19.1.1 变量与函数 课件(共73张PPT) 人教版数学八年级下册

(共73张PPT)
第19章 一次函数
19.1.1 变量与函数（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
1.探索数量关系和变化规律.
2.了解变量、常量的意义，能正确区分变量和常量.
学习目标
在这个过程中，哪些量变化了？哪些量没变？
汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h.
这些量有什么关系呢？
课堂导入
思考1 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 请填写下表，其中路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
不变的量
变化的量
知识点：常量和变量
新知探究
变化的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有t 的式子表示s，则有______.
这个过程反映出路程 s 随时间 t 的变化而变化.
s=60t
思考2 电影票的售价为10元/张，第一场售出150张，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影的票房收入分别为多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元， y 的值随 x 的变化而变化吗？
解:第一场电影的票房收入为15010=1500（元）;
第二场电影的票房收入为20510=2050（元）;
第三场电影的票房收入为31010=3100（元）.
变化的量
变化的量
不变的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有x的式子表示y，则有______.
y=10x
这个过程反映出y的值随x的变化而变化.
思考3 风吹动水面产生的圆形水波（即涟漪）慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的变化而变化吗？
解：当半径为10 cm时，圆的面积为100；
当半径为20 cm时，圆的面积为400；
当半径为30 cm时，圆的面积为900.
变化的量
变化的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有r的式子表示S，则有______.
S=
不变的量是圆周率π.
这个过程反映出S 的值随 r 的变化而变化.
思考4 用10m长的绳子首尾相接围一个矩形，当这个矩形的一边长 x 分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y 分别为多少？y 的值随 x 的值的变化而变化吗？
解：当矩形的一边长为3m时，邻边长为2m；
当矩形的一边长为3.5m时，邻边长为1.5m；
当矩形的一边长为4m时，邻边长为1m；
当矩形的一边长为4.5m时，邻边长为0.5m.
不变的量：绳子的长（矩形的周长）
变化的量
变化的量
变化的量和不变的量分别是什么？用含有x的式子表示y，则有______.
y=5-x
这个过程反映出y的值随x的值的变化而变化.
思考5 在一个弹簧秤的下端挂上重物，记录不同重物下弹簧的长度，探索弹簧长度的变化规律. 已知弹簧原长为15cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.分别悬挂重量 x 为2kg，3kg，5kg，7kg的重物，弹簧的总长度 l 为多少cm？ l 的值随 x 的值的变化而变化吗？
解：当悬挂的重物的重量为2 kg时，弹簧的总长度为15 cm+20.5 cm=16 cm；
当悬挂的重物的重量为3 kg时，弹簧的总长度为15 cm+30.5 cm=16.5 cm；
当悬挂的重物的重量为5 kg时，弹簧的总长度为15 cm+50.5 cm=17.5 cm；
当悬挂的重物的重量为7 kg时，弹簧的总长度为15 cm+70.5 cm=18.5 cm.
思考5 在一个弹簧秤的下端挂上重物，记录不同重物下弹簧的长度，探索弹簧长度的变化规律. 已知弹簧原长为15cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.分别悬挂重量 x 为2kg，3kg，5kg，7kg的重物，弹簧的总长度 l 为多少cm？ l 的值随 x 的值的变化而变化吗？
不变的量
不变的量
变化的量
变化的量
变化的量和的量分别是什么？
用含有x的式子表示y，则有___________.
l=15+0.5x
这个过程反映出l 的值随 x 的值的变化而变化.
在一个变化过程中，有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的.
s=60t
y=10x
S=
y=5-x
l=15+0.5x
从以上5个问题中，你可以得出什么样的结论？
2.判断一个量是常量还是变量的方法
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则次量是变量.
1.定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
前提条件
1.某报纸，每一份的价格是3元，购买此报纸 x 份，共需要花费 y 元，则有 y=3x.
（1） y=3x 中的常量是 ，变量是 .
（2） 若每一份报纸的价格为 a 元（a 表示常数），y=ax中的常量是 ，变量是 .
3
x,y
a
x,y
跟踪训练
新知探究
2.分别指出下列关系式中的变量和常量.
（1）圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系式是 .
（2）每支钢笔 7 元，购买钢笔的花费 w（元）与钢笔的支数 n（支）之间的关系式是 w=7n.
解：（1）变量：S，r；常量：.
（2）变量：w，n；常量：7.
解：（3）变量：x，y；常量：0.1，29.
（3）某种手机卡的收费标准为：每月29 元，通话 0.1元/分，用户每月的手机费 y（元）和通话时间 x（分）之间的关系式 y = 0.1x+29.
