第18章 平行四边形小结复习 课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
第18章 平行四边形
小结课（第1课时）
初中数学人教版八年级下册
1.平行四边形的定义
定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
表示方法 如图所示，平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
知识梳理
2.平行四边形的性质
性质1 平行四边形的对边相等.
性质2 平行四边形的对角相等.
性质3 平行四边形的对角线互相平分.
A
B
C
D
O
3.平行四边形的判定
平行四边形的判定1（定义法）
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定4
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定5
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4. 两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
a
b
A
┐
B
5. 三角形的中位线及其定理
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
A
B
C
D
E
1.已知平行四边形ABCD中，∠A=60 ，则∠B， ∠C， ∠D的度数分别是（ ）.
60 ，120 ，120 B. 120 ，120 ，60
C. 120 ，100 ，80 D. 120 ，60 ，120
D
重难点1：平行四边形的性质
重点解析
平行四边形的对角相等.
2.已知平行四边形ABCD中，AB=7，AD=4，AE平分∠BAD，则EC的长为（ ）.
4 B. 7 C. 3 D. 11
D
A
B
C
E
C
解析：∵平行四边形ABCD中，AB=7，AD=4,
D
A
B
C
E
∴ AB//CD， CD=AB=7,
∵ AE平分∠BAD,
∴ ∠DEA= ∠BAE.
∴ ∠DEA= ∠DAE,
∴ EC=CD-DE=7-4=3.
∴ DE=AD=4,
∴ ∠DAE= ∠BAE.
1.四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD//BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）.
A. 3 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种
B
重难点2：平行四边形的判定
重点解析
（1）①②得一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（2）①③得△AOD≌△COB ，则有AD=BC.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（3）①④得△AOD≌△COB，则有AD=BC.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）②③不能得出四边形是平行四边形.
（5）②④不能得出四边形是平行四边形.
（6） ③④得两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.已知：平行四边形ABCD中，点E ，F分别是边AD，BC的中点，求证：BE=DF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC.
∵点E,F分别是边AD,BC的中点.
∴DE=AD， BF=BC，则DE=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形，BE=DF.
（1）如果EF=5，那么BC= ；
如果AB=12，那么DF= ；
如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点.
（2）如果∠A=35 ，那么∠DFC= ；
如果∠CDF=55 ，那么∠B= ；
A
B
C
E
F
D
10
6
55
35
重难点3：三角形的中位线
重点解析
∴ AB=AF，BD=DF，
又E是BC的中点 ，
∴ DE=CF=(AF-AC)=(AB-AC).
F
∴ED是△BCF 的中位线，
技巧点拨：
构造三角形的中位线解决问题
中位线具有平移角度、倍分转化的功能.当已知条件中有中点时，常取某一边的中点构造三角形的中位线，或延长某线段，构造中点，运用三角形的中位线定理解决问题.
3.已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，以 AC 为一边向外作等边△ACD，点 E 为 AB 的中点，连接 DE.
（1）求证：DE//CB.
（2）当 AC 和 AB 满足什么数量关系时，
四边形DCBE是平行四边形？
A
B
C
D
E
证明：（1）连接CE,
A
B
C
D
E
∵点E为AB的中点,
∴CE=AB=AE.
∵△ACD是等边三角形,∴AD=CD,
∵在△ADE和△CDE中 ，AD=CD， DE=DE， AE=CE,
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∵∠DCB=150 ,
∴ ∠EDC+∠DCB=180 , ∴ DE//CB.
∴∠ADE=∠CDE=30 .
解：（2）当AC= AB或AB=2AC时，满足题意.
A
B
C
D
E
∵ AC=AB， ∠ACB=90,
∴∠B=30 .
∵∠DCB=150 ,∴∠B+∠DCB=180 ,
∴ DC//BE.
又∵ DE//CB,
∴ 四边形DCBE是平行四边形.
4.如图，在四边形ABCD中， AD//BC，且AD=9cm，BC=6cm，点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，
点Q以2cm/s的速度由C向B
运动，求点P,Q出发几秒后直线PQ将
四边形ABCD截出一个平行四边形？
分析：两种情况讨论：
构成平行四边形APQB时，BQ=AP；
构成平行四边形CQPD时，CQ=PD.
