人教版八年级下册第十九章一次函数练习 （含解析）

人教版八年级下册第十九章一次函数练习
一、选择题
1．下列曲线中能表示 是 的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若 是关于 的一次函数，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．直线与x轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．点、在一次函数图象上，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
5．一次函数y=x+2的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知一次函数的图象与的图象交于点．则对于不等式，下列说法正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当且时， D．当且时，
8．把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（　　）
A．y＝﹣2x+4 B．y＝﹣2x+8 C．y＝﹣2x﹣4 D．y＝﹣2x﹣8
9．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则下列说法正确的是（　　）
A．进水管每分钟的进水量为 B．当时，
C．出水管每分钟的出水量为 D．水量为的时间为或
10．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，则m的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题
11．若直线经过，则　 　 ．
12．将直线沿轴向上平移个单位，可得直线的解析式　 　．
13．直线：y=(3-a)x+b-2在平面直角坐标系中如图所示，则|=　 　.
14．直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解是　 　 ．
15．某医药研究所研发了一种新药，经临床实验发现，成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）而变化的情况如图所示．研究表明，当血液中含药量（微克）时，对治疗疾病有效，则有效时间是　 　小时．
16．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点C的坐标为　 　，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是　 　．
三、解答题
17．一次函数（）的图象经过点，．求一次函数的表达式．
18．正比例函数y＝k1x（k1≠0）与一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象的交点坐标为A（4，3），一次函数的图象与y轴的交点坐标为B（0，-3）．
（1）求正比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
19．已知函数，（m为常数，）．
（1）若点在的图象上，求m的值．
（2）如图，当时，求自变量x的取值范围．
20．如图是个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是和，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数已知点，直线：经过点．
（1）若直线过点，求直线的解析式；
（2）试推算出和的数量关系；
（3）若直线使得为的整数这些点分布在它的两侧，每侧各个点，求的取值范围．
21．如图，直线的图象与轴交于点，直线的图象与轴交于点，两者相交于点．
（1）方程组的解是　 　 ；
（2）当与同时成立时，的取值范围为　 　 ；
（3）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标．
22．某公司计划购买两种设备共100台，要求种设备数量不低于种的，且不高于种的．已知两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买种设备台．
（1）求该公司计划购买这两种设备所需费用（元）与的函数关系式；
（2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？
（3）由于市场行情波动，实际购买时，种设备单价上调了元/台，种设备单价下调了元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出的值．
23．如图，直线：与直线：交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点是轴上一点，点是直线上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，求点的坐标．
24．已知，点E是的中线上一动点，交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E与点D不重合时，延长交于点G，交于点H．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，若的边，以为腰作等腰直角，连接，点M为的中点，当点E从点D运动到点A过程中，请直接写出点M的运动路径长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由函数的定义可知，x与y的对应关系应该是一对一的关系或多对一的关系，据此排除A，B，C，
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义，每一个自变量x都有唯一的y值和它对应即可解题.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 是一次函数
∴
∴
∵
∴
故答案为：B
【分析】根据一次函数定义求出 的值即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：令y=0
则0=-x+3
解得：x=3
∴直线y=-x+3与x轴的交点坐标是（3，0）
故答案为：C.
【分析】根据一次函数与x轴的交点的纵坐标为0即可求解。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数y=-2x+b中，k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵P1(-1，y1)，P2(2，y2)，且-1＜2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此可解此题.
5．【答案】D
【解析】【分析】根据k，b的符号确定一次函数y=x+2的图象经过的象限．
【解答】∵k=1＞0，图象过一三象限，b=2＞0，图象过第二象限，
∴直线y=x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选D．
【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．需注意x的系数为1．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴直线y=bx-k经过一、二、三象限 ；
A、图象经过一、二、四象限 ，不符合题意；
B、图象经过一、二、三象限 ，符合题意；