变量和常量
定义
判断
方法
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
1.看是否在某一个变化过程中；
2.看数值是否发生改变.
课堂小结
1.将一个底面直径为10厘米、高为46厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这个过程中，常量是（ ）.
A.圆柱的高 B.圆柱的侧面积
C.圆柱的体积 D.圆柱的表面积
C
拓展提升
2.如图，已知直线 m，n 之间的距离是 3，△ABC 的顶点 A 在直线 m 上，边 BC 在直线 n 上，设 BC 边的长为 x， △ABC 的面积为 S，写出 S 与 x 之间的关系式，并指出其中的常量与变量.
n
m
3
B
C
A
解：根据题意得： S = x，
常量是 ，变量是 S， x.
第19章 一次函数
19.1.1 变量与函数（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
知识回顾
2.判断一个量是常量还是变量的方法:
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则次量是变量.
在三角形ABC中，底边为 x，底边上的高为 y，面积为S=xy，当底边 x 为定值时，下列描述正确的是（ ）.
A. S，y，x是变量， 是常量.
B. S，y是变量， x， 是常量.
C. Y，x是变量，S 是常量.
D. S是变量， y ， x， 是常量.
B
1.了解并掌握函数的概念.
2.会根据函数的概念判断变量之间是否具有函数关系.
学习目标
思考1 下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标 x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量. 在心电图中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
课堂导入
思考2 下表是我国人口数统计表，年份与人口可以分别记作两个变量 x 与 y，对于表中的每一个确定的年份 x，都对应着一个确定的人口数 y 吗？
年份 人口数/亿
1984 10.34
1989 11.06
1994 11.76
1999 12.52
2010 13.71
那么，对于这样的关系我们该怎样定义呢？x 和 y 又分别代表什么含义呢？
我们发现：在上述两个思考问题的变化过程中，都有两个变量 x 与 y ，并且对于x的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应.
1.函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
知识点：函数的概念
新知探究
2.判断一个关系是否是函数关系的方法
（1）看是否在一个变化过程中；
（2）看是否存在两个变量；
（3）看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应.
三个条件缺一不可！
注意：
（1）函数具有唯一对应性.判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对于给定x的每一个值，y是否有唯一确定的值与其对应.如在y=± x中，y就不是x的函数.
（2）函数具有相互依存性.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，y是x的函数.
（3）函数具有顺序性.如y=x+3表示y是x的函数，而变化后的等式x=2y-6表示x是y的函数.
1.小明向平静的池塘水面扔一颗石头，在水面形成了圆形水波. 当圆形水波的半径从2cm扩大成6cm时，圆形水波的面积从 变成了 .在这一变化过程中， 是自变量， 是自变量的函数.
4π
36π
半径
面积
跟踪训练
新知探究
2.如图所示，在△ABC 中，底边 BC 的长为 5，BC 边上的高 AD 的长为 h，则△ABC 的面积 S 为 .在这一变化过程中，变量有 ， 可以看成是 的函数.
A
B
C
D
┐
2.5
高h，面积S
面积S
高h
函数
概念
判断
方法
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其相对应.
1.看是否在一个变化过程中；
2.看是否存在两个变量；
3.看每当变量取定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与其相对应.
课堂小结
1.观察下表中的数量关系，说法正确的是（ ）.
A. x是y的函数 B. y是x的函数
C. y不是x的函数 D. x是y的函数 ，y也是x的函数
x 1 2 3 4 5 6 7
y/元 1 1 2 2 3 3 3
（ x表示乘坐公共汽车的站数，y表示应付的票价.）
B
解析：对于每一个站数 x，都有唯一的票价 y . 但是对于每一个票价 y，有不同的公共汽车的站数 x 对应.
拓展提升
2.下列关系式中，b 不是 a 的函数的是（ ）.
A. b=2a B. b=5a
C. D.
D
解析：选项D中，对于一个确定的a ，不都是有唯一
确定的b与之对应.
3.如图所示的图象中,表示y是x的函数的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
技巧点拨：作辅助线识别函数关系：过x轴上任意一点作x轴的垂线，若与图象有两个或两个以上的交点，则该图象不能表示函数关系.
解析：观察图象（1）（2）中，对于任意一个 x 的值， y 都有唯一确定的值与之对应，所以满足题意；而图象（3）（4）中，对可取范围内 x 的值， y与之对应的值不都是唯一的，所以不满足题意.
第19章 一次函数
19.1.1 变量与函数（第3课时）
初中数学人教版八年级下册
函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，也称 y 是因变量.
