18.2.3 正方形 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
第18章 平行四边形
18.2.3 正方形（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
四个角都是直角
对角线相等
轴对称图形，有两条对称轴.
矩形的特殊性质有哪些？
知识回顾
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
轴对称图形，有两条对称轴.
菱形的特殊性质有哪些？
1.理解并掌握正方形的概念和性质.
2.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.
学习目标
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
课堂导入
数学语言：
∵平行四边形ABCD中，
AB=BC，∠A=90 ，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
知识点：正方形的定义及其性质
新知探究
定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？
有一个直角
一组邻边相等
矩形
？
？
正方形
菱形
平行四边形
正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.
正方形的四条边都相等，说明正方形是特殊的菱形.
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看看你能发现什么？
A
B
D
C
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
A
B
D
C
O
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
思考 正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质：正方形=平行四边形+矩形+菱形.
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
1.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）.
B
A.对角线互相垂直平分
B.对角线相等
C.对角线平分一组对角
D.四边相等
跟踪训练
新知探究
注意熟记正方形和菱形的性质的区别与联系
2.正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）.
D
A.对角互补
B.对角线相等
C.四个角相等
D.对角线互相垂直
注意熟记正方形和矩形的性质的区别与联系
定义
性质
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
边：对边平行，四边相等.
角：四个角都是直角.
对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
对称性：轴对称图形,有四条对称轴.
课堂小结
正方形
1.如图，已知正方形ABCD中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且CE=CF.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC=60 ，求 ∠DFE 的度数.
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴ BC=DC， ∠BCD=90 .
A
B
D
C
E
F
∵ F为BC延长线上一点,
∴∠DCF=90 .
拓展提升
∵ 在△BCE 和△DCF 中， BC=DC，
∠BCD=∠DCF=90 ，CE=CF , ∴△BCE≌△DCF（SAS）.
（2）∵ CE=CF， ∠DCF=90 , ∴∠EFC=45 ,
∵∠DFC=60 ,∠EFC=45 ,
∴∠DFE=15 .
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠BEC=∠DFC=60 .
A
B
D
C
E
F
2.如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，若 △ABE 的面积为 8，CE=3，求线段 BE 的长.
A
B
D
C
E
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB//CD，AB=BC=CD=DA,
∴点 E 到边 AB 的距离=AD=BC.
∵△ABE的面积为8 , ∴ ABAD = 8，解得,AB=4 .
∴ BC=4. ∵CE=3,∴BE=5 .
3.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,AD上，且AF=CE.
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB=4，AF=1，
求四边形BEDF的面积.
A
B
D
C
E
F
（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC，∠A=∠C=90 .
∵ AF=CE, ∴△ABF≌△CBE（SAS）.
（2）∵△ABF≌△CBE, ∴S△ABF=S△CBE.
∵ AB=4，AF=1,
∴S△ABF=S△CBE=
∵ AB=4 ,
∴S正方形ABCD=4×4=16.
∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ABF - S△CBE=12.
A
B
D
C
E
F
第18章 平行四边形
18.2.3 正方形（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
轴对称图形，有四条对称轴.
正方形的性质有哪些？
对边平行，四条边都相等
知识回顾
1.理解并掌握正方形的判定和推导过程.
2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
学习目标
阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看阳阳还在犹豫，又拉起
手帕的另一组对角，剩下的那组
对角也能完全重合.阿姨认为这样
就能证明手帕是正方形，那么你
认为这块手帕一定是正方形吗？
课堂导入
思考1 矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具有什么样的性质？
矩形：对角线相等且互相平分
正方形：对角线相等且互相垂直平分
矩形添加对角线互相垂直能否得到正方形？
知识点：正方形的判定
新知探究
已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
A
B
D
C
O
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90 .
∵AC⊥BD,
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∴AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是正方形.
同理：BD是线段AC的垂直平分线,
数学语言：
在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
通过以上证明，我们得到正方形的判定：
思考2 矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样的性质？
矩形：对边相等且平行
正方形：四边相等且对边平行
矩形添加邻边相等能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AB=BC.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
A
B
D
C
∴∠B=90 ，四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形).