解：设点P,Q运动的时间为t s.
依据题意有CQ=2t cm，BQ=(6-2t)cm ， AP=t cm ，
PD=(9-t)cm.
（1）当BQ=AP时，四边形APQB是平行四边形，即6-2t=t，解得t=2.
分两种情况讨论：
（2）当CQ=PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t=9-t，解得t=3.
所以当点P,Q出发2s 或 3s 后，直线 PQ 将四边形ABCD截出一个平行四边形.
本题由于受图形的影响，容易漏掉（2）的情形..
动点问题的求解方法
解决动点问题的基本思路就是变“动”为“静”，要用“静”去理解“动”.在动态问题中判断平行四边形，可根据已知的一个条件，去找另外一个条件，同时要注意分类讨论.
第18章 平行四边形
小结课（第2课时）
初中数学人教版八年级下册
一、矩形
1.定义和性质
定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特殊性质： ①四个角都是直角；②对角线相等；③轴对称图形.
直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知识梳理
2.判定
判定1（定义法）： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
判定2： 有三个角是直角的四边形是矩形.
判定3： 对角线相等的平行四边形是矩形.
二、菱形
1.定义、性质、面积
定义： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
特殊性质： ①四条边都相等；②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；③轴对称图形.
面积： ①菱形的面积=底×高； ②菱形的面积=对角线长的乘积的一半.
2.判定
判定1（定义法）：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定2 ： 四条边相等的四边形是菱形.
判定3 ： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
三、正方形
1.定义和性质
定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
特殊性质： ①对边平行，四边相等；②四个角都是直角；③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；④轴对称图形.
判定1：对角线互相垂直的矩形是正方形.
判定2：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定3：对角线相等的菱形是正方形.
判定4：有一个角是直角的菱形是正方形.
2.判定
四边形
平行四边形
正方形
菱形
矩形
四条边都相等
两组对边分别平行
(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)
两条对角线互相平分
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有一个角是直角
(或对角线相等)
两组对角分别相等
有一个角是直角
(或对角线相等)
有一组邻边相等
(或对角线互相垂直)
有三个角是直角
1.如果矩形ABCD的对角线AC=10，一边AB=6，则它的另一边BC及周长是多少？
A
B
C
D
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90 .
在Rt△ABC中，
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=6+8+6+8=28.
重难点1：矩形的性质及判定
重点解析
2.已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点，且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH为矩形.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=BO=CO=DO.
∵ AE=BF=CG=DH，OE=OA-AE， OF=OB-BF，
OG=OC-CG， OH=OD-DH,
∴ OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是矩形.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
1.已知菱形周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）.
A. 2 B.
C. 3 D. 4
D
D
A
B
C
O
重难点2：菱形的性质及判定
重点解析
解析： ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=，AC⊥BD，AO=AC， BO=BD.
∵AC+BD=6，∴ AO+BO=3,
=9.
在Rt△AOB中，=5，
则=4,
∴菱形ABCD的面积=
AC BD=2AO BO=4.
D
A
B
C
O
2.如图，在三角形ABC中，AB=AC，点D,E,F分别是三角形ABC三边的中点. 求证：四边形ADEF是菱形.
证明：∵点D,E,F分别是三角形ABC三边的中点,
∴DE//AC且DE=AC， EF//AB且EF=AB,
∴四边形ADEF是平行四边形.
∵AB=AC ,
∴四边形ADEF是菱形.
A
B
C
D
E
F
∴ DE=EF,
1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，BE=CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
A
B
C
D
F
E
△ABE≌△BCF， AD//BC，AB//CD
∠AEB=∠BFC=∠DAE= ∠ABF
重难点3：正方形的性质及判定
重点解析
2.如图，四边形ABCD为平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90 ，③AC=BD， ④AC⊥BD四个条件中，选择两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）.
A
B
C
D
B
A.①② B.②③
C.①③ D.②④
②③只能判断四边形ABCD为矩形
1.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.
（1）线段BD与CD有什么数量关系，
并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边
形AFBD是矩形？并说明理由.
D
A
B
C
E
F
深化练习
解：（1）BD=CD.
∵AF//CB,∴∠AFE=∠DCE.
