(共19张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题 （第1课时）
问题1：
要在公路上修建一个泵站C，分别向公路两侧A、B两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站C到A、B两镇所用的输气管线最短
问题2：“饮马问题”
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河流l边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．
探索新知
B
·
·
A
l
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
思考1：如何将点B转“移”
到l 的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
探索新知
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小呢？
B
·
l
A
·
思考2：你能利用轴对称的
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求．
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
B
·
l
A
·
B ′
C
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
探索新知
B
·
l
A
·
B′
C
C′
思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小。
变式练习
变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使△BAC的周长最小。
变式练习
变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB的周长最小。
变式练习
变式4：如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
变式练习
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最
小”． 同问题2是一种类型，自己在练习本上独立完成
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
课堂小结
1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？
2.轴对称在所研究问题中起什么作用？
3.这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。
推荐作业
1．∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
P
X
O
Y
推荐作业
2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
同学们再见(共10张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题 （第2课时）
问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
A
B
M
N
a
b
探索新知
问题2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。
A
B
M
N
a
b
A′
问题2
证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/
由于M/N/=MN=AA/；
由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/
又根据“两点之间，线段最短”可知A/N/+N/B>A/B
所以，AM/+N/B＞AM+NB,
所以，AM/+N/B+M/N/> AM+NB+MN.
A
B
M
N
a
b
A′
M′
N′
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得
AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
A
B
M
N
a
b
如何在四边形ABCD内取一点O， 使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。
拓展应用
如何在四边形ABCD内取一点O， 使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。
证明：如果存在不同于点O
的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．
拓展应用
课堂小结
1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？学到哪些解决问题的思路。
2.你还有什么疑惑 在小组内提出来共同解决，解决不了的小组提出来全班解决。
3．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。
推荐作业
（必做）1、把今天的收获写到数学日记上.（包括例题和拓展题目的分析方法和作图的方法、证明方法）
（选做）2、如图，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？
同学们再见