数学语言：
在矩形ABCD中， ∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
有一组邻边相等的矩形是正方形.
通过以上证明，我们得到正方形的判定：
思考3 菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什么样的性质？
菱形添加对角线相等能否得到正方形？
菱形：对角线垂直且互相平分
正方形：对角线相等且互相垂直平分
已知在菱形ABCD中，AC,BD是两条对角线，且 AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形，
A
B
D
C
O
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.
∵AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△AOB ，△BOC是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD是正方形.
∴∠ABC=90 ,
数学语言：
在菱形ABCD中， ∵ AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
对角线相等的菱形是正方形.
通过以上证明，我们得到正方形的判定：
思考4 菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？
菱形：对角相等
正方形：四个角相等，都为90°
菱形添加有一个角为直角能否得到正方形？
已知在菱形ABCD中，∠A=90 .
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形,
A
B
D
C
∴AB=BC=CD=DA，
四边形ABCD是平行四边形,
∵∠A=90 ,
∴四边形ABCD是正方形(有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ).
数学语言：
在菱形ABCD中，∵ ∠A=90 ,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
D
C
O
有一个角是直角的菱形是正方形.
通过以上证明，我们得到正方形的判定：
1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得四边形ABCD是正方形.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC=BD或∠BAD=90 或∠ABC=90 或
∠BCD=90 或∠ADC=90 均满足题意.
跟踪训练
新知探究
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.
（2）对角线互相垂直的矩形.
（3）对角线相等的菱形.
（4）对角线互相垂直平分且相等的菱形.
4个都是正方形，均满足正方形的判定条件.
正方形
判定1
判定2
判定3
判定4
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
课堂小结
1.如图，在直角三角形中，∠C=90 ，∠A,∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB.
求证：四边形CEDF 为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∴∠DEC=∠DFC=90 .
∵∠C=90 ,
∴四边形CEDF为矩形.
A
B
C
E
F
D
G
∵DE⊥AC，DF⊥CB,
拓展提升
∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB,
∴DE=DG.
∴四边形CEDF为正方形.
同理可得：DG=DF,
∴ED=DF,
A
B
C
E
F
D
G
2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N.
（1）求证：∠ADB=∠CDB.
（2）若∠ADC=90 ，求证：
四边形PMDN是正方形.
C
A
B
D
M
N
P
证明：（1）∵ AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
∵在△ABD和△CBD中， AB=BC， ∠ABD=∠CBD， BD=BD,
∴△ABD≌△CBD（SAS）,
∴ ∠ADB=∠CDB.
C
A
B
D
M
N
P
（2）∵∠ADC=90 ， PM⊥AD，PN⊥CD,
∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90 .
∴四边形PMDN是矩形.
∵ ∠ADB=∠CDB=45 ,
∴四边形PMDN是正方形.
∴∠MPD=∠NPD=45 ,
∴DM=PM，DN=PN,
C
A
B
D
M
N
P
3.在正方形ABCD中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，垂足为 A，AF=AE.
（1）求证：BF=DE.
（2）当点 E 运动到 AC 的
中点时，说明四边形AFBE
是正方形.
A
B
D
C
E
F
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD，∠BAD=90 .
∵AF⊥AC , ∴∠BAF+∠BAE=90 .
∵∠BAE+∠DAE=90 ,
∵ AD=AB， ∠DAE=∠BAF， AE=AF,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴ BF=DE.
∴∠BAF=∠DAE.
A
B
D
C
E
F
∴ BE⊥AC ,BE=AE=AC.
（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC.
∵AF=AE,∴ BE=AF=AE,
∴BE//AF.
又∵BE⊥AC ，∠FAE=∠BEC=90 ,
∵BE=AF,
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵∠FAE=90 ，AE=AF,
∴四边形AFBE是正方形.
A
B
D
C
E
F
Thank you!