人教版八年级数学下册18.2 特殊的平行四边形 测试题（含解析）

18.2 特殊的平行四边形 章节测试题 人教版八年级数学下册
一、选择题
1．如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
3．如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （　　）
A． B． C．3 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，，且，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是AB的中点，过点作AB的垂线，交BC于点，连接CD，AE，，则（　　）
A．3 B． C．5 D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，连接AC，若AC＝6，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．30 C． D．
7．如图，AC 是 ABCD 的对角线，若当它满足：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠B=∠3；④∠1=∠3 中某一条件时， ABCD是菱形，则这个条件是 （　　）
A．①或② B．①或④ C．②或③ D．③或④
8．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG=30°，有下列结论：①DC=3OG；②OG=BC；③连结AF，CE，四边形AECF为菱形；④其中正确的是（　　）
A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④
9．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为　 　.
12．如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则　 　 度
13．如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”如图，已知“完美菱形”的边长为，是它的较短对角线，点、分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是　 　．
14．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是　 　 ．
15．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连接，．若，，则的面积为　 　．
三、解答题
16．如图，在矩形中，，点是线段上一个动点，且，．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
17．如图，在 ABCD中，点 E，F 在对角线 AC 上，且AE=EF=FC.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
（2）若∠CDE=90°，DC=8，DE=6，求四边形DEBF 的周长.
18． 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）求证：四边形是菱形．
19．如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，，直线MN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分．，NE平分．
（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；
（2）若四边形ENFM为菱形，求出的大小．
20．如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连结DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE ，EF为邻边作矩形DEFG，连结AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，请求出AE的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，AD=9 cm，CD= cm，∠B=45°，点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)． ．
（1）求BC边上的高AE的长度．
（2）连结AN，CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形？
（3）作MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得： 绿化区的面积是（14-3）×6=66（m2），
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质和矩形的面积公式计算求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故答案为：C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A、由AD∥BC，AD＝BC可证四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证；
B、由AD∥BC，AD＝BC可证四边形ABCD是平行四边形，由∠A=∠B可推出∠A＝∠B＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即证；
C、易求∠B=∠D，结合∠A＝∠C，两组对角相等的四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、根据平行四边形的定义可得四边形ABCD是平行四边形，结合AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即证.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，易证△FCH≌△QAG，得到AQ=CF=2，FH=QG，推出四边形ADEM是矩形，进而求得AM、EM、MQ的值，接下来在Rt△EMQ中，应用勾股定理可得EQ的值，据此可得EG+QG=EG+FH的值.
4．【答案】B
5．【答案】B
【解析】【解答】解： ∵∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4，
∴AB=2CD=8，
∵ED⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴BE=AE=5，
∵AC2=AE2-CE2=AB2-BC2，
∴52-CE2=82-（5+CE）2，
解得CE=1.4，
故答案为：B.
【分析】 由直角三角形斜边上的中线可求AB=8，根据线段垂直平分线的性质可得BE=AE=5，再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解AC的长．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=AC=6，
故菱形的周长是4×6=24.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质和∠B的度数判断△ABC是等边三角形，从而得到AB=AC=6，于是可得周长.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠2=∠3.
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=BC，
∴ ABCD 是菱形.①符合题意；
②∵AD//BC，一定有∠2=∠3.②条件多余，不能证明菱形，不符合题意；
③∵∠B=∠3，
∴AB=AC，不能得到一组邻边相等，所以不能证明菱形，不符合题意；
④∵∠1=∠3，
∴AB=BC，
∴ ABCD 是菱形.④符合题意；
故答案为：B
【分析】四边形ABCD已经是平行四边形，只要再证明一组邻边相等，就可得到菱形.据此逐一判断即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，G是AE的中点，
∴AG=OG=GE，
∴∠OAE=∠AOG=30°，
在直角△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=AC=OC，
设BC=a，AC=2a，
在中，由勾股定理得：，
在直角△AOE中，∠EAO=30°，AO=OC=a，
解三角形得：OE=，AE=，
∴OG=，
∴CD=AB=3OG，故①正确；
OG=≠a=BC，故②错误；
连接AF、CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△FOC与△EOA中，
，
∴△FOC△EOA，
∴OE=OF，
又∵AO=OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵=，=a a=，
∴=，故④正确，
综上所述，结论正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求出，解直角三角形AOE，得AE=，根据直角三角形性质可得OG=，即可判断①正确；OG=≠a=BC，故②错误；根据对角线互相垂直平分，即可判断③正确；根据三角形、矩形的面积公式，即可判断④正确，即可得解.
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AD=6，
，，
，
，
，
，
，
，，
.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质证得，，再通过AAS判定得到BF=AE，然后利用勾股定理求得BF的长度.
12．【答案】18
【解析】【解答】解：连接DM，如图：
四边形ABCD是矩形，
．
是AC的中点，
，
，．
由折叠知DF=DC
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：18.
【分析】连接DM，易得∠ADC=90°，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得DM=AM=CM，根据等腰三角形的性质得∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD，由折叠得DF=DC，则∠DFC=∠DCF，易得MF=FD，则∠FMD=∠FDM，结合三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠DFC=2∠FMD，∠DMC=2∠FAD，设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，∠MCD=∠MDC=4x°，结合内角和定理可得x的值，据此解答.
