第十八章 平行四边形 章节测试题（含解析） 人教版八年级数学下册

第十八章 平行四边形 章节测试题 人教版八年级数学下册
一、选择题
1．两条平行线之间的距离是指（　　）
A．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段
B．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
C．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度.
D．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2．如图，四边形 是平行四边形， 是 延长线上的一点，若 ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则下列关于 S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（　　）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
6．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中选取两个，使四边形 ABCD 为平行四边形，选法有（　　）
A．2 种 B．3种 C．4 种 D．6 种
8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，则菱形 的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）
A．1 B． C． D．
9．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（　　）
A． B． C． D．4
10．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE ⊥l1，FG⊥l2，则下列说法中，错误的是（　　）
A．l1与 l2之间的距离是线段 FG 的长度
B．CE=FG
C．线段 CD的长度小于l1与l2之间的距离
D．AC=BD
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　 　.
12．如图，在 ABCD中，过点 B 作 BM⊥AC 于点E，交 CD于点 M，过点 D作 DN⊥AC 于点 F，交 AB于点 N，AF=12，EM=5.若 AD=15，则直线AB 与CD之间的距离为　 　.
13．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为　 　.
14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为　 　
15．如图，已知在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图：①以点 A 为圆心，BC长为半径作弧，以点 C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点 D；②连结 DA，DC，则四边形ABCD为 　 　 形，判定的依据是　 　.
三、解答题
16．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
17．如图，在 ABCD中，点E，F分别在CD，CB的延长线上，直线EF与对角线BD平行，并交AD于点H，交AB于点G.求证：EG=FH.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
19．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD =CD，E 是对角线BD上一点，且 EA=EC.
（1）求证：四边形 ABCD是菱形.
（2）如果 BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形 ABCD是正方形.
21．如图，四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点 E在四边形ABCD 外，连结 AE，BE，CE，DE，∠AEC =∠BED=90°，求证：四边 形 ABCD 是矩形.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：两条平行线之间的距离是指两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度.
故答案为：A.
【分析】利用两条平行线之间的距离的定义，可得答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】 解： 四边形 是平行四边形，
由邻补角的定义得：
故答案为：A.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据邻补角的定义即可得.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
A、∵S2=，S1=，S3=，S4=，
∴S2=S3，S1=S4，
∴S1+S3=S2+S4，故A不符合题意；
B、∵，
∴ ，故B不符合题意；
C、∵S2=S3，S1=S4，
∴， 故C不符合题意；
D、只有当AO=2CO时， ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，利用垂直的定义可证得∠AED=∠CFB=90°，利用平行四边形的性质可得到AD=BC，AD∥BC，∠DAE=∠BCF，利用AAS证明△ADE≌△CBF，由此可推出DE=BF，利用三角形的面积公式可得到S2=S3，S1=S4，据此可对A，B，C作出判断；只有当AO=2CO时， ，可对D作出判断.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BM=DN，
∵ S =AC·BM，S =AC·DN，
∴ S =S .
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，由平行四边线的性质可得BM=DN，根据三角形的面积公式及同底等高即可得解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
A、∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
B、∵ BF=DE ，
∴ BF-EF=DE -EF，即BE=DF ，
∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
C、由AE=CF ，AB=CD，∠ABE=∠CDF， 根据SSA无法判断△ABE≌△CDF，故符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，从而根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，然后根据三角形全等的判定方法逐一判断即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边
∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.
7．【答案】C
【解析】【解答】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，①③使四边形 ABCD 为平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②④使四边形 ABCD 为平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ①②使四边形 ABCD 为平行四边形，③④使四边形 ABCD 为平行四边形；
选法共4种.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可选.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，
∵，
∴，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′=AB，
∴S菱形ABC′D′=AB×D′M= ，
∵S正方形ABCD=AB2，
∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比为 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题意得到菱形的边长和正方形的边长相等，再根据∠D'AB=30°得到菱形的高等于其边长的一半，最后分别表示出正方形的面积和菱形的面积，然后求出比值即可.