判断一个关系是否是函数关系的方法
①看是否在一个变化过程中；
②看是否存在两个变量；
③看每当变量确定一个值时，另外一个变量是否都有唯一确定的值与之相对应.
知识回顾
下列说法中，不正确的是（ ）.
A.函数不是数，是一种关系
B. 多边形的内角和是边数的函数
C. 一天中温度是时间的函数
D. 一天中时间是温度的函数
D
1.了解自变量的取值范围的概念.
2.会根据不同类型的函数关系式，正确地求出自变量的取值范围.
学习目标
请用含有自变量的式子表示下列问题中的函数关系.
（2）多边形的边数为 n，内角和度数为 y.
（1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t，行驶的路程为 s.
s = 60 t
y =180 (n-2)
思考：（1）中， t 取 -2 时有实际意义吗？
（2）中， n 取 2 时有实际意义吗？
函数关系式中自变量的取值范围应该怎样规定呢？
课堂导入
函数自变量的取值范围 使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫做自变量的取值范围.
注意：1.当用函数关系表示实际问题时，自变量的取值不仅要使函数关系式有意义，还应该使实际问题有意义.
2.当函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况.
知识点：函数自变量的取值范围
新知探究
1.整式型 等号右边是整式，自变量的取值范围是全体实数，例如：.
2.分式型 等号右边的自变量在分母的位置上，自变量的取值范围是使分母不为0的实数，例如：.
不同类型函数自变量取值范围的确定
3.根式型 等号右边是开偶次方的式子，自变量的取值范围是使根号下的式子的值大于或等于0的实数，例如：.
4.零次型 等号右边是自变量的零次幂或负整数次幂，自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数，例如：
.
1.求下列函数的自变量的取值范围.
（1）
（2）
解：（1）函数式子无特殊情况，自变量 x 的取值范围是全体实数.
（2）函数式子含有分母，则分母不能为 0，自变量 x 的取值范围是 x≠0.
跟踪训练
新知探究
（3）
（4）.
解：（3）函数式子含有二次根式，则被开方数 ≥ 0，
x - 4 ≥ 0，解得 x ≥ 4.
（4）函数式子含有分母和二次根式，则分母不能为 0并且被开方数 ≥ 0，自变量x的取值范围是 x > -1.
更多同类练习见RJ八下《教材帮》19.1节方法帮
2.希望高中今有1 000本图书借给学生阅读，每个学生可以借阅 5 本书，写出剩余的图书本数 y 和借阅学生人数 x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围.
分析：每个学生可以借书5本，则x个学生可以借书5x本，根据剩余图书数量=图书的总数量-借出的图书总量,列出函数关系式.
解：每个学生可以借书 5 本, 则 x 个学生可以借书5x 本.
则y与x之间的函数关系式为 y=1 000-5x.
自变量的取值范围为：0≤x≤200，且 x 取整数.
函数自变量的取值范围
概念
不同类型函数自变量取值范围的确定
使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫做自变量的取值范围.
①整式型（全体实数）；
②分式型（使分母不为0的实数）；③根式型（使根号下的式子的值大于或等于0的实数）；
④零次型（使幂的底数不为0的实数）
课堂小结
1.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ）.
A. 中，x 取全体实数
B. 中，x 取 x≠-3 的全体实数
C. 中，x 取 x≥2 的全体实数
D. 中，x 取 x≥1 的全体实数
D
分母不能为零
拓展提升
2.某书定价 30 元，如果一次购书 20 本以上，超出 20本的部分打八折，请写出付款金额 y（单位：元）与购书数量 x（单位：本）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围.
分析：①购书数量不超过 20 本， y = 30 x.
②购书数量超过 20 本， 20 本按照 30 元的单价，总共需要600 元；超过的数量为（x-20），超过部分的单价为 24 元，所以总价格为 y = 600 + 24(x-20).
2.某书定价 30 元，如果一次购书 20 本以上，超出 20本的部分打八折，请写出付款金额 y（单位：元）与购书数量 x（单位：本）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围.
易错提醒：
此题要分情况讨论：
①购书数量不超过 20 本；
②购书数量超过 20 本.
解：
30x（0 ≤ x≤20）,
600+24（x-20）(x>20) .
y =
第19章 一次函数
19.1.1 变量与函数（第4课时）
初中数学人教版八年级下册
1.函数自变量的取值范围 使函数关系式有意义的自变量取值的全体叫自变量的取值范围.
1.整式型 自变量的取值范围是全体实数.
2.不同类型函数自变量的取值范围
2.分式型 自变量的取值范围是使分母不为0的实数.