13．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得：“完美菱形”的边长为，则故均为等边三角形，则又，，故在中
,则（SAS），则∵
∴则且故为等边三角形，设则的面积为则当时，x有最小值：故S的最小值为：当BM与AB重合时有最大值4，则S的最大值为则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题主要考查菱形等边三角形的性质、三角形全等的证明与性质.根据题意可得：“完美菱形”的边长为，则故均为等边三角形，则然后根据已知条件结合等量代换可得：从而得到，进一步可证明为等边三角形，设则的面积为然后分当时，x有最小值和当BM与AB重合时有最大值进行求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°
延长AD交EF于M，连接AC，CF
则AM=BC+CE=4，FM=EF-AB=2，∠AMF=90°
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形
∵H为AF的中点
故答案为：
【分析】延长AD交EF于M，连接AC，CF，根据正方形性质及勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点H，则，，，
∴，
∴，
已知：，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】由正方形的性质及SAS可证明，可得，过点E作于点H，则，，再用AAS证明，可得，根据，结合勾股定理可建立方程，解得，即可得解．
16．【答案】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，，
．
17．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：∵∠CDE=90°，EF=CF，
∴，
∴DF是Rt△DEC斜边的中线，
∴DF=CE=5，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF=6，BE=DF=5，
∴四边形DEBF的周长为6+6+5+5=22.
【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得OD=OB，OA=OC，由此可推出OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用勾股定理求出CE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，利用平行四边形的性质可求出四边形DEBF的周长.
18．【答案】（1）证明：，
是的中点，
在与中，
；
（2）证明：由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
；四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到进而根据中点得到，再根据三角形全等的判定（AAS）即可求解；
（2）由（1）可知，，进而结合题意根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质结合菱形的判定即可求解。
19．【答案】（1）证明：平分，．
又，
，，．
平分，．
．
，，
，．
，∴四边形ENFM为平行四边形；
（2）解：，，
由（1）知，，
四边形ENFM为菱形．
，，为等边三角形。
，。
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法证出四边形ENFM为平行四边形即可；
（2）利用菱形的性质可得，再证出为等边三角形可得.
20．【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式;
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
21．【答案】（1）证明：如图，作EM⊥AD于点M， EN⊥AB于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=∠EAB，∴ EM=EN．∵∠EMA=∠ENA= ∠DAB=90°
∴四边形ANEM是矩形．
∵EF⊥DE，∴∠MEN= ∠ DEF=90°，
∴∠DEM= ∠ FEN，
∵∠EMD=∠ENF=90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED=EF．
∵四边形DEFG是矩形，矩形DEFG是正方形．
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG=DE ， DC=DA=AB=4，∠ GDE=∠ADC= 90°，
∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE，
∴AG=CE ， ∴AG+AE = EC+AE =AC=AD=4．
（3）解：连结DF，如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，AB∥ CD．
∵F是AB的中点，AF=FB=2．∵四边形DEFG是正方形，
设DE=EF=x，∵DF2 = AD2 +AF2 = DE2+EF2，∴42+22 =x2+x2 ，
解得×=(负值舍去)，即EF=，由(1)得EM= EN=AN，设EN=y，则FN=y-2．∴y2+(y-2)2=( )2 ，解得y=3(负值舍去)，即EN=EM=AN=3， ∴AE=
【解析】【分析】（1）邻边相等的矩形为正方形，所以只需要证出ED=EF．通过证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）可将AG和AE转移至同一条线上，通过证明△ADG≌△CDE，得AG=EC，所以 AG+AE =EC+AE=AC；
（3）通过两种求DF长的方式可算出DE的长度，再在三角形EFN中，通过勾股定理求出EN的长度，从而可得出答案．
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB= CD=3cm， 在Rt△ABE中，∠AEB=90 ，∠B=45°，∴设BE=AE=xcm，则有x2+x2 =(3)2，解得x=3，即AE的长度为3cm．
（2）解：∵点M，N分别以A，C为起点，以1 cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为t s(0≤t≤6)，
∴AM=CN=t cm．∵AM∥ CN，∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3 cm，EN=(6-t)cm，∴AN2=32+(6-t)2，
∴32+(6-t)2=t2 ，解得t=
故当t为时，四边形AMCN为菱形．
（3）解：∵MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ
为矩形，∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM=CN=tcm，
BE=3 cm，∴AQ=EN=BC -BE -CN=9-3-t=(6-t)cm，
∴QM=|AM-AQ|=|t-(6-t)|=、2t-6|(注：分点Q在点M的左右两种情况)．
∵QN=AE=3 cm，∴|2t-6|=3，解得t=4.5 或t=1.5．
故当t为4.5或1.5时，四边形MPNQ为正方形．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理，列算式解答即可；
（2）根据菱形的判定方法，邻边相等的平行四边形为菱形，结合勾股定理，可解答；
（3）根据正方形的判定方法，邻边相等的矩形为正方形，再结合勾股定理可解答，但需要分Q在点M的左右两种情况，所以列式时需加上绝对值.
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