相似三角形复习学案2
复习目标：1.掌握成比例线段、平行线分线段成比例、黄金分割的概念.
2.掌握相似三角形的性质与判定，并会利用性质判定进行计算或证明.
3.能够熟练运用上述的概念和性质解决实际问题.
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
复习提示：
一、成比例线段：
1.对于四条线段a，b，c，d，如果＝ ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2.表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例
二、比例的基本性质：
1.如果＝，那么 ，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．
特殊地，＝ b2＝ac.
2.比例的合比性质 如果＝，那么＝.
3.比例的等比性质
如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.[来源:21世纪教育网]
三、平行线分线段成比例定理
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等
2.几何语言叙述
如图，当l3∥l4∥l5时，有＝，＝，＝等．
3.平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
如图所示：
四、黄金分割
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，AC>BC，
如果＝，则称线段AB被点C黄金分割， 点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，
＝≈0.618. 注意：一条线段有两个黄金分割点．
五、相似三角形
1.定义：如果两个三角形的各角对应 ，各边对应 ，那么这两个三角形相似．[来源:21世纪教育网]
2.相似三角形的性质
1）相似三角形的对应角 ，对应边 ．
2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 ．
3）相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于 ．
3.相似三角形的判定
1）平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两边对应 ，且夹角 的两个三角形相似．
3） 角对应相等的两个三角形相似．
4）三边对应 的两个三角形相似．
六、位似图形的定义及性质
1.定义：如果两个多边形不仅 ( http: / / www.21cnjy.com )，而且对应顶点的连线相交于 ，对应边互相 ，像这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比．
2．性质
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ．
(2)在平面直角坐标系中，如果是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 .
3利用位似可以将一个图形放大或缩小．
当堂检测：
1.若x∶y＝1∶3,2y＝3z，则的值是( )A．－5 B．－ C. D．5
2.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
3.如图，线段AB两个端点的坐标分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )A(6,6)，B(8,2)．以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )A．(3,3) B.(4,3) C．(3,1) D．(4,1)
4.如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
5.已知＝＝＝k，则k的值是 .
6.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7.线段AB的长为10，点C是AB的黄金分割点，则AC= .
达标检测 ：
1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
2.在中, 为直角, 于点,,
写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比___ __.
第1题 第2题 第3题
3.如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝4cm,则BC的长为 ( )
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
4.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1=PA，则AB A1B1等于( )
A． B． C． D．
5.如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 第5题图
6.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
7.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为
m．
8.若，则 ．
9.如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ．
10.如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为 .
11.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AB边上，且，CE交AD于F，△ABC的面积为12，则△AEF的面积为
12. 在13×13的网格中，已知△ABC和点M(1,2)．[来源:21世纪教育网]
(1)以点M为位似中心，位似比为2∶1，
画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
12.如图，△ABC是一块面积为2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，点D、M分别在AB、AC边上，点E、F在BC边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长.
13.如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．
拓展延伸：
14.如图，直线分别y=与x轴y轴交于点D、A，CD⊥x轴，且CD=4，点P在线段OD上运动，
求出点A和点D的坐标.
是否存在这样的点P使△AOP与PCD相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。
A
B
C
E
F
4题
A．
B．
C．
D．
A
B
C
E
C
D
A
F
B相似三角形复习学案1
复习目标：
1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
复习提示：
快速浏览本章内容完成下面问题：
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2.若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
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3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________．
三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
4.你知道什么黄金分割吗？黄金比是多少？请你用图形来表示一下.
5.什么是位似图形吗？你会将一个图形放大或缩小吗？请你试着在练习本画一下.21世纪教育网
典型例题研析：
如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，
已知AB＝4，则DE的长为 ____．
2、如图，已知是矩形的边上一点，
于，试证明．
3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
当堂检测：
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
巩固训练：
1.如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
2.在中, 为直角, 于点,,
写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比___ __.
（第1题） （第2题） （第3题）
3.如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝4cm,则BC的长为 ( )
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC=（ ）
A．9 B．10 C． 11 D．12
5.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1=PA，则AB A1B1等于( )
A． B． C． D．
6.在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．21世纪教育网
7.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
8.如图，用两根等长的钢条和交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度．设，且量得，则内槽的宽等于（ ）
A． B． C． D．`
9.如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
11.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，，，则GF的长为 ．
13.我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为
m．
14.如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．
第15题图
15.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；（ 2）求证：EF⊥AB．
16.如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR
第1题图
C
O
D
E
F
A
B
D
C
b
A
B
7题图
A
E
C
D
B
4题
5题
A．
B．
C．
D．
A
B
C
C
A
BA
DA
OA
EA
FA
第9题
第10题
D
C
E
A
B
E
C
D
A
F
B
12题图
第11题
A
D
C
B
F
G
E
第14题
x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A1
B1
C1
A
B
C
y
第16题图