∵ E是AD的中点,∴AE=DE.
∵在△AEF和△DEC中 ，∠AFE=∠DCE，
∠AEF=∠DEC ， AE=DE,
∴△AEF≌△DEC（AAS）,
∴AF=CD.
∵AF=BD,∴BD=CD.
D
A
B
C
E
F
（2）当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形.
∵AF//BD，AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC，BD=CD,
∴∠ADB=90 ,
∴四边形AFBD是矩形.
D
A
B
C
E
F
2.如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E，F分别是边BC，AD的中点，连接AE，CF.求证：四边形AECF是矩形.
分析：根据题意可知四边形AECF是平行四边形，再根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形” 进行证明.
A
B
C
D
F
E
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=BC.
∵AB=AC ，∴△ABC是等边三角形.
∵E，F分别是边BC，AD的中点,
∴AE⊥BC，∠AEC=90 , AF=AD， EC=BC.
∴AF//EC， AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠AEC=90 ,∴四边形AECF是矩形.
A
B
C
D
F
E
3.如图，在菱形纸片 ABCD 中，∠A=60 ，折叠菱形纸片ABCD，使点 C 落在 DP（P 为 AB 的中点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE，则 ∠DEC 的度数为（ ）.
78 B. 75
C. 60 D. 45
B
解析：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB.
∵∠A=60 ，∴△DAB为等边三角形.
∵点P为AB的中点，∴DP⊥AB.
∵DC//AB ，∴∠PDC=∠DPA=90 .
∵△DEC' 是△DEC沿DE折叠得到的,
∴∠CDE=∠C' DE=∠PDC=45 .
在△DEC中，∠DEC=180 -∠CDE-∠C=75 .
从主要条件入手找解法
在解决与菱形有关的问题时，主要考虑其“边”的性质和“对角线”的性质，因为本题中没有对角线，所以应考虑其“边”的性质，即菱形的四边相等，又因为图中有60°的角，所以可考虑构造等边三角形，利用等边三角形的性质进行求解.
4.如图，在平行四边形ABCD中，BE 平分∠ABC 交 AD 于点 E，DF 平分∠ADC 交 BC 于点 F.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF ，
求证：四边形EBFD是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵ BE平分∠ABC，DF平分∠ADC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵∠A=∠C， AB=CD ，
∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
O
（2）证明： ∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC， AD=BC,
∴ DE//BF，DE=BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵ BD⊥EF,
∴四边形EBFD是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
5.在矩形ABCD中， AD=2CD，E是AD的中点，BF//CE，CF//BE. 求证：四边形BECF是正方形.
证明： ∵ BF//CE，CF//BE,
A
B
C
D
E
F
∴ 四边形BECF是平行四边形.
∵在矩形ABCD中， AD=2CD，E是AD的中点,
∴ AE=AB=DE=DC.
A
B
C
D
E
F
∵在△ABE和△DCE中 ，AB=DC， ∠A=∠D， AE=DE,
∴△ABE≌△DCE（SAS）,
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC=45 ,
∴∠BEC=90 ,
∴四边形BECF是正方形.
6.如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF=45 ， 则△EDF 的周长等于 .
转化思想求周长：将△EDF 的周长转化为AD与CD的和.
解：如图，延长FC至点G，使CG=AE，连接BG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠A=∠ABC=∠BCD=90 ，
∴∠A=∠BCG=90 ,
∴△ABE≌△CBG（SAS）,
∴∠ABE=∠CBG，BE=BG ，CG=AE.
∵∠EBF=45 ,∴∠ABE+∠FBC =∠ABC-∠EBF=45
G
∴∠GBF=∠CBG +∠FBC =∠ABE+∠FBC=45
∴∠GBF=∠EBF.
∵在△BEF和△BGF中 ，BE=BG，
∠EBF=∠GBF， BF=BF,
∴△BEF≌△BGF（SAS）,
∴EF=FG=FC+CG=FC+AE,
∴△DEF的周长为DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=4.
G
技巧点拨：
作辅助线构造全等三角形，实现边、角的转换
在正方形中出现以正方形的一边为直角边的直角三角形时，经常通过延长或是旋转作辅助线构造全等三角形，从而实现边、角的转换.
Thank you!