B
C
D
O
∴ AB=CD,
两组对边分别相等
∠BAD=∠DCB，
∠ABC=∠CDA.
请你试试用两组对角分别相等来证明.
A
B
C
D
O
数学语言：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定方法4：
A
B
C
D
O
∵ OA=OC , OB=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
例2 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F是 AC上的两点，并且 AE=CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO， BO=DO.
∵ AE=CF,
∴ AO-AE=CO-CF， 即EO=FO.
又 BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
如图，线段AB，CD相交于点O，E,F分别是AB上的四等分点，G,H分别是CD上的四等分点，则图中的点可以构成________个平行四边形．
A
B
C
O
D
4
跟踪训练
新知探究
E
F
G
H
平行四边形的判定
判定方法4
数学语言
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结
D
A
B
C
如图所示，AC是 ABCD的一条对角线，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N，
求证：四边形BMDN是平行四边形.
O
M
N
拓展提升
证明：连接BD交AC于点O，
D
A
B
C
M
N
O
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
又∵ ∠DON =∠BOM，OD=OB，
∴∠ OND =∠OMB = 90°.
∴△DON≌△BOM，∴ON=OM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第4课时）
初中数学人教版八年级下册
平行四边形的判定方法4
数学语言:
∵ OA=OC ， OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
O
知识回顾
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
1.探索并证明平行四边形的判定方法.
2.能熟练运用平行四边形的判定方法去计算和证明.
学习目标
思考 取两根长度相等的木棍，将它们平行放置，再用两根木棍将其固定，得到的四边形是平行四边形吗？
课堂导入
你能证明这个猜想吗？
猜想:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.
求证：四边形ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
知识点：平行四边形的判定
新知探究
思路1:条件中已有AB//CD,只需证明AD//BC即可；
思路2:条件中已有AB=CD,只需证明AD=BC即可.
证明：连接AC,
∵ AB//CD,∴∠1=∠2.
又 AB=CD，AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=CD,BC=AD,
A
B
C
D
1
2
∴ BC=AD.
两组对边分别相等
证明：连接AC,
∵ AB//CD ,∴∠1=∠2.
又 AB=CD，AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD//BC .又∵ AB//CD,
A
B
C
D
1
2
∴ ∠ACB=∠CAD,
两组对边分别平行
A
B
C
D
∵ AB//CD，AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们得到平行四边形的判定方法5：
数学语言：
例2 如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点. 求证：四边形EBFD是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD，即EB//FD,
又∵E，F分别是AB,CD的中点,
∴ EB=FD,
∴四边形EBFD是平行四边形.
平行四边形的判定方法5
不一定是，如等腰梯形，
其中AD//BC，AB=CD.
A
B
C
D
思考 一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明.
1.下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.两组对边相等.
B.两组对边平行.
C.一组对边平行且相等.
D.一组对边平行，另外一组对边相等.
D
跟踪训练
新知探究
可能是梯形
2. 如图，已知□ABCD中，E,F分别是BC,AD上的点，AF=CE. 求证：四边形DEBF是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC， AD//BD.
∵ AF=CE,
∴ DF=AD-AF，BE=BC-CE,
∴ DF=BE.又DF//BE,
∴四边形DEBF是平行四边形.
一组对边平行且相等
平行四边形的判定
判定方法5
数学语言
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂小结
1.如图，已知BE//DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
证明： ∵ BE//DF,
∴ ∠AFD=∠CEB
又 ∠ADF=∠CBE， AF=CE，
∴△ADF≌△CBE，∴DF=BE.
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形.
A
D
E
B
F
C
又 BE//DF，
拓展提升
2.如图，在平行四边形ABCD中，E, F分别为边AD, BC的中点，对角线 AC 分别交BE , DF于点G, H.
求证：AG=CH.
A
B
C
D
E
F
G
H
可先证四边形BFDE是平行四边形
再证△AEG≌△CFH得到AG=CH .
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADF=∠CFH， ∠EAG=∠FCH.
∵E，F分别为边AD，BC的中点，
∴
∴DE//BF， DE=BF，
A
B
C
D
E
F
G
H
∴ BE//DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠AEG=∠ADF.
∵∠AEG=∠CFH， AE=CF， ∠EAG=∠FCH，
∴ △AEG≌△CFH，
∴ AG=CH.