C、图象经过二、三、四象限 ，不符合题意；
D、图象经过一、三、四象限 ，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据直线y=kx+b经过一、二、四象限，可判断k、b的正负号，再根据k、b的正负号，判断出直线y=bx-k经过的象限，然后根据图象的位置进行选择即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点（m，-4）在直线y=-2x上，
∴-2m=-4，
解之：m=2，
∴两函数图象的交点坐标为（2，-4），
∵y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，
∴直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），
将点（-2，4）代入直线y=kx-b得
-2k-b=4，
解之：b=-2k-4，
∴y=kx+2k+4=（k+2）x+4，
当2k+4＞0且k＜0时，
解之：-2＜k＜0，
如图，图象在直线x=-2的左侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
∴此时x的取值范围为x＜-2；
当2k+4＜0且k＜0时，
解之：k＜-2，
如图
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
当x＞-2时kx-b＜-2x；
当k＞0时，
图象在直线x=-2右侧部分满足不等式kx-b＜-2x，
此时x的取值范围为x＜-2，
∴x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2
故A，B，C不符合题意，D符合题意；
故答案为：D
【分析】将点（m，-4）代入直线y=-2x，可求出m的值，两端的两函数图象的交点坐标为（2，-4），再根据y=-2x关于原点成中心对称，且y=kx+b与y=kx-b关于原点成中心对称，可得到直线y=kx-b与y=-2x的交点坐标为（-2，4），将点（-2，4）代入y=kx-b，可得到b=-2k-4，据此可得到y=kx+2k+4，分情况讨论：当2k+4＞0且k＜0时，观察图象可知此时x的取值范围为x＜-2；当2k+4＜0且k＜0时，观察图象可知当x＞-2时kx-b＜-2x；当k＞0时，利用函数图象可知此时x的取值范围为x＜-2，综上所述可得到x的取值范围是k＞-2且k≠0，x＜-2，即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，
∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变）
∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①
把点（m，n）代入①并整理，得
y＝﹣2x+（2m+n）②
∵2m+n＝8③
把③代入②，解得y＝﹣2x+8，
即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．
故答案为：B．
【分析】由题意知，直线AB的斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：A．∵4min的进水量为20L，
∴进水管每分钟的进水量=20÷4=5（L），
故错误；
B．设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0）（4＜x≤12），
∵点（4，20），点（12，30）都在此函数图象上，
∴，
解得，
∴函数表达式为(4＜x≤12)，
故错误；
C．由B可得：当4＜x≤12时，容器内每分钟增加L水，
∴出水管每分钟的出水量为（L），
故错误；
D．当0＜x≤4时，水量为15L的时间为15÷5=3（min），∴3min时，水量为15L；
∵（min），
∴16min时，水量为15L．
∴水量为15L的时间为3min或16min，
故正确．
故答案为：D.
【分析】(1)当0＜x≤4时，图象为正比例函数，根据4min共进水20L，可求得平均进水量；
（2） 当时 ，图象为线段，根据线段两端点的坐标，可求得一次函数表达式；
（3）依据每分的进水量和出水量是两个常数，可知进水速度可依据A得到，根据B中的k可知容器内每分钟增加水量，从而可求得出水管每分钟的出水量；
（4）水量为的时间有两个，一个在0＜x≤4时，另一个在时，分别计算求解.
10．【答案】C
【解析】【解答】联立方程组，
解得：，
∴点A的坐标为（，），
∴点A所在的直线解析式为，
∵点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，
∴直线与直线 y＝x-3 平行，
∴，
解得：m=，
故答案为：C.
【分析】先联立方程组求出点A的坐标，求出点A所在直线解析式，再结合点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，可得，再求出m的值即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：将点(1，0)代入y=ax+1得a+1=0，
解得a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特点，将点(1，0)代入y=ax+1即可求出a的值.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
平移后的直线方程为：y=3x-8+5
整理得：y=3x-3
故答案为：
【分析】根据直线平移的性质：左加右减（对x），上加下减（对y）。即可求出答案。
13．【答案】1
【解析】【解答】观察图象可知：经过第二，三，四象限
所以
所以
故
因此 |
故答案为：1.
【分析】本题考查一次函数的图象性质，二次根式的性质，绝对值的性质.观察图象可知：经过第二，三，四象限，据此可得，可判断出的符号为：，通过二次根式的性质和绝对值的性质可得：，通过化简可求出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b与y=kx相交于点（-1，-2），
∴关于x的一元一次方程ax+b=kx的解是x=-1.
故答案为：x=-1.
【分析】由两一次函数图象交点的横坐标就是两函数的函数值相等时自变量的取值，可得答案.
15．【答案】
【解析】【解答】
设直线OA的解析式为y=kx，(k≠0)，
把(2，6)代入得，6=2k，∴k=3，∴y=3x，
当y=5时，3x=5，∴x=
设直线AB的解析式为y=mx+n，(m≠0)
把(2，6)、(10，3)代入得，
解得，
∴
当y=5时，， ∴x=
故答案为：3
【分析】
分别求出两段图像的解析式，再求出y=5时，对应的x值，再计算出两个时间的差即可。
16．【答案】（1，0）；（0，1）
【解析】【解答】解：∵A（2，0）、B（0，4），点C为OA的中点，点D为AB的中点，
∴C（1，0），D（1，2）.
作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小.
∵C（1，0），
∴C′（-1，0）.
设直线C′D的解析式为y=ax+b，则
解得，
∴y=x+1，
令x=0，得y=1，
∴P（0，1）.
故答案为：（1，0），（0，1）.
【分析】根据中点的概念结合点A、B的坐标可得C（1，0），D（1，2）.作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交AB于点P，此时△DPC的周长最小，易得C′（-1，0），利用待定系数法求出直线C′D的解析式，令x=0，求出y的值，据此可得点P的坐标.