3.根式型 自变量的取值范围是使根号下的式子的值 大于或等于0的实数.
4.零次型 自变量的取值范围是使幂的底数不为0的实数.
知识回顾
写出下列函数中自变量的取值范围.
（1）y = 5x+1
（2）
（3）
全体实数.
x2.
x.
1.了解函数解析式及函数值的概念.
2.能正确的写出函数解析式并求解函数值.
学习目标
请写出下列问题中的函数解析式.
（1）大货车以 80 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t，行驶的路程为 s.
（2）正方形的边长 x，周长为 y.
解：（1）s = 80t;
根据以上式子你能总结出函数解析式的定义吗？
（2）y = 4x.
课堂导入
1.函数解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
知识点：函数解析式与函数值
新知探究
注意：通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的变量是因变量.
找
认真审题，根据题意找出各个量之间的数量关系.
根据数量关系写出含有两个变量的等式.
写
变
将等式变形为用含自变量的式子表示因变量的形式.
确定函数解析式的步骤
2.函数值 对于自变量 x 在取值范围内的某个确定的值 a，函数 y 所对应的值为 b，即当 x=a 时，y=b，则 b叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
注意：当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解: (1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的函数，它们的关系为 y= 50-0.1x.
例 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L)随行驶路程 x(单位：km)的增加而减少，耗油量为 0.1 L/km.
(2)指出自变量 x 的取值范围；
解: (2) 仅从式子 y=50-0.1x 看，x 可以取任意实数. 但考虑到 x 代表的实际意义，因此 x 不能取负数.
行驶中的耗油量为 0.lx，它不能超过油箱中原有汽油量，即 0.l x ≤50，
因此，自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤500.
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油？
解: (3)汽车行驶 200 km 时，油箱中的汽油量是函数 y=50-0.lx 在 x=200 时的函数值.
将 x=200 代入 y=50-0.1x，得 y=50-0.1×200=30.
汽车行驶 200 km 时，油箱中还有 30 L 汽油.
1.拖拉机开始工作时，油箱中有油 36 L，如果每小时耗油4 L，那么油箱中剩余油量 y L 与工作时间 x h 之间的函数解析式是 ，自变量 x 的取值范围是 ，当 x=4 时，函数值 y= .
跟踪训练
新知探究
y = 36- 4x
0 ≤ x ≤ 9
20
分析：x h的耗油量为4x，则
剩余油量=总油量-已经消耗的油量,即y = 36- 4x .
由题意知，0≤ 36- 4x ≤36.
当x=4 时， y= 36-4 ×4=20.
2.甲乙两地相距 150 公里，张三驾驶私家车从甲地开往乙地，并且以每小时 45 公里的速度匀速行驶，t 小时后张三距离乙地 s 公里，请写出 s 和 t 的函数解析式，并计算 3 小时后，s 的值为多少？
解：每小时行驶 45 公里，t 小时行驶了45t 公里.
函数解析式为 s = 150 - 45t(0≤t≤).
当 t =3 时，s =150-453 =15.
解析式
函数值
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式.
对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，b即为函数值.
函数解析式和函数值
课堂小结
1.李老师带着学生去科技馆参观，李老师的票价为 40 元，每个学生的票价为 30 元，试写出李老师应带门票的总费用 y（元）和学生人数 x 之间的函数解析式.
分析：李老师去科技馆参观也是需要门票的，同时学生花费的门票总价=单价学生人数.
解：因为每个学生的票价为 30 元，所以 x 个学生的门票总费用是 30x.李老师应带的门票的总费用=李老师的门票费用 + 所有学生的门票总费用，即 y = 40+30x.
拓展提升
2.本市出租车的收费标准如下：乘坐公里数不超过 3 公里的，一律按照 10 元收费；超过 3 公里的部分，每公里加收 3 元. 设乘坐公里数为 x 公里，相对应的收费为 y 元.
（1）请分别写出 x>3 和 0分析：①当 0②当 x>3 时，超过 3 公里的部分，每公里加收 3元，则 y =10+3（x-3）=3x+1.
解：y =
10 (03x+1 (x>3).
2.本市出租车的收费标准如下：乘坐公里数不超过 3 公里的，一律按照 10 元收费；超过 3 公里的部分，每公里加收 3 元. 设乘坐公里数为 x 公里（x 为整数），相对应的收费为 y 元.
（2）直接写出当 x=2 和 x=5 时的函数值.
解：因为0< 2 < 3 ，所以当 x=3时，收费为 10 元.
因为 5 >3 ，所以当 x=5 时，收费为 16 元.
Thank you!