∴∠AEG=∠CFH.
∵∠ADF=∠CFH，
A
B
C
D
E
F
G
H
第18章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定（第5课时）
初中数学人教版八年级下册
三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对边的中点的线段.
知识回顾
三角形三条中线的交点，称为重心.
1.掌握三角形中位线的定义和三角形中位线的定理.
2.能熟练运用三角形中位线的定理.
学习目标
如图，在△ABC中，点D，E 分别为AB，AC 边上的中点，连接DE，则DE即为△ABC 的一条中位线.
A
B
C
D
E
知识点1：三角形中位线的定义
新知探究
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .
三条中位线
中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.
思考1 一个三角形有几条中位线？
思考2 三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段；
思考3 如图，DE是三角形ABC的中位线，观测一下DE与BC之间有什么关系？
A
B
C
D
E
DE//BC，
你能对它进行证明吗？
知识点2：三角形中位线的定理
新知探究
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，
并且等于第三边的一半．
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点.
求证：DE//BC，且DE=BC.
A
B
C
D
E
将DE延长一倍后，将证明DE=BC转化为证明延长后的线段与BC相等，又E是AC中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用其性质进行证明。
证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.
∵ AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∴ BD=CF，BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
又
∴ DE//BC，且DE=BC.
∴AD=CF，AD//CF，
∴BC=DF，BC//DF.
方法一
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=EF，连接FC.
∵ 点E是△ABC的边AC的中点,
A
B
C
D
E
F
∵ AE=CE ，∠AED=∠CEF，DE=EF,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠ADE=∠CFE, AD=CF，
方法二
∴AD//CF,
∴AE=CE.
∵ 点D是△ABC的边AB的中点,
∴ BD=CF，BD//CF,
∴四边形BCFD是平行四边形,
∴DF=BC，DF//BC.
∵ DE=EF,
∴DE//BC，且DE=BC.
A
B
C
D
E
F
∴AD=BD.
∵ 在△ABC中，DE是中位线,
A
B
C
D
E
∴ DE//BC.
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形；
每个小三角形的周长都是原三角形周长的
每个小三角形的面积都是原三角形面积的.
1.如图，在△ABC中，DE是中位线.
(1)若∠AED=60 ， ∠A=50 ，则∠C= , ∠B= .
A
B
C
D
E
(2)若DE=3， 则BC= .
60
70
6
跟踪训练
新知探究
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
2. 如图，已知 D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 上的中点，求证：四边形 DECF 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
证明： ∵ D，E ，F分别是边 AB，BC，AC 上的中点，
∴ DE，DF是△ABC的中位线，
∴
∴四边形 DECF 是平行四边形.
三角形中位线
定义
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
课堂小结
1.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（ ）.
A.15 B.18 C.21 D.24
A
C
D
B
O
E
拓展提升
A
∴OE是△DBC的中位线，△DOE的周长是△DBC周长的一半.
∵四边形ABCD是平行四边形,
解析：∵点O是 ABCD 对角线的交点，E是CD的中点,
∴ △DBC的周长为 BC+CD+BD=18+12=30,
∴ △DOE的周长为15.
且 ABCD的周长为36，
A
C
D
B
O
E
∴BC+CD=18,
2. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E，F ，G ，H分别是AB ，BD ，CD ，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A. 12
B. 14
C. 24
D. 21
A
技巧点拨：在有公共边的三角形中运用中位线定理实现等线段转化
本题中△ABD和△ACD有公共边AD，△ABC和△BCD有公共边BC，此时运用中位线定理可将四边形EFGH的周长转化为线段AD和BC的和，从而将待求结论和已知条件联系起来，实现题设条件的有效转化.
∴.
解：BD⊥CD，BD=4，CD=3,
E，F ， G ， H分别是AB，BD，CD，AC的中点,
∴
∴四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=AD+BC.
AD=7，BC=5 ,
∴四边形EFGH的周长为12.
3.如图，在四边形ABCD中，E ，F ，G ，H分别是边AB ，BC ，CD ，DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
D
E
F
G
H
对角线——多边形的分割器
先由中点联想到连接四边形的一条对角线，再利用三角形的中位线定理解答.
证明：连接AC，
∴EF//AC，且EF=AC.
∴四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
D
E
F
G
H
∴HG//AC，且HG=AC,
且EF=HG,
Thank you!