9．【答案】A
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质、勾股定理可得菱形边长，再由菱形的面积公式可求BE的长.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD，故D不符合题意；
∵l1∥l2，CE ⊥l1，FG⊥l2，
∴CE∥FG，∠CEG=90°，
∴四边形CEFG是矩形，
∴CE=FG，故B不符合题意；
l1与 l2之间的距离是线段 FG 的长度，故A不符合题意；
∴线段CD的长度大于l1与 l2之间的距离，故C符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可对D作出判断；再利用l1∥l2，CE ⊥l1，FG⊥l2，可证得四边形CEFG是矩形，利用矩形的性质可对B作出判断；再利用平行线间的距离定义可对A作出判断；利用垂线段最短，可对C作出判断.
11．【答案】10
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
12．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∴∠AHD=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠AFD=∠CEB=90°，DN∥BM，
∴四边形DMBN是平行四边形，
∴DN=BM，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE；
∴ME=NF=5，
在Rt△ADF中
，
∴DN=DF+NF=9+5=14，
在Rt△AFN中
；
∵
∴13DH=14×12
解之：，
∴直线AB 与CD之间的距离为.
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，AD∥BC，∠DAF=∠BCE，利用垂直的定义可得到∠AFD=∠CEB=90°，DN∥BM，由此可证得四边形DMBN是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出DN=BM；利用AAS证明△ADF≌△CBE，可得到DF=BE；即可求出NF的长；利用勾股定理求出DF的长，据此可求出DN的长；再利用勾股定理求出AN的长；然后；利用△ADN的面积可求出DH的长，即可得到直线AB 与CD之间的距离.
13．【答案】7
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，
点、分别是、的中点，
，
正方形的边长为2，
，
点是边长的动点，
，
，
的最大值为.
故答案为：.
【分析】由点E是BC边长的动点可得，利用正方形的性质求得AC的边长，进而得到AE的取值范围，再通过三角形的中位线定理求得MN的最大值.
15．【答案】矩；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】【解答】解：四边形ABCD为矩形．
理由：∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩，有一个角是直角的四边形是矩形．
【分析】直接利用基本作图方法得出四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解答．
16．【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∵EF∥BD，
∴四边形BFHD是平行四边形，
∴FB=HD。
∵DH∥FB，
∴∠EHD=∠GFB，
∵AB∥CD，
∴∠FGB=∠HED.
在△FGB和△HED中，
∴△FGB≌△HED，
∴FG=HE，
∴EG=FH.
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质知道AD∥BC，AB∥CD.再有AD∥BC，AB∥CD.得到∠FGB=∠HED，∠EHD=∠GFB。再结合已知得到EF∥BD，进而得到平行四边形BFHD，根据平行四边形的性质得到FB=HD，根据这三个条件，可以得到△FGB≌△HED，进而得到FG=HE，所以EG=FH.
18．【答案】（1）证明：∵ D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE=BC，AD=DB=AB，AE=EC=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG=BD，FH=EC，
∴FG=FH；
（2）证明：∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC，
∵∠A=90°，
∴FG⊥AC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80°，
∴∠FKC=∠A=80° ，
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180°-∠FKC=100°.
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理和线段中点的性质可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得：FG∥BD，FH∥EC，结合已知∠A=90°可求解；
（3）延长FG交AC于点K，由平行线的性质可求得∠FKC=∠A的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补可求解.
19．【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
20．【答案】（1）证明：在△ADE与△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝18045°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【解析】【分析】（1）首先由“SSS”可得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，从而可证得AD＝BC，然后利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，再根据AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE＝18045°，从而求得∠ABE＝45°，则可得∠ABC＝90°，根据正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
21．【答案】证明：连接EO，
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EOBD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EOAC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】连接EO，先根据O为BD和AC的中点，可得AO＝CO，BO＝DO，从而得出四边形ABCD是平行四边形，然后再根据直角三角形的性质可得EOAC，EOBD，从而得到AC＝BD，即可解答．
1 / 1