17．【答案】解：∵直线过点，．
∴
∴
∴一次函数的表达式为．
【解析】【分析】考查的是待定系数法求一次函数解析式。
18．【答案】（1）解：∵正比例函数y＝k1x（k1≠5）的图象经过A（4，3），
∴7＝4k1，即k1＝，
∴正比例函数的解析式为y＝x；
∵一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象经过A（4，8），B（0，-3），
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝x-6；
（2）解：∵A（4，3），B（0，-3）
∴点A离y轴的距离为4，OB＝3，
∴△AOB的面积＝×3×2＝6．
【解析】【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式，即可求解；
（2）根据点到坐标轴的距离，三角形的面积公式，即可求解．
19．【答案】（1）解：把代入，得到，
∴
（2）解：联立，解得，
∴两条直线的交点的横坐标为，
∵，
∴当时：，解得：，
由图可知：当时，．
20．【答案】（1）解：每个台阶的高和宽分别是和，
．
将点和代入直线，
得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：将点代入直线，
得，
．
（3）解：，
直线解析式可表示为．
当直线过时，有，解得；
当直线过时，有，解得．
若直线使得为的整数这些点分布在它的两侧，每侧各个点，的取值范围为．
【解析】【分析】⑴、待定系数法求函数解析式，根据台阶高度和宽度确定T1的坐标，把点P和T1的坐标代入函数解析式求解即可。
⑵、直线过定点P，把点P坐标代入直线解析式求解。
⑶、根据题意先求过点T2的直线和过点T3的直线，根据K的几何意义可知 使得为的整数这些点分布在它的两侧，每侧各个点 ，K的值介于上述两直线比例系数K2、和K3之间。
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：令，则，
．
点异于点，
，．
．
【解析】【解答】解：（1）由图象知： 直线与的交点坐标为（2，2） ，
∴ 方程组的解是；
（2）由图象知： 时x＞1， 时x＜3，
∴与同时成立时的x范围为；
故答案为： .
【分析】（1）方程组的解是直线与的交点坐标，据此即得结论；
（2） 分别与时的x范围，再求其公共部分即可；
（3） 设，可得， 据此解答即可.
22．【答案】（1）解：由题意得：
，
与的函数关系式为：
（2）解：根据题意得，
，
解得：，
又∵取整数，
可取75，76，77，78，79，80这6个整数，
该公司按计划购买两种设备有6种方案
（3）解：
【解析】【解答】解：（3）根据题意可得：
y=（1000+2a）+（1500-3a） （100-x）=（5a-500）x+150000-300a，
当5a-500＜0时，即a＜100时，y随x的增大而减小，
∴当x=80时，y最小，
∴（5a-500）×80-150000-300a=121500，
解得：a=115，不符合a＜100，舍去；
当5a-500＞0时，即a＞100时，y随x的增大而增大，
∴当x=75时，y最小，
∴（5a-500）×75-150000-300a=121500，解得：a=120，
∴综上所述，a=120．
【分析】(1) 设购买种设备台，根据“ 两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台”，分别求得购买两设备的费用，它们的和即可为总费用y；
（2）根据“ 种设备数量不低于种的”和“ 不高于种的 ”，分别列出不等式，联立组成不等式组求解，并求得整数解，得出方案数；
（3）根据“ 此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元 ”列出函数表达式，分“5a-500>0”和“5a-500<0”两种情况讨论，并利用增减性求最值.
23．【答案】（1）解：将代入中，得，
则，
直线：；
将代入中，得，
则，
直线：；
（2）解：令，则，
，
设，，
如图，，
点、、、为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，
则，
，
综上，满足条件的点坐标为或．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入两函数解析式可求出b和k的值，可得到直线l1、l2的函数解析式.
（2）利用函数解析式求出点C的坐标，设，，利用平行四边形的性质分情况讨论：当AQ为对角线时；当AP为对角线时；分别求出点Q的坐标.
24．【答案】（1）证明：，，
，，
为的中线，
，
在与中，
，
，
．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
如图所示，过D作交点Q，连接．
四边形为平行四边形，
．
同（1）可证明，
，
又∵，
四边形是平行四边形；②
【解析】【解答】解：（2）②如图所示，取的中点P，连接，
∵是的中线，即点D为的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点E和点P重合，
∴点E为的中点，
∴，
∵四边形使平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当点E在上运动时，点F在直线上运动，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，以点B为原点，以为x轴，y轴建立坐标系，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴点M在直线上运动，
当时，，当时，；
∴点M的运动轨迹是从点沿着直线运动到点，
∴点M的运动路径长为
【分析】 （1）利用ASA可证明△ACD≌△FDB，再利用全等三角形的性质可得AC=DF；
（2）①如图所示，过D作DQ∥EF交BF点Q，连接AQ，先证明四边形DEFQ为平行四边形，得到DQ=EF，同（1）可证明AC=DQ，得到AC=EF，由此即可四边形ACEF是平行四边形；
②如图所示，取CH的中点P，连接DP，利用平行四边形的性质和判定说明AE=FH，再依次说明点E在AD上运动时，点F在直线BF上运动，点Q在直线BQ上运动，点M在直线上运动，求得M点的运动轨迹为从点沿着直线运动到点，最后利用勾股定理求得点M的运动路径长.
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